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○教學(xué)研究○

基于APOS 理論的“柯西不等式”教學(xué)

席明明

(安徽省安徽師范大學(xué),241000)

APOS理論是由美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基在20世紀(jì)80年代提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的新理論,是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論．這種理論認(rèn)為,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念必須要經(jīng)歷“操作(Action)”,“過(guò)程(Process)”,“對(duì)象(Object)”,“圖式(Schema)”四個(gè)階段,才能完成知識(shí)建構(gòu),從本質(zhì)上掌握知識(shí)．根據(jù)對(duì)APOS理論的理解,筆者設(shè)計(jì)了以下“柯西不等式”教案，以企拋磚引玉，供同仁們交流探索．

第一階段觀察與操作(操作階段) ——活動(dòng)為主的感性認(rèn)識(shí)

問(wèn)題1你還記得“趙爽弦圖”嗎?

師:大家還記得圖1這幅圖嗎?它證明了什么結(jié)論?(回顧舊知)．

生1:這個(gè)是“趙爽弦圖”.我們通過(guò)面積計(jì)算得出,大正方形面積S與小三角形的面積S?滿足S≥4SΔ,得到了基本不等式

師:觀察這個(gè)圖形,它的每個(gè)小三角形形狀都如何?

生2:四個(gè)直角三角形完全相同．

師:假如四個(gè)直角三角形是兩兩相同,用兩個(gè)紅色直角三角形和兩個(gè)藍(lán)色直角三角形，可以拼出什么樣的圖形?(讓學(xué)生自己動(dòng)手操作,在紙上畫出；幾分鐘后,教師在PPT上給出圖2和圖3.)

師:令所畫紅色直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為a,b,藍(lán)色直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為c,d．大家能否結(jié)合圖1面積的求法,把圖2,圖3中的平行四邊形面積表示出來(lái)？

第二階段綜合分析(過(guò)程階段)——思維活動(dòng)為主的理性思考

生3:我是結(jié)合圖1的方法,從外部和內(nèi)部分別表示這個(gè)大平行四邊形的面積．設(shè)平行四邊形一個(gè)內(nèi)角為α,由圖3從外部表示為

①

另外,由圖2知，平行四邊形面積又等于2個(gè)紅色三角形面積加2個(gè)藍(lán)色三角形面積再加中間矩形面積，即

=ac+bd.

②

師:那么①②表示的面積是相等的,sinα可以消掉嗎?(引導(dǎo)學(xué)生用不等式表示面積)

生4:不可以．除非sinα的值為1,即α=90°,0≤sinα≤1．

師:那可以用一個(gè)不等式去表示嗎?

師:能否換一種形式呢?可能將根號(hào)去掉?

生6:兩邊平方，可得

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

③

師:我們把這樣的不等式叫做柯西不等式．大家看看圖3,你們用上述方法表示出平行四邊形面積后,得出了③式嗎?

設(shè)計(jì)意圖聯(lián)立幾何圖形證明基本不等式,通過(guò)平行四邊形的面積表示,可引導(dǎo)學(xué)生探究出柯西不等式的表達(dá)形式．圖3的證明可以讓學(xué)生自己去完成,起到一個(gè)鞏固的作用．

問(wèn)題2能用其它方法說(shuō)明上述不等式成立嗎?

師:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，你能證明這個(gè)不等式嗎?(讓學(xué)生討論)

生7:我用的是作差法．用不等式的左邊減去不等式右邊得到a2d2+b2c2-2abcd≥0，即有(ad-bc)2≥0恒成立．所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)取等號(hào)．

師:很好,這是證明柯西不等式的基本方法之一:作差法．還有別的方法嗎?

師:我們一起來(lái)看看這個(gè)函數(shù) f(x)=a2x2+b2x2-2acx-2bdx+c2+d2≥0恒成立,我們又可以得到什么?

生8:這是關(guān)于一個(gè)x的二次函數(shù),f(x)≥0恒成立,則Δ≤0．

生9:我由Δ≤0,得到了4(ac+bd)2≤4(a2+b2)(c2+d2),同時(shí)約去4,這不就是我們要證明的柯西不等式嗎．(全班因得到這個(gè)“意外”的結(jié)論而歡呼)

問(wèn)題3探索不等式中等號(hào)成立的條件．

師:什么時(shí)候我們可以取等號(hào)呢?

生10:當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立，從剛剛采用的作差法就可以得到．

生11:我是反過(guò)來(lái)做的．要證ad=bc,即證(ad-bc)2=0,只要證明a2d2+b2c2-2abcd=0,只要證明a2d2+b2c2-2abcd+a2c2+b2d2=a2c2+b2d2;移項(xiàng)化簡(jiǎn)得到(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)，所以當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立．

問(wèn)題4柯西不等式是否對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b,c,d是否都成立?(讓學(xué)生自己驗(yàn)證,由于每項(xiàng)都含有平方項(xiàng),發(fā)現(xiàn)柯西不等式確實(shí)對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立.)

評(píng)注此過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生證明了柯西不等式,探究了等號(hào)成立的條件,從而進(jìn)一步揭示了柯西不等式的本質(zhì)．證明的過(guò)程聯(lián)系了舊知,學(xué)生也掌握證明不等式的方法(作差法,綜合法,分析法)．教師要做充分的預(yù)設(shè),對(duì)于學(xué)生給出預(yù)設(shè)外的答案,要給于充分肯定,并從容應(yīng)對(duì)解答．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在頭腦中對(duì)反復(fù)的不等式證明活動(dòng)作出嘗試,并不斷進(jìn)行分析、反思,通過(guò)思維的內(nèi)化、整合與壓縮,形成過(guò)程模式,抽象出柯西不等式的概念,即“活動(dòng)”內(nèi)化為“過(guò)程”．此時(shí)個(gè)體能夠?qū)挛鞑坏仁降母拍钸M(jìn)行一般化,認(rèn)識(shí)其實(shí)質(zhì)．由此對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性,為第三階段形成概念做好鋪墊．

第三階段建構(gòu)階段(對(duì)象階段)——數(shù)學(xué)應(yīng)用與表示

師:對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b,c,d,都有(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立，我們把這個(gè)不等式叫做柯西不等式．

問(wèn)題5你能準(zhǔn)確地用文字語(yǔ)言表達(dá)柯西不等式嗎?

師:左邊像什么?(平方和相乘)右邊又像什么?(積的和的平方)想想在基本不等式中我們?nèi)绾斡梦淖终Z(yǔ)言去表達(dá)的?

生12:平方和的積大于或等于積的和的平方．當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立．a(chǎn),b,c,d可以是任意的實(shí)數(shù)．

問(wèn)題6學(xué)習(xí)了柯西不等式有什么用處?

生13:可以在證明一些不等式的過(guò)程中運(yùn)用該結(jié)論．

生14:由剛剛求得的平行四邊形面積和證明函數(shù)f(x)≥0的過(guò)程,我們可以解決一些最值問(wèn)題．

師:很好．我們來(lái)看看以下幾題．

例題已知a2+b2=1,c2+d2=5,求ac+bd的最大值．

變式1已知a2+b2=1,求證:|acosθ+bsinθ|≤1．

變式2已知a2+b2=1,求a+2b的最大值．

(先讓學(xué)生思考,教師可根據(jù)實(shí)際情況,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變式1和變式2中的柯西不等式進(jìn)行變形,讓學(xué)生理解后再獨(dú)立完成,再練習(xí)類似的題目加以鞏固.)

師:變式1中出現(xiàn)了絕對(duì)值,似乎不符合柯西不等式的形式,如何變形出現(xiàn)平方項(xiàng)?(加平方后出現(xiàn)平方項(xiàng),|acosθ+bsinθ|2≤(a2+b2)(cos2θ+sin2θ),滿足柯西不等式的形式.)

師:變式2中如何出現(xiàn)積的和的平方?(進(jìn)行拆分構(gòu)造,出現(xiàn)4項(xiàng),滿足柯西不等式的表達(dá)形式(a+2b)2=(1·a+2·b)2≤(12+22)(a2+b2))．

設(shè)計(jì)意圖三個(gè)題目由易到難具有一定的梯度,學(xué)生在自主探究的過(guò)程中,加深了對(duì)柯西不等式結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí),形成解題技能．突出等號(hào)成立的條件又可以強(qiáng)調(diào)解題的規(guī)范性,提高了學(xué)生推理論證的能力．此過(guò)程幫助學(xué)生對(duì)柯西不等式進(jìn)行建構(gòu),達(dá)到對(duì)象階段的要求．

第四階段形成階段(圖式階段)——辨析與反思

師:柯西不等式的應(yīng)用范圍廣泛,但不易識(shí)記,我們通過(guò)柯西不等式的一個(gè)變式,從它的結(jié)構(gòu)特征來(lái)欣賞它．

生15:左邊像是表示(a,b),(c,d)兩點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離之積．

生16:右邊就表示(a,b),(c,d)兩向量的數(shù)量積．我又發(fā)現(xiàn),要是記α=(a,b),β=(c,d),那就有|α||β|≥|α||β|cos(π-θ)=α·β,這個(gè)是肯定成立的．

生17:原來(lái)我們也可以這樣去證明柯西不等式．給兩邊加平方就是柯西不等式了．

師:很好．但這里要注意,因?yàn)槭潜硎救切蔚倪呴L(zhǎng),默認(rèn)a,b,c,d均大于0,但柯西不等式是強(qiáng)調(diào)對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立,所以有

師:這樣，柯西不等式也可以用幾何的形式來(lái)表示了．如何用文字去表述?

生18:模長(zhǎng)之積大于或等于數(shù)量積．

師:很好,從這個(gè)圖象我們也就能更加清楚理解柯西不等式．

師:向量形式是柯西不等式的另一種表述形式．有關(guān)柯西不等式的向量表達(dá)形式及性質(zhì),我們將放在下一節(jié)課講解．

評(píng)注從形的角度來(lái)看,柯西不等式具有特定的幾何意義；從數(shù)的角度來(lái)看,柯西不等式揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)圖形的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,加強(qiáng)學(xué)生多方面思考問(wèn)題的能力．完成最后圖式階段,使學(xué)生從數(shù)和形兩方面掌握完整的柯西不等式的內(nèi)涵,并能在解決問(wèn)題時(shí)創(chuàng)設(shè)與知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題情境．

上述案例,按照這一理念,圍繞著“活動(dòng)”、“過(guò)程”、“對(duì)象”和“圖式”四個(gè)階段實(shí)施教學(xué),環(huán)環(huán)相扣,循序漸進(jìn),牽引并支持著學(xué)生在自己的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)本質(zhì)之間不斷對(duì)話．在連續(xù)性地回顧與反思過(guò)程中提升、擴(kuò)充學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識(shí),深化對(duì)柯西不等式本質(zhì)的理解,使學(xué)生明確了:

(1) 柯西不等式的推導(dǎo)過(guò)程及教學(xué)背景;

(2) 柯西不等式中有哪些規(guī)定和限制條件,它們與以前學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)有著怎樣的聯(lián)系;

(3) 柯西不等式的表達(dá)形式及其特點(diǎn);

(4) 柯西不等式的等價(jià)敘述;

(5) 運(yùn)用柯西不等式能夠解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題．

從而實(shí)現(xiàn)了真正意義上的柯西不等式知識(shí)建構(gòu),幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解了柯西不等式．但運(yùn)用APOS 理論指導(dǎo)柯西不等式教學(xué)時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)．

(1) 數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則,不能一蹴而就．這就需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù),循序漸進(jìn),螺旋上升,直至學(xué)生真正理解．柯西不等式的向量形式較難,考慮到學(xué)生的實(shí)際接受情況,筆者將以本節(jié)課的知識(shí)作為鋪墊,把向量形式的柯西不等式放在下一節(jié)課講解．這正是體現(xiàn)了循序漸進(jìn),螺旋上升的原則．

(2) 不能將APOS 絕對(duì)化,實(shí)際操作時(shí),往往“活動(dòng)”與“思考”可以穿插進(jìn)行,活動(dòng)中有思考,思考中有活動(dòng)．“對(duì)象”與“圖式”也可以穿插進(jìn)行,兩個(gè)階段可以交替螺旋式進(jìn)行．在本教學(xué)案例中,“活動(dòng)”與“思考”總是相伴相隨．在活動(dòng)階段中的“趙爽弦圖”也含有“圖式”成分．教師要以實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)為目的,根據(jù)實(shí)際,靈活運(yùn)用,提升教學(xué)效果．

盡管APOS理論為我們提供了柯西不等式的教學(xué)模式,但在教學(xué)實(shí)踐中我們?nèi)孕枰粩喾此?不斷改進(jìn)．只有在師生共同的努力下,才能從根本上完成柯西不等式的知識(shí)建構(gòu),幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解柯西不等式．

○學(xué)習(xí)指導(dǎo)○