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探究一道選擇題的代數(shù)解法*

福建省廈門第一中學(xué)(361003)王淼生

1提出問題

2011年高考全國大綱卷理科選擇題第12題，原題如下(以下簡稱案例)：

本題短小精悍，優(yōu)雅高質(zhì)，一經(jīng)出爐立即吸引一線教師的眼球，成為向量與數(shù)形結(jié)合的完美典范.但因其以符號(hào)語言形式呈現(xiàn)，難度較大，故而作為當(dāng)年高考選擇題壓軸題.然筆者所接觸的教輔書(如文[1]等)對(duì)本題的解法幾乎千篇一律采用以下幾何法：

圖1 圖2

上述幾何法解答過程確實(shí)異常簡捷，因此毫不夸張地說絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師都把此題作為范例，或作為習(xí)題，甚至適當(dāng)變式后作為模擬試題.但令人遺憾的是幾乎所有師生毫無例外地照搬上述幾何解法，至今還沒有發(fā)現(xiàn)此題的代數(shù)解法，難道不能用代數(shù)法來解答嗎？

2代數(shù)解法

2.1能用代數(shù)法嗎？

上述幾何法優(yōu)雅、簡捷，讓人愛不釋手，這也是本題倍受青睞的緣由之一，正如愛因斯坦感嘆：“美，本質(zhì)上終究是簡單性．”向量既有大小又有方向，因此向量兼具代數(shù)與幾何的特征，是連接代數(shù)與幾何的橋梁與紐帶.據(jù)此筆者從理論上預(yù)測(cè)本題應(yīng)該可以用代數(shù)法給予解決，這是其一.其二，高考試題是凝聚頂尖專家集體智慧的結(jié)晶，是歷經(jīng)專家反復(fù)打磨、仔細(xì)推敲的極品.對(duì)高考試題，尤其是選擇題的壓軸題，幾乎都有多種解法，至少不止一種解法，而且高考試題往往是由一個(gè)普遍結(jié)論演繹而得到特殊案例，或者是由特殊情況歸納而來的普遍結(jié)論，或者由特殊情況類比出另一種特殊案例，這也是當(dāng)前命制試題較為流行的、基本的套路與模式，尤其高考?jí)狠S題更是如此，因此筆者一直堅(jiān)信此題應(yīng)該還有其它解法．其三，上述幾何法確實(shí)讓人賞心悅目，但是如此巧妙構(gòu)思的確不易.基于以上理由，筆者堅(jiān)信本題應(yīng)該還有別的解法，至少可以用代數(shù)法，哪該怎樣解答呢？

2.2多次嘗試失敗

為了尋覓代數(shù)解法，我們建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C(x，y)，則有

結(jié)合上述①、②可得

筆者多次嘗試對(duì)上述③化簡，試圖通過兩邊平方，可事與愿違！因?yàn)橐坏┱归_，運(yùn)算量越來越大、步驟越來越復(fù)雜、項(xiàng)數(shù)越來越多，導(dǎo)致不得不中途放棄，以失敗而收?qǐng)?

2.3再覓代數(shù)解法

2.4釋解心中謎團(tuán)

謎團(tuán)之一：上述代數(shù)推理過程回答了動(dòng)點(diǎn)C的軌跡并不是一個(gè)圓，而是兩段優(yōu)弧，這就說明不少課外教輔書(如文[1]等)對(duì)本題的幾何法并不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模辽倨鋱D形是不準(zhǔn)確的！因?yàn)閳D1是一個(gè)圓，而圖2卻是兩段優(yōu)弧(不包括端點(diǎn)).

謎團(tuán)之三：筆者原來直接對(duì)③強(qiáng)行展開，因?yàn)轫?xiàng)數(shù)太多，最終因心理畏懼無果而終，可是后來采用換元法(※)來處理，其實(shí)過程(⑥→⑦)也并非極其復(fù)雜，只要展開、合并即可，由此說明換元法在外形復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算中具有很強(qiáng)的化簡作用，難怪在代數(shù)變形上頗有建樹的安振平先生、宋慶先生曾指出代數(shù)變形能力是數(shù)學(xué)教師最基本、最重要的功底.

2.5偶然還是必然？

之所以找到上述代數(shù)解答方法，得益于上述(#)兩邊恰好是完全平方，這是巧合還是必然呢？如果是偶然，以后遇到這類試題該如何解答？如果是必然，理由又是怎樣呢？

本題所給數(shù)據(jù)是非常特殊的，尤其是因?yàn)椤螦OB+∠ACB=π才滿足四點(diǎn)共圓，這也是本題采用幾何法解答的關(guān)鍵原因.如果∠AOB+∠ACB≠π，那勢(shì)必難以實(shí)施幾何法，至少實(shí)施幾何法不是輕而易舉之事，此時(shí)采用代數(shù)法是一種必然選擇，因此筆者一直在思考：由于本題∠ACB是一個(gè)特殊角，所以上述推理得到(★)兩邊恰好是完全平方！正因?yàn)?★)兩邊恰好是完全平方，才使得后面的代數(shù)推理變得簡單！如果∠ACB不是特殊角，而是一個(gè)任意角，哪還可以用代數(shù)法嗎？用代數(shù)推理時(shí)，相應(yīng)的(★)還會(huì)恰好兩邊構(gòu)成完全平方嗎？如果是，那就說明我們尋覓的代數(shù)法具有普遍規(guī)律，也就是說我們徹底解決了此類問題而不僅僅是破解了一道高考試題而已.

3尋覓一般情況下的代數(shù)解法

果真像特殊角情況下那樣得到兩邊都是完全平方！這就意味著動(dòng)點(diǎn)C的軌跡依然是兩段圓弧(去掉端點(diǎn))！如同前面一樣的推理過程可得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為：

至此我們解決了以下一類問題，即

至于α為鈍角或直角時(shí)，依然還是如同上述一樣的代數(shù)推理過程.至此我們已經(jīng)從代數(shù)視角解決了這類試題的代數(shù)解法.據(jù)此我們有意識(shí)地將上述案例中的具體數(shù)據(jù)重新賦予不同的值就可以演繹出許許多多高質(zhì)量的試題.

參考文獻(xiàn)

[1]薛金星. 2011年全國及各省市高考試題全解(數(shù)學(xué)卷)[M].西安：陜西人民教育出版社，2011.

*本文福建省“十二五”規(guī)劃2013年度課題(立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJKXB13—083)“優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的魅力數(shù)學(xué)課堂模式研究”的階段性成果．