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立足常法通法兼顧巧法妙法
——一道調(diào)考題的解法研究

梅磊

(湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué)，430300)

一道好題,可以撩動學(xué)生自主探究的興趣,升華認知,欲罷不能;可以煽動學(xué)生聯(lián)想的翅膀,類比體驗,樂不思蜀;可以撥動學(xué)生創(chuàng)新的激情,艱難求索,義無反顧.它也正是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的好素材.

武漢市2015屆高中畢業(yè)生調(diào)考數(shù)學(xué)選擇題的壓軸題如下：

題目過點A(-2,3)作拋物線y2=4x的兩條切線l1,l2，與y軸分別交于點B,C,則?ABC的外接圓方程為()

(A)x2+y2-3x-2y+1=0

(B)x2+y2-2x-3y+1=0

(C)x2+y2-3x-4=0

(D)x2+y2+x-3y-2=0

作為選擇題,將點A(-2,3)的坐標(biāo)代入四個選項,可知答案為D.

如果此題不是選擇題,或者設(shè)計點A的坐標(biāo)滿足全部四個選項呢?

筆者就此題的解法進行研究,得到解答此題的常法、通法、巧法和妙法.

解法1設(shè)所作切線方程為y-3=k(x+2),與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,可得k2x2+(4k2+6k-4)x+4k2+12k+9=0.

由Δ=0,得2k2+3k-1=0,解得

從而線段BC的垂直平分線方程為

①

②

即x2+y2+x-3y-2=0.

評注解法1是常規(guī)常法,思路自然清晰,但運算十分繁瑣,不可取.

解法2設(shè)切線方程為y-3=k(x+2),與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,可得

ky2-4y+8k+12=0.

由Δ=0,得2k2+3k-1=0,從而

不妨設(shè)直線lAB的方程為y-3=k1(x+2).令x=0,得y=2k1+3,故B(0,2k1+3).

同理可得C(0,2k2+3).

設(shè)?ABC的外接圓方程為

x2+y2+Dx+Ey+F=0.

令x=0,得

y2+Ey+F=0,

則E=-(y1+y2)

=-2(k1+k2)-6

=-3,

F=y1y2

=4k1k2+6(k1+k2)+9

=-2.

將點A的坐標(biāo)代入,可得D=1.

所以?ABC的外接圓方程為

x2+y2+x-3y-2=0.

評注解法2是通性通法,利用整體思想,設(shè)而不求,運算相對簡單.

下面給出解答此題的巧法和妙法.為此，先給出拋物線切線的兩個常用性質(zhì)：

性質(zhì)1過拋物線y2=2px(p>0)上一點G(x0,y0)的切線方程為y0y=p(x+x0).

性質(zhì)2過拋物線y2=2px(p>0)外一點A(x0,y0)作兩條直線AM、AN，與此拋物線相切于點M、N,則切點弦MN所在直線的方程為y0y=p(x+x0).

解法3設(shè)直線l1,l2與拋物線y2=4x相切于點M(x1,y1)、N(x2,y2),則由性質(zhì)2知直線MN的方程為3y=2(x-2).將其與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,可得y2-6y-8=0,則y1+y2=6,y1y2=-8.

設(shè)?ABC的外接圓方程為

x2+y2+Dx+Ey+F=0.

令x=0,得y2+Ey+F=0,則

將點A的坐標(biāo)代入,可得D=1.

所以?ABC的外接圓方程為

x2+y2+x-3y-2=0.

評注解法3是巧法,利用有關(guān)拋物線的切線的兩個常用性質(zhì),進一步減少了運算量.

定義如果一個三角形的三邊所在直線都與某圓錐曲線相切,則稱該三角形是此圓錐曲線的外切三角形.

性質(zhì)3拋物線外切三角形的外接圓過焦點.

推論過拋物線y2=2px(p>0)外一點A(x0,y0)作兩條切線l1,l2，與y軸分別交于點B,C,點F是拋物線的焦點,則線段AF是?ABC的外接圓的直徑.

故?ABC的外接圓方程為

即x2+y2+x-3y-2=0.

評注解法4是妙法,利用拋物線外切三角形的性質(zhì),找到是試題的命題基礎(chǔ),可謂秒殺方法.

至此,通過對一道調(diào)考題深入研究,我們不但得到了解答此題的常法、通法、巧法和妙法,而且感受到了數(shù)學(xué)研究的樂趣.不放過那些可能作為知識、能力、思想、方法考查的載體的題目,深入研究可能被利用的題目,充分發(fā)現(xiàn)它的價值,發(fā)揮它的潛在功能,這是我們教學(xué)過程中一定要做的工作.