陳茜

摘 要： 就高等數學教學的重要性而言，提出了數學方法論下的教學理念。本文通過三種常見的數學方法論中的教學方法，討論了高等數學教學教學方法的改進及數學方法論在高等數學課堂教學中具有的數學文化教育功能。

關鍵詞： 高等數學課程 教學創(chuàng)新 數學方法論 教學方法

一、引言

高等數學課程是高等理工科院校普遍開設的一門基礎課程。以微積分為主體的高等數學知識點在抽象的思維能力、邏輯推理能力、歸納總結能力、創(chuàng)新能力和解析計算能力等方面都比初等數學有所延伸，是眾多專業(yè)的學生進一步學習基礎課程和專業(yè)課程的基礎。同時，隨著國家教育方針的提出，研究生培養(yǎng)機制異軍突起。作為研究生考試全國聯(lián)考的三大課程之一，數學試卷至少包含三門數學課程，往往能把學生“烤糊”，而高等數學的考點可以占到整個卷面的50%。由此可見學好高等數學的重要性。

二、高等數學課程課堂教學的創(chuàng)新研究

1.什么是數學方法論

方法論是把某種共同發(fā)展規(guī)律和研究方法作為研究對象的一門學問。各門科學都有自己的方法論，數學也不例外。在國內，“數學方法論”是徐利治教授首先提出的，在《數學方法論選講》一書中有這樣的定義：“數學方法論主要是研究和討論數學的發(fā)展規(guī)律、數學的思想方法以及數學中的發(fā)現、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門科學。”

從某種意義上說，數學方法論是哲學、方法論與數學史等多門學科的交叉科學，其著眼點在于數學的創(chuàng)新。它是研究數學發(fā)展規(guī)律、數學的思想方法及數學中的發(fā)現、發(fā)明等的一門科學。數學思想方法是數學的核心和靈魂，它不僅是數學的重要組成部分，而且是數學發(fā)展的源泉和動力。J.S布魯納提出：“掌握基本數學思想和方法，能使數學更易于理解和更易于記憶，領會基本數學思想和方法是通往遷移大道的‘光明之路。”

2.數學方法論思想下的高等數學教學創(chuàng)新分析

（1）數形結合法使抽象理論直觀化，引發(fā)學生學習興趣。

華羅庚教授說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微?！睆木唧w到抽象是人類認知的規(guī)律，也是數學教學中應遵循的規(guī)律。講授高等數學課程時通過直觀的圖形輔助抽象概念的講解，能將枯燥深奧的定義、定理形象直觀化。數與形的和諧結合，能觸發(fā)學生感官，有助于學生從中發(fā)現和理解較抽象或復雜的內容，進而引發(fā)學生的學習興趣。

我們在引入極限概念時，通過劉徽“割圓術”的圖形展示了極限概念中的逐步逼近思想；導數的幾何意義同樣體現了數與圖形的結合。在講述定積分概念時，通常借助多媒體展示曲邊梯形圖形“分割，求和，近似代替，取極限”的黎曼積分思想；更不用提多重積分、曲線、曲面積分完全離不開圖形在教學中的輔助作用了。可以說數形結合的教學方法貫穿了高等數學教學的全過程。

將抽象深奧的數學理論直觀化后，在視覺上能培養(yǎng)學生的空間想象能力，調動學生多種感官參與學習活動，能保持數學思維的活躍性，自然能使課堂教學達到事半功倍的效果，必然能激發(fā)學生的學習興趣，樂于學習。

（2）聯(lián)想與類比的思想方法，注重培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。

在高等數學教學中，概念教學貫穿了整個微積分教學體系。這些知識點往往不是孤立的，而是有異曲同工之處。通過引導學生聯(lián)想，由已掌握的熟知的知識點將思維引向更深層次的概念體系，最后將二者進行類比，理清概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，既能促進新概念的教學，又有助于接近已學過概念的本質及整個概念教學體系的建立。聯(lián)想與類比引發(fā)的直觀與猜想是使學生由已知邁向未知的發(fā)散思維過程，是學生產生探索動力的源泉。

如有限性與無限項概念教學的聯(lián)想與類比。在泰勒公式教學中，引導同學們聯(lián)想如果項數趨于無窮時項數與余項的變化趨勢，由此引出無窮項下的泰勒級數的概念。這種聯(lián)想與類比的講解既增強了泰勒公式的教學效果，又為泰勒級數的教學埋下了伏筆。又如在講解“有限個無窮小的和也是無窮小”定理時，讓學生考慮把有限變無限下定理的真?zhèn)涡浴Ｔ谥庇^思維的影響下，學生通常認為無限多個無窮小仍為無窮小。在這種情況下教師可以給出一個反例，讓學生從本質上比較有限與無限的區(qū)別。

我們在講授二元函數極值教學時自然會聯(lián)想到一元函數極值的教學，尤其是討論極值取得的必要條件時，可以先利用一元函數“可導的極值點必是駐點”的結論得到多元函數情形下的結果，隨后再比較一元函數與二元函數駐點的區(qū)別。

（3）化歸法提高學生解決問題的能力，激發(fā)創(chuàng)造力。

化歸法是數學方法論中一種重要的解題方法。它往往通過尋找所需解決問題的突破口，從難到易、從繁到簡地化歸達到解決問題的目的，其方法有很多，如多元到一元的化歸，高次到低次的化歸，空間到平面的化歸，等等。

多元函數求導數的過程充分體現了化歸法的運用。在對二元函數z=f（x，y）求偏導數時，從定義出發(fā)，對其中一個變量x求導數，就將變量y看成常數，此時多元函數回歸到一元函數，其借助一元函數求導法就可以得到二元函數下的偏導數。顯然運用化歸法教學使多元函數導數的教學輕松，易懂，還顯現了一元函數導數與多元函數導數之間的聯(lián)系與區(qū)別。

化歸的方法著眼于揭示問題之間的聯(lián)系，以已知的、簡單直觀的基本知識為支架，將未知的、抽象復雜的問題進行，從而達到解決問題的目的。它的“運動—轉化—解決矛盾”的思想教學過程中有著重要作用。教師在授課過程中應根據教學的需要，適時地運用化歸法，注重培養(yǎng)學生的化歸能力。這樣不僅能幫助他們理解和掌握新知識，提高他們解決問題的能力，還能進一步激發(fā)學生的創(chuàng)造力。

數學方法論中除了以上三種常見的教學方法外，還有關系映射演變方法、構造法、逐步逼近和優(yōu)化決策等教學方法，這些方法在數學教學課堂中常常相輔相成，相得益彰。一方面，它們豐富了課堂教學內容，強化了教學效果，提高了質量，另一方面，對于受教者而言，它不但具有使其受到良好數學思想方法的訓練，形成良好數學文化素質的功能，而且具有使其提高社會文化修養(yǎng)和科學文化修養(yǎng)的功能。

參考文獻：

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[5]李宏.關于高等數學教學方法的思考[J].中央民族大學學報，2006，15（3）：286-288.

基金項目：湖南省教育廳科學研究項目（15c1413）。