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實(shí)現(xiàn)高三數(shù)學(xué)高效復(fù)習(xí)的三個(gè)著力點(diǎn)

劉起鵬

(江蘇省南京市溧水區(qū)第三高級(jí)中學(xué)，211200)

高三階段數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主要任務(wù)是查漏補(bǔ)缺、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.教學(xué)中出現(xiàn)頻率較高的課型是習(xí)題課,教師精選題目,學(xué)生課前自主練習(xí)、課上交流探討互動(dòng)、課后鞏固總結(jié).但是在實(shí)際教學(xué)中,這樣的習(xí)題講評(píng)課往往教學(xué)目標(biāo)不明確.教師一講到底,難有學(xué)生的參與和互動(dòng);教師就題論題,缺乏對(duì)問(wèn)題的深入探究;教師講完了事,缺少方法的思考和總結(jié).這種流于形式的習(xí)題講評(píng),不能引起學(xué)生思維的共鳴,學(xué)生遇到類似的問(wèn)題還是無(wú)從下手.如何改變提高復(fù)習(xí)課的效率呢?筆者認(rèn)為應(yīng)從挖掘課本知識(shí),發(fā)揮一題多解與多解歸一在復(fù)習(xí)中的作用及注重學(xué)生的解后反思這三個(gè)方面入手,追求高效的復(fù)習(xí)教學(xué).

一、挖掘課本知識(shí),通過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)

新課程強(qiáng)調(diào)要用好、用活教材,課堂上,教師要充分挖掘教材的內(nèi)涵和外延,提高解題技能.在復(fù)習(xí)解析幾何中的斜率時(shí),要充分理解斜率公式就會(huì)在解決一些題目時(shí)取得事半功倍的效果.

案例1已知a,b,m均為正數(shù),且a

對(duì)于新學(xué)解析幾何知識(shí),教師如果不再提煉、運(yùn)用,學(xué)生就不能靈活應(yīng)用于解題中.在其他章節(jié)知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí),重溫已學(xué)過(guò)知識(shí)的來(lái)源與推導(dǎo),學(xué)生往往會(huì)有“恍然大悟”的感覺(jué),不但可以鞏固這些公式,而且也能領(lǐng)會(huì)其中所體現(xiàn)的方法、思想,解題時(shí)就可快速、高效.

二、發(fā)揮“一題多解”與“多解歸一”的作用

“一題多解”是采用多種解題方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)方法,是培養(yǎng)思維多樣性的一種重要途徑,它有利于培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力,加深對(duì)概念、規(guī)律的理解和應(yīng)用,提高學(xué)生的應(yīng)變能力,啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維.“多題歸一”是在復(fù)習(xí)時(shí),將很多例題有機(jī)地串聯(lián)起來(lái),編成一組,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多題一解進(jìn)行反思,可提高學(xué)生的化歸能力,使零碎的知識(shí)成為一個(gè)有機(jī)的整體,體會(huì)通性通法在解題中的作用,培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題的敏感性和思維的系統(tǒng)性,從而提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率和運(yùn)用知識(shí)的能力.

案例2如圖2,過(guò)點(diǎn)P(1,1)作直線AB,分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)A、B,當(dāng)直線AB在什么位置時(shí),?AOB的面積最小?最小面積是多少?

此題入口寬,方法多樣,可以引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)不同的視角解決問(wèn)題.

當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)b=2,下同解法1.

解法3(運(yùn)用整體代換)同解法1，可得

①

下同解法1.

解法4(運(yùn)用導(dǎo)數(shù))同解法2，得

令S′(a)=0得a=2(a=0舍棄).

當(dāng)02時(shí),S′(a)>0,S(a)在區(qū)間(2,+∞)單調(diào)遞增.

由上述討論可知S(a)在a=2時(shí)取得最小值.

此時(shí)直線方程為x+y-2=0，即當(dāng)直線AB方程為x+y-2=0,?AOB的面積最小值是2.

解法5(柯西不等式視角)同解法3，得

故當(dāng)a=b=2時(shí)，S?OAB取最小值2.

解法6(運(yùn)用向量數(shù)量積)同解法3，得

由m·n≤|m||n|，得

下同解法1.

此時(shí)a=sec2α=2,b=csc2α=2，即當(dāng)a=b=2時(shí),?OAB的面積最小為2,此時(shí)直線方程為x+y-2=0.

三、注重解后反思,滲透數(shù)學(xué)思想

高三階段尤其到了中后階段的綜合題考察知識(shí)點(diǎn)多、能力要求高,就題論題的講解效果不好.誠(chéng)如玻利亞所言:“一個(gè)好的教師應(yīng)該懂得,而且使他的學(xué)生也懂得,沒(méi)有一個(gè)問(wèn)題一經(jīng)解決就算是完全做完了.一個(gè)問(wèn)題解決之后,常常還留下一些事情可做:經(jīng)過(guò)充分的研究和觀察,我們可以改善解答;而在任何情況下,總能增進(jìn)我們對(duì)解答的了解.”在解題后引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié),能使學(xué)生掌握一類問(wèn)題的一般解題方法,能夠提升對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解,真正找到解題的“金鑰匙”.

這道題目綜合性強(qiáng)、思維要求高,不少學(xué)生因?yàn)榉椒ú坏卯?dāng)或缺乏運(yùn)算能力,不能做出準(zhǔn)確的解答.筆者在教學(xué)這道題時(shí),讓學(xué)生自主補(bǔ)充、完善整個(gè)解題過(guò)程,并對(duì)該題進(jìn)行了解題反思.

生1:若直線l⊥x軸,交橢圓于短軸端點(diǎn),以AB為直徑的圓顯然過(guò)定點(diǎn)T(0,1);

下面我就不會(huì)做了.

師:還不錯(cuò),能考慮到直線斜率不存在的討論.還有同學(xué)補(bǔ)充嗎?

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0,

代入即可證出.

如果課堂講解就此止步,學(xué)生再次遇到類似的問(wèn)題,還是很難形成較為順暢的解題思路.因此,完成解題后,教師帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)深入思考就顯得尤為重要.

師:把幾何定點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式恒成立問(wèn)題,解題思路很清晰,但要求學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力,感興趣的同學(xué)課后可以按此方法繼續(xù)完成解答.能不能先找到這個(gè)定點(diǎn)T,再證明正確性呢?

生4:我取特殊直線,當(dāng)l斜率不存在時(shí),交y軸于點(diǎn)(0,1)和(0,-1),因此定點(diǎn)為T(0,1)和T(0,-1).但原題只有T(0,1),好像不對(duì)?

師:取特殊直線先得到定點(diǎn),必要時(shí)可多取幾條.找到定點(diǎn),再證明正確性.這種由特殊到一般數(shù)學(xué)思想方法能大大降低解題的難度.同學(xué)們進(jìn)一步思考下面的問(wèn)題:

先找定點(diǎn),再證明其正確性,能夠明確運(yùn)算目標(biāo),并且降低運(yùn)算量,這種方法更適合學(xué)生的思維方式.

對(duì)于較綜合的題目,學(xué)生往往難以真正體會(huì)蘊(yùn)藏其中的數(shù)學(xué)思想,因此學(xué)生解題后還需進(jìn)一步的反思.為深入理解“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想,學(xué)生可進(jìn)一步思考.

生:設(shè)M(m,0),取特殊直線.

師:可否考慮點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)O的特殊情形呢?

師:方法中蘊(yùn)含了極限思想,請(qǐng)大家繼續(xù)完成本題.

教師引導(dǎo)下的總結(jié)和反思,是將學(xué)生掌握的思想方法進(jìn)行升華,內(nèi)化為能力的過(guò)程.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,學(xué)生需要進(jìn)一步提升自己的思維能力,因此教師解題后需要引導(dǎo)學(xué)生反思,優(yōu)化解題方法,滲透數(shù)學(xué)思想.

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)多給學(xué)生更多自我完善和自我探索的空間,多一些發(fā)展學(xué)生思維、鍛煉學(xué)生能力的活動(dòng)和環(huán)節(jié),少一些教師想當(dāng)然的講解.高中課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“教學(xué)中,應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng);既要有教師的講授和指導(dǎo),也要有學(xué)生的自主探索與合作交流;教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境,鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的途徑.”在習(xí)題講評(píng)課中注重學(xué)生的參與、注重對(duì)問(wèn)題的變式拓展、注重解題后反思,會(huì)大大提高專題講評(píng)課的效率.

○高考復(fù)習(xí)研究○