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幾道圓錐曲線高考試題的背景探究與拓廣*

廣東省廣州市第六中學(xué)(510300)吳林

縱觀近幾年各地高考題，不少試卷都會(huì)選擇用圓錐曲線相關(guān)內(nèi)容命制壓軸題，通過(guò)對(duì)高考題的研究，筆者發(fā)現(xiàn)不少高考題都是以課本的習(xí)題為素材，通過(guò)變形、延伸和拓展來(lái)命制的.課本是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的載體，又是教學(xué)的依據(jù)，理應(yīng)成為高考試題的源頭，因此我們平時(shí)教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)典型習(xí)題的探究，教會(huì)學(xué)生識(shí)別相關(guān)模型，理解問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到通過(guò)做幾道題，解決一類(lèi)題的目的.本文對(duì)此作出探討，請(qǐng)廣大同仁批評(píng)指正.

一、三道高考題

圖1

圖2

(1)求a,b的值；(答案：2,1)

(2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于P,Q(均異于點(diǎn)A,B)，若AP⊥AQ，求直線l的方程.

圖3

(Ⅱ)如圖3，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是橢圓C的頂點(diǎn))．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．

(i)設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k1,k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值；(ii)略.

二、背景的探究

上述三道高考試題都涉及到“橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)的連線斜率之積”的問(wèn)題，筆者認(rèn)為這三道題是以課本(人教A版數(shù)學(xué)《選修2-1》，下同)P41的例題3為基礎(chǔ)素材編制而成的.

圖4

對(duì)此題進(jìn)行拓展延伸，我們不難得到以下結(jié)論(相關(guān)證明略)：

利用結(jié)論2，我們很容易就可以解答題1：

利用此結(jié)論，易得題2和題3的解答：

三、問(wèn)題的拓廣

將上述問(wèn)題從橢圓拓展延伸到雙曲線中，可以得到類(lèi)似的性質(zhì)：

應(yīng)用此結(jié)論，不難解出以下兩道高考試題：

圖5

圖6

根據(jù)題4,同理解出此題：點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(在第三象限的部分).

在平時(shí)的教學(xué)中，我們多在這類(lèi)典型例題上下功夫，讓學(xué)生識(shí)別圖形、理解問(wèn)題的本質(zhì)，這樣學(xué)生在新的情景下，才能將所學(xué)方法應(yīng)用到新問(wèn)題中，減少運(yùn)算量和思維量.

事實(shí)上，因?yàn)閳A、橢圓和雙曲線都是有中心的二次曲線，所以我們對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)一步拓展延伸，可以得到如下結(jié)論[1]：

圖7

教材中有不少題目，如果我們對(duì)其進(jìn)行挖掘、延伸、轉(zhuǎn)化和拓廣，就會(huì)得到一些綜合性強(qiáng)，符合高考命題精神的新命題，這樣不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，而且符合高考題源于課本、高于課本的命題思想，同時(shí)能引導(dǎo)學(xué)生跳出“題?！?，回歸課本，重視教材.

這種尋找背景、探究拓展的過(guò)程，令人興趣盎然，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的正確途徑.數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使自己得到全面發(fā)展的過(guò)程[2].對(duì)問(wèn)題的探究拓廣是習(xí)題教學(xué)中常見(jiàn)的有效手段，在教學(xué)中，我們應(yīng)該通過(guò)啟發(fā)、鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律、內(nèi)在的聯(lián)系、識(shí)別圖形模式、掌握代數(shù)運(yùn)算中反映的本質(zhì)問(wèn)題，使學(xué)生真正地將方法內(nèi)化，將問(wèn)題形成串，結(jié)成網(wǎng)，以促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、綜合化和應(yīng)用化，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]陳國(guó)偉,蔡小雄.改進(jìn)：為了追求問(wèn)題本質(zhì)的習(xí)題教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.上旬,2014(11),51-52.

[2]何小亞.數(shù)學(xué)教與學(xué)的心理學(xué)[M].華南理工大學(xué)出版社.

*本文是廣東省教育科研“十二五”規(guī)劃2013年度研究一般項(xiàng)目“在校本教研中開(kāi)展數(shù)學(xué)考試命題及評(píng)價(jià)的研究”的研究成果，課題批號(hào)：2013YQJK055.