劉春輝

（赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024001）

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一道有理函數(shù)不定積分題目的多種計算方法

劉春輝

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024001）

摘要：本文綜合運用有理函數(shù)積分法以及多種方式的換元積分法，給出了一道不定積分題目的多種計算方法，開拓了不定積分的解題思路.

關(guān)鍵詞：不定積分；有理函數(shù)積分法；換元積分法

不定積分的計算是高等數(shù)學(xué)[1-3]課程的一項重要的內(nèi)容，通常的高等數(shù)學(xué)教材中都是通過依次介紹換元積分法、分部積分法和有理函數(shù)的積分法三個板塊來編排教學(xué)內(nèi)容的.但學(xué)生在學(xué)習(xí)完這部分內(nèi)容后，往往會遇到一個十分令人困惑的問題，那就是，面對一道不定積分的計算問題，如何去選擇一個適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ嬎愠銎浣Y(jié)果？事實上，對于各類積分法不應(yīng)該將他們孤立的去看待，而應(yīng)該將他們看成為一個相互影響的有機整體，進(jìn)而從中分別體會每類方法的精髓.計算不定積分的過程是一個靈活多變的過程，大多情況下，對一個不定積分的計算常常需要綜合運用多種方法.同時，對同一問題，用不同的視角去分析，從而得到多種不同的解題思路，有助于不斷積累解題經(jīng)驗，提高解題效率.鑒于此，本文將以一道有理函數(shù)的不定積分計算題目為例，運用多種方法給出其計算過程.

解法1從被積函數(shù)的形式上來看，它是一個典型的有理函數(shù).因此，最常規(guī)的方法，也是最容易被想到的方法就是按照有理函數(shù)積分法進(jìn)行計算.從而有：

比較分子的系數(shù)，得關(guān)于待定系數(shù)A,B,C的方程組

解之得

故

因此，我們有

令1+x=t，則1+x2=1+(t-1)2=t2-2t+2，dx=dt，從而原積分變形為：

比較分子的系數(shù)，得關(guān)于待定系數(shù)A,B,C的方程組

解之得

故

因此，我們有

將t=1+x帶入上式，便得

從而原積分變形為：

注意到被積函數(shù)中包含1+x2，針對這一特點，可以考慮利用三角恒等式

進(jìn)行三角換元.鑒于大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材中都利用前者進(jìn)行換元，這里我們利用后者進(jìn)行討論.于是有：

解法4令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

所以，移項得

解法5令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

因為

所以，結(jié)合解法4的變量回帶過程得

解法6令x=cosθ，則dx=-csc2θ，于是

因為

所以，結(jié)合解法4的變量回帶過程得

解法7令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

所以

因此，結(jié)合解法4的變量回帶過程得

解法8令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

因為

所以，移項整理得

因此，結(jié)合解法4的變量回帶過程得

解法9令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

因為

所以，結(jié)合解法4的變量回帶過程得

結(jié)束語

通過上述討論，我們給出了一個不定積分的9種計算方法，細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，如果在解法4-9中采用x=tanθ的方式換元，還可以得到類似于解法4-9的6種方法，因此，實際上我們給出了該不定積分的15種計算方法.雖然15種方法考慮問題的角度與出發(fā)點各不相同，但是殊途同歸，最終獲得的結(jié)論是一致的，這正是數(shù)學(xué)問題一題多解的精髓所在.問題的討論過程，不僅可以讓我們不斷開拓思維，使思考問題的思路更加靈活，做到“舉一反三”，而且有助于我們進(jìn)一步理清前后知識的脈絡(luò)，達(dá)到融會貫通的效果.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊[M].北京:高等教育出版社,2014.

〔2〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)附冊：學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解[M].北京:高等教育出版社,2014.

〔3〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南上冊[M].北京:高等教育出版社,2014.

收稿日期：2015年10月9日

中圖分類號：O172

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）02-0001-03