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一道經(jīng)典高考數(shù)列壓軸題的教學(xué)分析

江蘇省沛縣中學(xué)(221600)崔道永

高考試題中的壓軸題是命題者凝神聚力的成果，它或依靠命題者深厚的解題經(jīng)驗(yàn)或來(lái)源于他們生活中的靈感而具有豐富的解題思想方法與能力考查功能，并對(duì)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是高三的復(fù)習(xí)教學(xué)提出明確的指向性；數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，因其涉及的知識(shí)面廣而成為高考?jí)狠S題的重要來(lái)源之一.下面是筆者的一次課堂經(jīng)歷，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生自主探究了2005年江蘇高考試題數(shù)學(xué)卷數(shù)列壓軸題的解法與思想，以說(shuō)明筆者對(duì)高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的一些看法，不當(dāng)之處敬請(qǐng)老師們批評(píng)指正.

1.試題呈現(xiàn)

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1,a2=6,a3=11，且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B，n=1,2,3，…，其中A、B為常數(shù)．

(1)求A與B的值；

(2)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

(3)略．

2.教學(xué)過(guò)程

師：觀察試題結(jié)構(gòu)，如何解決第1小題？

生1：對(duì)遞推關(guān)系式賦值，分別令n=1,2可聯(lián)立關(guān)于參數(shù)A,B的方程組，不難解得A=-20，B=-8.

師：很好，這里利用了特殊化的解題思想，第2小題呢？

(小組合作交流、討論5分鐘)

生2：解決遞推式問(wèn)題經(jīng)常用“逐差法”，即，將n變?yōu)閚+1后所得的式子與原式作差尋求數(shù)列兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系，進(jìn)而找到數(shù)列的項(xiàng)所呈現(xiàn)的規(guī)律.

師：說(shuō)的不錯(cuò)，我們經(jīng)常用“復(fù)制作差”的方法解決該類(lèi)問(wèn)題，你們小組作差后的情況如何？展示一下.

生2：將①式(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8中的n變?yōu)閚+1復(fù)制后可得②式(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28，由②-①可得③式(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20.

師：越來(lái)越復(fù)雜??！

生2：是啊，越逐差越亂了啊，是不是我們小組采用的方法錯(cuò)了?。?/p>

師：常用逐差法探究數(shù)列遞推式問(wèn)題本身并沒(méi)有錯(cuò)，可得有信心啊！

生3：老師我知道了，在把③式中的n再變?yōu)閚+1后再作差，看看情況.

生2：對(duì)啊，將③式中的n再變?yōu)閚+1后可得④式(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20，④-③可得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0,(5n+2)(Sn+3-Sn)-3(5n+2)(Sn+2-Sn+1)=0,即(5n+2)(an+1+an+2+an+3-3an+2)=0，化簡(jiǎn)可得an+1+an+3=2an+2，且a1，a2，a3也滿足，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng):用“逐差法”處理相關(guān)的數(shù)列遞推式問(wèn)題在教學(xué)中很常見(jiàn)，尤其是遞推式中隱含的數(shù)列的特定性質(zhì)不明顯時(shí)，可把n變?yōu)閚+1后作差尋求解決問(wèn)題的突破口.高考?jí)狠S題往往具有一定的區(qū)分度以起到選拔優(yōu)秀人才的作用，而許多壓軸題的解題思路離不開(kāi)學(xué)生扎實(shí)的基本功和過(guò)硬的心理素質(zhì)，對(duì)于本題通過(guò)一次作差得到③式，在高考寸秒寸金的考場(chǎng)上很多學(xué)生就因恐懼失去了信心，更放棄了距離答案只有一步之遙的正確結(jié)果，因此我們?cè)谌粘＝虒W(xué)解決一些復(fù)雜的常規(guī)問(wèn)題時(shí)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生增強(qiáng)自信，例如這里的二次逐差，再如利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等問(wèn)題經(jīng)常碰到的二次求導(dǎo)問(wèn)題都應(yīng)該有堅(jiān)持運(yùn)用解決問(wèn)題的通性通法的意識(shí).

壓軸題、難題如此，中低檔題也需要過(guò)硬的心理素質(zhì)，高考試題中容易題、中檔題及難題的占比為4∶4∶2，容易題設(shè)計(jì)思路單一，難度相對(duì)較小，對(duì)大部分學(xué)生都應(yīng)該做到不失分而不是少失分，而現(xiàn)實(shí)并不像我們期待的那樣，因此加強(qiáng)應(yīng)試的解題心理疏導(dǎo)應(yīng)成為二輪復(fù)習(xí)教學(xué)的常態(tài).

師：運(yùn)用“逐差法”還能否簡(jiǎn)化過(guò)程？請(qǐng)觀察遞推式中的系數(shù).

生4：結(jié)合①式(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8，有兩個(gè)5n，展開(kāi)后合并有5n(Sn+1-Sn)-8Sn+1-2Sn=-20n-8 ，即得⑤式5nan+1-8Sn+1-2Sn=-20n-8，將⑤式中n變?yōu)閚+1得⑥式5(n+1)an+2-8Sn+2-2Sn+1=-20n-28，⑥-⑤有5(n+1)an+2-5nan+1-8an+2-2an+1=-20,即⑦式(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=-20.

師：雖然很麻煩，但比③式看著舒服多了，經(jīng)過(guò)一次作差所得的結(jié)果形式上簡(jiǎn)單了，但還是沒(méi)有完成任務(wù).

生4：將⑦式中n變?yōu)閚+1得⑧式(5n+2)an+3-(5n+7)an+2=-20，⑧-⑦有(5n+2)an+3-(5n+7)an+2-[(5n-3)an+2-(5n+2)an+1]=0，即an+1+an+3=2an+2.且a1，a2，a3也滿足，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

生5：觀察⑦式(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=-20刻畫(huà)了連續(xù)兩項(xiàng)之間的關(guān)系，可構(gòu)造與{an}相關(guān)的新數(shù)列從而間接的求其通項(xiàng)，待定系數(shù)可設(shè)：

化簡(jiǎn)得an+2=5n+6，從而an=5n-4.

且a1，a2，a3也滿足，因?yàn)閿?shù)列{an}的通項(xiàng)是關(guān)于n的一次結(jié)構(gòu)，且an-an-1=5.

由定義可知數(shù)列{an}為公差為5的等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng):問(wèn)題的解決應(yīng)遵循求簡(jiǎn)、求快速的原則，這樣可以節(jié)省時(shí)間、提高信心.這里結(jié)合①式中的兩個(gè)“5n”通過(guò)一次作差得到較③式更為簡(jiǎn)潔的⑦式，避免了③式給學(xué)生感官上帶來(lái)的茫然，并且在⑦式的基礎(chǔ)上可多角度的審視問(wèn)題，最后生5還發(fā)現(xiàn)利用迭乘法解決問(wèn)題.

師：很好，看來(lái)大家對(duì)等差數(shù)列的判定問(wèn)題很熟悉了.

師：看起來(lái)不錯(cuò)，大家考慮一下有問(wèn)題嗎？

生7：用待證的結(jié)論作為條件來(lái)證明結(jié)論，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

師：有道理，根據(jù)遞推式導(dǎo)致數(shù)列的確定性，有沒(méi)有避免循環(huán)論證錯(cuò)誤的方法呢？

生7：生6證明了數(shù)列{an}的存在性，只要補(bǔ)充證明其唯一性即可，原因是5n-8，5n+2均不為0，故{Sn}唯一確定，從而{an}也唯一確定.

生8：受生7的數(shù)列唯一確定的啟發(fā)，結(jié)合命題是關(guān)于正整數(shù)n的命題，可根據(jù)數(shù)列{an}的前三項(xiàng)先猜測(cè)其通項(xiàng)公式再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

師：很好！數(shù)學(xué)歸納法是解決與正整數(shù)n相關(guān)的命題的常用方法，但也要證明其唯一性.

(生8板演，集中交流展示)

生8：由a1=1,a2=6,a3=11可猜測(cè)an=5n-4，證明如下：

當(dāng)n=1,2,3均成立；

所以猜測(cè)成立，結(jié)合數(shù)列的唯一確定性易知an-an-1=5，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng):首先，運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中要求層次較高，生6、7、8在環(huán)環(huán)相扣的條件下從結(jié)論入手，即先假設(shè)或先猜測(cè){an}為等差數(shù)列，再結(jié)合①式化簡(jiǎn)，但容易犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤，即一般問(wèn)題將結(jié)論當(dāng)條件進(jìn)行證明結(jié)論，顯然邏輯上講不通；但本題鑒于5n-8，5n+2均不為0，得出{Sn}與{an}具有存在性與唯一性，因此用辯證的觀點(diǎn)去思考可培養(yǎng)學(xué)生看待問(wèn)題的理性精神，在處理問(wèn)題時(shí)能使他們不斷地通過(guò)自我檢測(cè)并改進(jìn)、優(yōu)化方法并梳理事物間的變化關(guān)系，也能在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

其次，從特殊探究一般問(wèn)題是基于普遍性存在于特殊之中的普遍規(guī)律，而解決數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題其中一種重要方法就是歸納，但需要科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過(guò)程，本題通過(guò)歸納出的首項(xiàng)、公差在證明時(shí)容易對(duì)號(hào)入座.

第三，利用類(lèi)比的方法思考問(wèn)題學(xué)生能不斷的積累基于問(wèn)題解決的思想方法與解題能力，通過(guò)對(duì)條件、結(jié)論信息的不斷加工并不斷地發(fā)散思維、尋求類(lèi)似的相關(guān)的數(shù)學(xué)模型及思想方法進(jìn)而提升了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的表征能力與遷移能力，更重要的是學(xué)生優(yōu)秀的思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)一起得到加強(qiáng)與升華，這里雖然看似生6的驗(yàn)證法與生7的數(shù)學(xué)歸納法風(fēng)馬牛不相及，但在解決該問(wèn)題時(shí)又都是基于先猜再證的思想，因此類(lèi)比教學(xué)的重要之處在于尋求兩類(lèi)或多類(lèi)問(wèn)題之間的可類(lèi)比點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的入口.

師：今天在同學(xué)們的共同努力下，我們用了多種方法研究了一道“十年純釀”：2005年的高考江蘇卷的數(shù)列壓軸題，你有何收獲？

生10：證明數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法：(1)定義法；(2)通項(xiàng)為關(guān)于n的一次結(jié)構(gòu)；(3)和式為關(guān)于n的二次結(jié)構(gòu)；(4)連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系an+an+2=2an+1，處理的策略主要有逐差(商)法、迭加(乘)法、公式法、構(gòu)造生成數(shù)列及先猜測(cè)后證明等.

3.幾點(diǎn)思考

3.1教學(xué)中師生要對(duì)教學(xué)素材多一點(diǎn)研究

低年級(jí)的新授課不應(yīng)是遵循教材機(jī)械的講解，更多要求教師在教材的研讀、素材的整合、問(wèn)題的引入方式方法及知識(shí)的生成過(guò)程上多下功夫，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲，相反按部就班的平鋪直敘只會(huì)使教學(xué)效果黯然失色；高三的復(fù)習(xí)課主要以試題為載體說(shuō)明知識(shí)的來(lái)龍去脈與之間的相互關(guān)系，這就需要對(duì)試題的價(jià)值準(zhǔn)確定位，通過(guò)深入研究并剖析問(wèn)題對(duì)貫通思想方法的功能，現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為壓軸題對(duì)緊張有序的高三二輪復(fù)習(xí)沒(méi)有任何意義，不少一線教師在二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中對(duì)試題的評(píng)講也有這樣的誤區(qū)，即：不講也會(huì)的不講，講了不會(huì)的也不講，如此以來(lái)難度較大的試題包括經(jīng)典的高考?jí)狠S題就失去了它本有的教學(xué)價(jià)值，本文說(shuō)明部分壓軸題僅僅是簡(jiǎn)單問(wèn)題難度上的增強(qiáng)版，它對(duì)于掌握解決數(shù)列問(wèn)題的常見(jiàn)方法的作用不言而喻，其它有的題目可能偏愛(ài)于這一種方法，而另一道題目卻偏愛(ài)于那一種方法，總之很多壓軸題不僅能幫助學(xué)生系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，更重要的是還可以揭示高考難度較大試題的面紗增強(qiáng)自信心，而不是對(duì)壓軸題敬而遠(yuǎn)之，試想學(xué)生從來(lái)沒(méi)有站在一定的高度上其眼光也不會(huì)長(zhǎng)遠(yuǎn).

3.2二輪復(fù)習(xí)應(yīng)注重知識(shí)的宏觀結(jié)構(gòu)、問(wèn)題的本質(zhì)與問(wèn)題解決的通性通法

近年來(lái)高考經(jīng)歷了若干次大的改革，主要體現(xiàn)在考試的方案與試題命制的方向，但對(duì)核心知識(shí)及思想方法的考查并未隨之呈現(xiàn)大幅變化，例如本文呈現(xiàn)的數(shù)列的項(xiàng)、和及其之間的關(guān)系問(wèn)題依舊出現(xiàn)在全國(guó)各省市的高考試題中，筆者所選取的試題雖然距今已有10年之久，但因?yàn)榫哂心芊从硵?shù)列一章宏觀結(jié)構(gòu)、體現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)與思想方法的功能而精彩，所以二輪復(fù)習(xí)應(yīng)借助部分有價(jià)值的壓軸題的講解將實(shí)效落到實(shí)處.難度較大的高考試題經(jīng)常在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題以突出其考查的綜合性、全面性，只有學(xué)生大腦中形成非常清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法體系才能高屋建瓴的優(yōu)化解題方向；雖然本題難度較大，但辯證的思考通性通法與巧法它們又是矛盾的統(tǒng)一體，因?yàn)橛眠^(guò)兩次的巧法就可以認(rèn)為是一種通法，對(duì)于基礎(chǔ)較好的同學(xué)新事物、新方法是可行的、必要的.

3.3突出學(xué)生的主體地位，通過(guò)活動(dòng)教學(xué)促進(jìn)“四基”相互作用并真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效

當(dāng)下不同的教學(xué)模式在全國(guó)各地應(yīng)運(yùn)而生，每種教學(xué)模式都不可避免的存在一些不足甚至是弊病，但它們中的很多依據(jù)建構(gòu)主義的理論通過(guò)學(xué)生自主活動(dòng)克服了傳統(tǒng)的簡(jiǎn)單傳授式教學(xué)的不深刻性，學(xué)生反映記的比以前更久了.本節(jié)課從開(kāi)始的試題條件與結(jié)論的分析到思路方法的選取再到結(jié)尾知識(shí)與方法系統(tǒng)的總結(jié)都是在學(xué)生自主的情況下完成，教師僅僅扮演了引路人的角色，這與課改的方向一致，與教學(xué)的認(rèn)知規(guī)律相符，的確在探究的過(guò)程中學(xué)生收獲的是學(xué)習(xí)的快樂(lè)與能力的提升.

當(dāng)學(xué)生在不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程的操作過(guò)程中形成并積累著由感性向理性過(guò)度的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)形式化的演繹可準(zhǔn)確的幫助學(xué)生的表征能力，也可深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的細(xì)化，另外通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的歸納形成了問(wèn)題解決的內(nèi)核數(shù)學(xué)思想方法，最終提升了學(xué)生的思維水平.