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高考數(shù)學中參數(shù)方程的應(yīng)用舉例

楊志濤

(陜西省西安市惠安中學，710302)

從目前參加新課標高考的省份對參數(shù)方程與極坐標內(nèi)容的考查來看,主要考查極坐標方程和直角坐標方程的互化及常見曲線的極坐標方程與極坐標方程的簡單應(yīng)用.預測2016年高考在試題難度、知識點考查等方面,不會有太大的變化.針對考查直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程以及簡單的應(yīng)用問題，復習這部分內(nèi)容時,應(yīng)緊緊抓住直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程、圓錐曲線的參數(shù)方程的建立以及各參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,同時要熟練掌握參數(shù)方程與普通方程互化的一些方法．

考綱對本版塊知識要求:

(1) 了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義；

(2) 能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程．

高中數(shù)學中，參數(shù)方程的知識點包括以下幾方面:

1.參數(shù)方程的概念

在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)

(*)

并且對于t的每一個允許值,由方程組(*)所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,則方程組(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程,變數(shù)t叫做參數(shù).

2.直線的參數(shù)方程

過點M(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為

3.圓的參數(shù)方程

(1)圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程為

(2)圓心為C(a,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程為

4.常見曲線的參數(shù)方程的一般形式

(3)拋物線y2=2px(p>0)的參數(shù)方程為

5.參數(shù)方程和普通方程的互化

把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當?shù)南麉⒎椒?常見的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法等.

把曲線C的普通方程F(x,y)=0化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當選取參數(shù);二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r性.

典型應(yīng)用1參數(shù)方程與普通方程的互化

例1把下列參數(shù)方程化為普通方程:

思路(1)利用平方關(guān)系消參數(shù)θ;

(2)代入消元法消去t.

代入三角恒等式cos2θ+sin2θ=1,得(x-3)2+(y-2)2=1,這就是它的普通方程.

評注化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù),常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法.參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程,不要忘了參數(shù)的范圍.

①2+②2，得x2+(y-1)2=1，

答案：x2+(y-1)2=1.

典型應(yīng)用2直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用

(2)當直線l與圓C有公共點時,求α的取值范圍.

思路(1)求圓心到直線l的距離,這個距離減去圓的半徑即為所求;(2)把圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程,將直線的參數(shù)方程代入得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程,這個方程的Δ≥0.

評注如果問題中的方程都是參數(shù)方程,那就要至少把其中的一個化為直角坐標方程.

典型應(yīng)用3圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

思路把直線方程用參數(shù)表示,直接與橢圓聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式可解決.

解由條件可知直線的參數(shù)方程是

代入橢圓方程，可得

設(shè)方程的兩實根分別為t1、t2,則由二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可得

則直線截橢圓的弦長是

評注普通方程化為參數(shù)方程:化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù),即選定合適的參數(shù)t,先確定一個關(guān)系x=f(t)(或y=φ(t)),再代入普通方程F(x,y)=0,求得另一關(guān)系y=φ(t)(或x=f(t)).一般地,常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率,某一點的橫坐標(或縱坐標).普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù),選擇的參數(shù)不同,所得的參數(shù)方程也不一樣.

直線的參數(shù)方程為

設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為s1,s2，則

從近兩年的新課標高考試題可以看出,對參數(shù)方程的考查重點是直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程和圓錐曲線的參數(shù)方程的簡單應(yīng)用,特別是利用參數(shù)方程解決弦長和最值等問題,題型為填空題和解答題．很多自主命題的省份在選考坐標系與參數(shù)方程中的命題中多以綜合題的形式命題,而且通常將極坐標方程、參數(shù)方程相結(jié)合,以考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力.只要我們認真鉆研新課標,用心教學,一定會取得好的成績．