楊涌 文軍 海昕

摘 要：與其他數(shù)學(xué)公共課程相比，線性代數(shù)課程具有內(nèi)容抽象的突出特點。以Cramer法則教學(xué)內(nèi)容為例，基于教學(xué)難點，結(jié)合教學(xué)實踐和體會，探討了啟發(fā)式教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；啟發(fā)式教學(xué)法；數(shù)學(xué)課程

線性代數(shù)是很多工程技術(shù)知識的基礎(chǔ)，因此對非數(shù)學(xué)專業(yè)而言，線性代數(shù)課程是最重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程之一。線性代數(shù)課程的學(xué)時一般較少，但是概念和方法很多，并且表述抽象，這樣就使一些看似簡單的基本概念和方法對于學(xué)生而言在學(xué)習(xí)時也有難理解、難掌握的感覺，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程中的困惑、失落和畏難情緒。

導(dǎo)致這種難學(xué)難懂狀態(tài)的基本原因可以從課程的特點和學(xué)生的基礎(chǔ)兩個方面進行分析：線性代數(shù)課程使用的教材一般注重邏輯的嚴謹性和表述的數(shù)學(xué)化，重點突出理論知識，用純數(shù)學(xué)方法和技巧來描述普適性的規(guī)律，強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力；而大一新生的數(shù)學(xué)知識與思維能力還局限于中學(xué)階段，并未完全具備嚴謹?shù)某橄罄斫夂屯评砑寄堋Ｒ虼水?dāng)課程中的知識體系與學(xué)生已學(xué)知識沒有太多聯(lián)系，并且內(nèi)容高度抽象，表面上與后續(xù)專業(yè)課程結(jié)合不緊密時，就會使學(xué)生對線性代數(shù)課程的認識形成難學(xué)并且不實用的直觀印象。

從一般的認知規(guī)律而言，人們對于自然現(xiàn)象的分析都遵從由特殊到一般，由具體到抽象的過程。如何在線性代數(shù)課程的教學(xué)中按照認知規(guī)律，以學(xué)生為中心對教學(xué)方法進行改進和完善，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使線性代數(shù)的教學(xué)能夠做到易教易學(xué)是近年來線性代數(shù)教學(xué)工作者關(guān)心的重點問題之一。本文結(jié)合線性代數(shù)課程教學(xué)實踐，以Cramer法則的證明為例，探討啟發(fā)式方法在實際教學(xué)中的應(yīng)用。

一、對啟發(fā)式教學(xué)法的認識

啟發(fā)式教學(xué)法源于中國古代儒家的教育思想。在現(xiàn)代教育中，啟發(fā)式教學(xué)被認為是一種可以有效開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性，培養(yǎng)學(xué)生主動思考和自主學(xué)習(xí)能力的教學(xué)模式。在具體實施中強調(diào)以學(xué)生為基本出發(fā)點，發(fā)揮好老師的主導(dǎo)作用，無論對學(xué)生還是老師都提出了更高的要求。

啟發(fā)式教學(xué)法的實施就是教師從學(xué)生已有知識和思維模式出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的情境以及適時的思維指導(dǎo)，激活學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生主動思考并達成教學(xué)目標(biāo)。

線性代數(shù)課程旨在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和形象思維能力以及學(xué)會把握這兩種思維之間的聯(lián)系，讓學(xué)生探索對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，提高學(xué)習(xí)的主動性和解決問題的能力。因此能否將抽象的知識理論與學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有的知識建立起自然而內(nèi)在的聯(lián)系，直接決定了教學(xué)效果的優(yōu)劣。

針對啟發(fā)式教學(xué)法和線性代數(shù)課程教學(xué)的要求，在線性代數(shù)教學(xué)中引入啟發(fā)式方法，引導(dǎo)學(xué)生將思維和情感融入教學(xué)過程中，從而生成積極而有效的教與學(xué)的有機過程將明顯提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而改善教學(xué)效果。

二、啟發(fā)式教學(xué)法在Cramer法則證明中的應(yīng)用及實效分析

本節(jié)以Cramer法則的部分教學(xué)內(nèi)容為例，淺談啟發(fā)式教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的具體應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容：Cramer法則是我校自編教材《線性代數(shù)與解析幾何》第一章第五節(jié)的內(nèi)容，具體內(nèi)容如下：

定理1.3 若線性方程組

a11x1+a12x2+…a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2……an1x1+an2x2+…annxn=bn，

的系數(shù)行列式D≠0，則它有唯一解

xj= ，j=1，2…，n

其中Dj是把D的第j列換成常數(shù)列所得到的行列式，

即：Dj= bkAkj。

證：把xj= ，（j=1，2，…，n）代入線性方程組得：

aijxj= aijxj = aijDj

= aij bkAkj

= bk ai j Ak j

= bk？啄ikD，i=1，2，…，n其中：？啄ik=0 i≠k1 i=k，因此這組值是線性方程組的解。

……

（唯一性的證明略）

教學(xué)難點分析：Cramer法則的結(jié)論簡潔直觀，結(jié)論的證明過程具有高度的概括性和抽象性，具有顯著的“數(shù)學(xué)之美”，但在實際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，對于初學(xué)線性代數(shù)的大一新生而言要較好地理解上述證明過程具有一定的難度。

學(xué)生學(xué)情分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)該內(nèi)容之前已經(jīng)在第一節(jié)中利用中學(xué)階段學(xué)習(xí)的線性方程組求解結(jié)果得到了關(guān)于二階行列式和三階行列式的相關(guān)結(jié)論；在之后的章節(jié)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過n階行列式的系統(tǒng)理論，已經(jīng)具備了掌握上述證明過程的基本知識。但對于此時接觸線性代數(shù)知識體系只有兩周左右的大一新生，在抽象表述和思維能力方面還具有一定的局限性，要理解好證明過程具有一定的難度，特別是與多維坐標(biāo)相聯(lián)系的求和抽象表示符號上難以很好地掌握。

教學(xué)難點破解：結(jié)合教學(xué)難點和學(xué)情分析，考慮到自然規(guī)律認知過程，在具體教學(xué)實施過程中引入了啟發(fā)式教學(xué)法，做如下設(shè)計：

首先引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論代入一個具體的方程進行分析：把xj= ，（j=1，2…，n）代入線性方程組的第一個方程得：（分析過程中有意識將行、列對齊，方便學(xué)生在后續(xù)分析加強理解）

a11 +a12 +…+a1n

= [a11（b1A11+b2A21+…+bnAn1）]+a12（b1A12+b2A22+…+bnAn2） （*）

+…+a1n（b1A1n+b2A2n+…+bnAnn]

= [b1（a11A11+a12A12+…+a1nA1n）

+b2（a11A21+a12A22+…+a1nAn2） （**）

+…+bn（a11An1+a12A2n+…+a1nAnn]

=b1

然后利用觀察啟發(fā)和討論啟發(fā)兩種不同的方式來進行設(shè)問和思維引導(dǎo)：（1）上述過程是否可以采用更加簡潔、抽象的數(shù)學(xué)表示形式？（2）如何將上述過程改寫為對任意一個方程來進行表述？

在對問題（1）的回答過程中引導(dǎo)學(xué)生首先將（*）式中每個小括號內(nèi)的求和表達式（即每一行內(nèi)部）按照Akj行坐標(biāo)的順序采用求和符號可簡記為 bkAkj，再將（*）式不同行之間的求和運算按照Akj和a1j下列坐標(biāo)的順序簡記為 a1j bkAkj；對于（**）式也進行上述分析，這樣學(xué)生可以通過自己的主動思維，較好地理解與多維坐標(biāo)相聯(lián)系的雙重求和符號 （…） （…）的實際意義及其變換順序為 （…） （…）的實際過程，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供較好的基礎(chǔ)。在對問題（2）的回答過程中引導(dǎo)學(xué)生深刻理解線性方程組的系數(shù)行列式中元素的行坐標(biāo)與方程之間的實際聯(lián)系，使學(xué)生深刻理解線性方程組的系數(shù)行列式中元素行坐標(biāo)、列坐標(biāo)與方程表達式之間的聯(lián)系及其抽象表示。

最后在上述分析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主寫出定理結(jié)論的證明過程，并對存在的問題進行講解。

教學(xué)效果總結(jié)：在實際教學(xué)中引入上述啟發(fā)式教學(xué)法后，通過對一個具體的方程進行分析，推導(dǎo)出簡潔的抽象表述，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認知規(guī)律。學(xué)生反映對于學(xué)習(xí)中的難點有了更加直觀和深刻的理解，有助于線性代數(shù)學(xué)習(xí)初期抽象表述能力、抽象思維能力的培養(yǎng)和提高。

本文結(jié)合線性代數(shù)教學(xué)中啟發(fā)式教學(xué)法的應(yīng)用，以Cramer法則的證明為例，探討了對教學(xué)具體環(huán)節(jié)的改進，目的是克服教學(xué)中的難點，達到教學(xué)目標(biāo)，這一改進在實際教學(xué)中取得了良好的效果。

線性代數(shù)課程由于內(nèi)容抽象等特點，使其教與學(xué)的過程中存在一定的困難，而啟發(fā)式教學(xué)法在線性代數(shù)課程的實際教學(xué)中體現(xiàn)出了獨特的優(yōu)勢，不僅可以加深學(xué)生對抽象內(nèi)容的理解，也可引導(dǎo)學(xué)生在分析實際問題時透過表面現(xiàn)象去探尋本質(zhì)，從而提高抽象表述能力、抽象推理能力、協(xié)作探索能力等，提高數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)及應(yīng)用能力。但是，由于線性代數(shù)實際教學(xué)課時的限制，在完整的課程教學(xué)中如何系統(tǒng)、有效地實施啟發(fā)式方法仍有一些問題需要進行深入探討。

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編輯 薛直艷