魏娜

這里的“求變意識(shí)”指在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)題型進(jìn)行多角度、多層次（如改變命題的題設(shè)、結(jié)論等）的演變，以啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的思維品質(zhì)。筆者結(jié)合幾則教學(xué)實(shí)例，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生“求變意識(shí)”的具體做法。

一、一題多解，培養(yǎng)思維的廣闊性

一題多解既可以開闊思維，提高思維的敏捷性，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)中，教師圍繞問題結(jié)論之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)比，進(jìn)行多角度、多方向的思考，有助于學(xué)生打通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)其思維的廣闊性。

二、一題多變，培養(yǎng)思維的深刻性

一題多變是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的有效途徑之一。教學(xué)中，教師適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用一題多變法，能激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的欲望，加深他們學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，鍛煉其思維的廣闊性、深刻性和獨(dú)創(chuàng)性。

我們來看下面這道題目。

如圖1，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩工廠供氣。請(qǐng)問：泵站修在什么地方，所用的輸氣管線最短？

這道題的解法很簡單：作B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B'（如圖2），則PB=PB'，只要PB'+PA最小，那么PA+PB最?。▋牲c(diǎn)之間線段最短），所以連接AB'交直線L于P，P就是泵站所建的位置。這是八年級(jí)數(shù)學(xué)中已經(jīng)解決的問題。運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)模型，我們可以解決很多數(shù)學(xué)問題。例如下面幾個(gè)變式題。

這道題也是求兩條線段之和的最小值，它是不是和解決“泵站問題”類似呢？學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)，求EC+ED的最小值實(shí)際上就是作C（或D）關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)（圖4），然后根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求出EC+ED的最小值等于C'D。

分析作出圖4后，有學(xué)生提出，如果連接圖4的AC'，不就構(gòu)成一個(gè)正方形了嗎？（圖5）教師肯定了這種想法，并鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解題。

原題是利用軸對(duì)稱性和“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決泵站問題，而變式1的題設(shè)也是以等腰直角三角形為幾何背景求線段之和的最小值。等腰直角三角形本身就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，解決變式1所添加的輔助線也構(gòu)成了正方形這個(gè)軸對(duì)稱圖形。換句話說，“泵站”問題是不是以軸對(duì)稱圖形為背景的圖形變換呢？學(xué)生的好奇心被挑動(dòng)了。教師適時(shí)給出了變式2和變式3。

變式2：如圖6，P是邊長為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是_____。

變式3：如圖7，已知⊙O的半徑為r，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，弧AC的度數(shù)為96°，弧BD的度數(shù)為36°，動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則PC+PD的最小值_____。

這些變式題以“泵站問題”為基礎(chǔ)，或變換題目的條件和結(jié)論，或變換題目的形式，但題目的實(shí)質(zhì)不變。這有利于從不同角度、不同方面提示題目的本質(zhì)，使學(xué)生通過變式較深刻的理解同類型問題的內(nèi)涵、特征和解答技巧。

三、對(duì)比辨析，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性主要表現(xiàn)為有獨(dú)立見解，敢于懷疑，有較強(qiáng)的辨識(shí)能力。在解題教學(xué)中，教師抓住典型性錯(cuò)誤有意識(shí)地設(shè)置“陷阱”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)題辨析，并對(duì)比類似問題解法上的異同，能提高學(xué)生的辨識(shí)、判斷能力，培養(yǎng)其思維的批判性。

多項(xiàng)選擇題涉及的內(nèi)容廣泛，且命題者往往設(shè)置有“陷阱”，要選出正確的答案，必須用批判性的態(tài)度去思考，請(qǐng)看下面這道題目。

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性應(yīng)首先落實(shí)在概念、公式、法則和定理的教學(xué)中。教師既要讓學(xué)生明確它們的作用，又要讓學(xué)生理解它們的真正含義。比如（1），a與b的關(guān)系可以通過對(duì)稱軸的關(guān)系來建立，為此，學(xué)生必須熟悉拋物線的對(duì)稱軸公式x=-[b2a]。找到了這層關(guān)系，由題意可得x=-[b2a]=1，于是很快就能判斷出2a+b=0這個(gè)結(jié)論正確。

數(shù)學(xué)思維批判性的特征在于有能力評(píng)價(jià)解題思路是否正確，能用批判性的態(tài)度分析解題過程，發(fā)現(xiàn)其中的不足，并加以改正和完善。如（2），由圖學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)的范圍a>0，b<0，c<0，但單憑這些條件還不足以推出a+b+c的正負(fù)。在尋找條件的過程中，學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合知識(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)-1

問題越辯越明，自由討論、爭辯的學(xué)習(xí)氛圍有利于發(fā)展學(xué)生思維的批判性。教學(xué)中，很多學(xué)生認(rèn)為（5）正確。出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，在于學(xué)生沒有充分利用題目所給的已知條件。教師沒有直接指出學(xué)生判斷錯(cuò)誤的原因，而是引導(dǎo)他們進(jìn)一步讀題，并自主交流討論。通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)要使△ABC為等腰直角三角形，有AB=BC=4，AB=AC=4和AC=BC三種情況，但并不一定能據(jù)此確定a的值的個(gè)數(shù)。于是，學(xué)生抱著質(zhì)疑的態(tài)度進(jìn)行驗(yàn)證。最后，學(xué)生通過計(jì)算得出，當(dāng)AC=BC時(shí)，關(guān)于a的方程無解，因此a的值只有兩個(gè)，結(jié)論（5）是錯(cuò)誤的。

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性是一個(gè)復(fù)雜的過程，不能期望一蹴而就。教學(xué)中，教師有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)論證和計(jì)算方面的科學(xué)訓(xùn)練，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性就會(huì)逐步增強(qiáng)。

四、注重聯(lián)想，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性指解題時(shí)不局限于某一方面或受思維定勢的影響，而能隨機(jī)應(yīng)變，觸類旁通。

我們來看這樣一道題目：設(shè)a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0且1-ab2≠0，求[（ab2+b2+3a+1a）2]的值。不少學(xué)生一看到題目，就按照常規(guī)思維對(duì)求值的分式進(jìn)行化簡；還有的學(xué)生則去解關(guān)于a，b的方程，再代入求值。這些思維方法都沒錯(cuò)，但這樣解題計(jì)算量相當(dāng)大，學(xué)生往往難以求出正確的值。其實(shí)，解這道題時(shí)，上述兩種解法都不是最佳選擇。學(xué)生如果能通過觀察兩個(gè)方程系數(shù)的特征，聯(lián)想到[1a]和b2可以看作一元二次方程x2-2x-1=0的兩個(gè)根，然后運(yùn)用“韋達(dá)定理”來解決問題，解題的過程就會(huì)變得很簡單。

數(shù)學(xué)的多個(gè)分支在內(nèi)容和方法上都是密切聯(lián)系，互相滲透的。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，豐富而恰當(dāng)?shù)穆?lián)想，能使看似復(fù)雜的問題變得熟悉起來，簡單起來。因此，平時(shí)教學(xué)中，教師經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生整理知識(shí)，讓他們發(fā)現(xiàn)知識(shí)的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系。這樣，學(xué)生思維的靈活性就會(huì)越來越強(qiáng)。

（作者單位：赤壁市蒲紡一中）

責(zé)任編輯 姜楚華