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換元法中蘊(yùn)含的辯證法思想

江蘇省淮安市清河中學(xué)(223001)桂弢

在解題過(guò)程中，有時(shí)需要根據(jù)實(shí)際情況引進(jìn)新的變量以化簡(jiǎn)原有的復(fù)雜式子，使問(wèn)題的本質(zhì)能清晰地顯現(xiàn)出來(lái)，這種解題方法，我們稱之為換元法. 換元法的理論依據(jù)是等量代換，它是借用一種語(yǔ)言符號(hào)來(lái)表達(dá)同一個(gè)問(wèn)題. 換元法的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化，通過(guò)換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的形式，它體現(xiàn)了思維的靈活性和創(chuàng)造性. 換元法的一般步驟為: 設(shè)元、換元、求解、回代和檢驗(yàn)等. 需要注意的是，在換元的同時(shí)應(yīng)該確定好新變量的取值范圍，否則有可能前功盡棄.

由于數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，因此換元的方法也是多種多樣的，仔細(xì)分析這些方法，不難發(fā)現(xiàn)，換元法其實(shí)就是解題過(guò)程中的一種處理技巧，一種變換手段，但它又處處閃爍著哲學(xué)的光芒，蘊(yùn)含著辯證法的智慧. 對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律認(rèn)為事物是由矛盾構(gòu)成的，矛盾是反映事物內(nèi)部或事物之間的對(duì)立和統(tǒng)一及其關(guān)系的基本哲學(xué)范疇，矛盾是事物發(fā)展的動(dòng)力. 矛盾的同一性認(rèn)為矛盾著的對(duì)立面之間是互相依賴的，一方的存在和發(fā)展必須以另一方的存在和發(fā)展為條件(聯(lián)系)；矛盾著的對(duì)立面之間又是互相貫通的，存在著由此達(dá)彼的橋梁(轉(zhuǎn)化). 在進(jìn)行換元法教學(xué)時(shí)，教師不能只是方法的簡(jiǎn)單羅列或就題講題，而應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)和發(fā)展的觀點(diǎn)辯證地看問(wèn)題，靈活地運(yùn)用.

1局部換元與整體換元

局部中有整體，整體中有局部，局部與整體是矛盾對(duì)立的兩個(gè)方面，它們?cè)谝欢l件下互相依存，在一定條件下又互相轉(zhuǎn)化.

若t>1，則a≤2(t+1)2，要該不等式對(duì)一切大于1的實(shí)數(shù)t恒成立，須a≤8； 若t=1，則對(duì)所有正數(shù)a，不等式恒成立.故a的最大值為8.

說(shuō)明：將式子中的某一項(xiàng)用一個(gè)變量去替換，最終把問(wèn)題轉(zhuǎn)移到新的背景中去研究，這就是局部換元. 一般情況下，我們會(huì)將根式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非根式問(wèn)題或通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)處理.

例2若關(guān)于x的不等式m(ex+e-x-1)≤e-x-1(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在(0，+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2014年江蘇高考試題改編)

2幾何換元與代數(shù)換元

幾何換元關(guān)注形，代數(shù)換元關(guān)注數(shù)，二者是相輔相成的，各有特點(diǎn)，不可偏廢.

說(shuō)明:將新變量 看成直線的斜率，正是發(fā)揮了形的直觀性和生動(dòng)性.

說(shuō)明:這里的換元就是代數(shù)換元，它注重理性推理，突出邏輯思維.

3減元換元與增元換元

在平時(shí)的解題教學(xué)中，不少教師對(duì)用減元思想來(lái)解題強(qiáng)調(diào)的比較多，這容易使學(xué)生產(chǎn)生思維定勢(shì). 其實(shí)，減與不減，需要辯證地看待，需要具體問(wèn)題具體分析,不能盲目和教條.

說(shuō)明:利用減元思想將二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，使問(wèn)題容易求解.

解析:方程中出現(xiàn)了兩個(gè)根式，直接求解較困難，可以嘗試用新變量替換方程中的根式.

說(shuō)明:用兩個(gè)變量分別替換兩個(gè)根式后，將方程轉(zhuǎn)化為方程組，看似復(fù)雜了，其實(shí)是變簡(jiǎn)單了. 可以說(shuō)，有時(shí)退是為了更好地進(jìn).

說(shuō)明:為了使分式便于拆湊，本題采用了二元換二元，沒(méi)有增元，也沒(méi)有減元.

4正向換元與逆向換元

如果原變量x能直接表示為新變量s的函數(shù)，即x=f(s)，則把這種換元方法稱為正向換元；如果新變量s能直接表示為原變量x的函數(shù)，即s=g(x)，則把這種換元方法稱為逆向換元. 正向換元與逆向換元其實(shí)是一個(gè)互逆的過(guò)程，在一定條件下它們是可以相互轉(zhuǎn)化的.

例8已知a、b為非負(fù)實(shí)數(shù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值.

說(shuō)明:本題的換元方法通常稱為公差換元，它屬于正向換元. 如果問(wèn)題的條件或結(jié)論屬于對(duì)稱式，那么可以考慮公差換元. 當(dāng)然，本題也可以用三角換元來(lái)求解.

說(shuō)明:本題中的第一次三角換元屬于正向換元，而第二次的代數(shù)換元?jiǎng)t屬于逆向換元.

上面給出的換元法的四種辯證關(guān)系，其實(shí)也是換元法的四種分類方法. 從哲學(xué)的視角去認(rèn)識(shí)換元法，是我們的一種嘗試，希望能對(duì)大家的教學(xué)和實(shí)踐有所幫助.