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一道?？碱}的解法剖析及教學(xué)反思

浙江省紹興市柯橋區(qū)越琦中學(xué)(312050)朱海英浙江省紹興市高級(jí)中學(xué)(312000)阮偉強(qiáng)

1問(wèn)題的提出

近日，我校高三年級(jí)的一次模擬考試中，有這樣一道考題：

圖1

如圖1，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD.四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=2BC.過(guò)A1,C,D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與α的交點(diǎn)為Q.

(Ⅰ)證明：Q為BB1的中點(diǎn)；

(Ⅱ)若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大小.

本題以學(xué)生熟悉的棱柱為載體，圖形規(guī)則、簡(jiǎn)潔，利于識(shí)圖、想圖.問(wèn)題設(shè)置也平和、常見(jiàn)，所用解法均為立體幾何的重要方法，體現(xiàn)了“源于教材、高于教材”的命題原則.然而，閱卷發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的得分情況卻不容樂(lè)觀，“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全”的現(xiàn)象較為普遍，更令人擔(dān)憂的是：答卷中較多出現(xiàn)說(shuō)理不清、邏輯混亂、想當(dāng)然等現(xiàn)象.因此，有必要在試題解法剖析的基礎(chǔ)上，就目前(新課程背景下)的立體幾何教學(xué)進(jìn)行客觀、冷靜的反思.

2解題分析

2.1　第(Ⅰ)問(wèn)的解題分析

該問(wèn)入口較寬，方法多樣，但綜合法明顯優(yōu)于坐標(biāo)法.

評(píng)析：此法的最大優(yōu)勢(shì)是不用添加任何輔助線，關(guān)鍵是證出直線QC和A1D平行.學(xué)生雖直觀能看出這一點(diǎn)，但不知道如何推理.表現(xiàn)在：或是干脆不證；或是面面平行判定和性質(zhì)定理運(yùn)用時(shí)，條件沒(méi)有全部列舉出來(lái)，邏輯不夠嚴(yán)密.

評(píng)析：此法因推理過(guò)程較長(zhǎng)，學(xué)生“跳步”作答的現(xiàn)象較嚴(yán)重，既不符合邏輯推理的規(guī)范，也給評(píng)分造成了較大的障礙.

圖2

評(píng)析：此法的關(guān)鍵是證出直線AB,CD,A1Q共點(diǎn)，學(xué)生大都默認(rèn)了這一點(diǎn)，想不到也不會(huì)用公理3加以證明，導(dǎo)致推理存在很大的缺陷.

圖3

證法4：如圖3，延長(zhǎng)線段CB至點(diǎn)F，使得FB=CB.過(guò)點(diǎn)F作FF1∥AA1，且FF1=AA1，連結(jié)AF,A1F1，B1F1，CF1，則底面AFCD為平行四邊形，平行六面體AFCD-A1F1C1D1為直四棱柱，且平面A1F1CD就是平面α，點(diǎn)Q=CF1∩BB1，所以Q為BB1的中點(diǎn).

評(píng)析：此法的關(guān)鍵是“補(bǔ)形”后，需說(shuō)明一點(diǎn)：平面A1F1CD就是平面α，學(xué)生基本上避而不談.另外，作法描述不清也較為普遍.

評(píng)析：很少有學(xué)生選擇用坐標(biāo)法來(lái)證，這個(gè)決定無(wú)疑是正確的.個(gè)別學(xué)生仍選擇坐標(biāo)法，但草草建系后便難以為繼，原因有二：一是因引進(jìn)字母太多，心理壓力大，覺(jué)得運(yùn)算會(huì)很麻煩，就選擇放棄；二是四點(diǎn)共面的幾何條件不能轉(zhuǎn)譯為向量應(yīng)滿足的關(guān)系(平常用得不多).

評(píng)析：此法的“向量味”更濃，突出的是基底思想和“回路”算法的運(yùn)用，較之坐標(biāo)法有一定的優(yōu)勢(shì).但無(wú)學(xué)生選擇，這恐怕與實(shí)際教學(xué)更偏重于坐標(biāo)法有關(guān)，值得我們思考.

2.2　第(Ⅱ)問(wèn)的解題分析

從所求二面角的空間位置看，作出其平面角還是常見(jiàn)、容易的.因此，本小題的求解也是綜合法優(yōu)于坐標(biāo)法.

評(píng)析：令人驚訝的是，不少學(xué)生雖得出了正確答案，但推理存在很大的漏洞：就是想當(dāng)然地認(rèn)為∠ADC是直角，進(jìn)而得∠ADA1是所求二面角的平面角，接下來(lái)，可以說(shuō)憑口算就能得到答案.這無(wú)疑暴露了一點(diǎn)：學(xué)生的空間想象能力明顯不足，導(dǎo)致無(wú)法正確認(rèn)識(shí)圖形.事實(shí)上，ΔACD只有一邊及高定，其形狀并不定(∠ADC可取任意一個(gè)角)，只是所求二面角的大小只與高有關(guān)，故能湊巧得到答案，但犯下的邏輯錯(cuò)誤是用特殊代替一般的推證.

評(píng)析：此法的關(guān)鍵是借參數(shù)θ表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，后續(xù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算就變得簡(jiǎn)單.學(xué)生存在的問(wèn)題是：習(xí)慣于直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，導(dǎo)致參數(shù)有3個(gè)，接下來(lái)，建立參數(shù)的關(guān)系式，感覺(jué)面積條件很別扭，不知如何用.另外，也有部分學(xué)生將∠ADC視作直角來(lái)建系，犯了上面提及的相同錯(cuò)誤.

3教學(xué)反思

從解法的剖析發(fā)現(xiàn)，本題的難度并不大.那么，為什么學(xué)生會(huì)暴露出這么多的問(wèn)題？原因恐怕在：學(xué)生對(duì)立體幾何的知識(shí)、方法、思想的認(rèn)識(shí)、理解和掌握遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到本質(zhì)的程度，解題模式化現(xiàn)象嚴(yán)重，對(duì)稍有改變的問(wèn)題設(shè)置適應(yīng)性差，邏輯推理能力下降更是不爭(zhēng)的事實(shí).因此，十分有必要就目前的立體幾何教學(xué)做以下反思.

3.1　加強(qiáng)推理能力的訓(xùn)練

新課程中的立體幾何的結(jié)構(gòu)體系有了重大改革，目的是適當(dāng)減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學(xué)習(xí)入門的門檻，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣.但如果因這個(gè)變化，就認(rèn)為《課標(biāo)》降低了對(duì)推理論證的要求是不夠全面的.只是與舊教材相比，《課標(biāo)》對(duì)推理論證的要求不是一步到位，而是分階段、分層次、多角度的達(dá)到.另外，在立體幾何初步中，由“直觀感知、操作確認(rèn)”來(lái)獲取相關(guān)的判定定理，雖不要求證明，但也不能僅停留在觀察、實(shí)驗(yàn)操作等層面上，其間應(yīng)加大“說(shuō)理”的成分，讓學(xué)生更信服.若有學(xué)生表現(xiàn)出想“證明”的熱情與欲望，教師更應(yīng)保護(hù)與支持，并進(jìn)行必要的說(shuō)明與引導(dǎo).面對(duì)直觀容易判斷的結(jié)論，能要求學(xué)生證明一下，教師再著重強(qiáng)調(diào)，適當(dāng)示范，通過(guò)推理案例來(lái)強(qiáng)化推理語(yǔ)言的書寫，逐步使學(xué)生養(yǎng)成縝密的推理習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)“腦能呈現(xiàn)、口能表述、筆能書寫”的效果.

3.2　“綜合幾何”的地位不能削弱

的確，向量兼具代數(shù)與幾何的雙重身份，通?？梢允÷詷?gòu)圖的繁瑣，在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).然而，凡事都有兩面性.向量法在增加運(yùn)算的同時(shí)，也大幅減少了幾何推理，久而久之，學(xué)生的眼中只有計(jì)算求解，沒(méi)有邏輯證明.教材中的定義、公理、定理、推論等立體幾何知識(shí)，只能成為學(xué)生腦海中的模糊記憶，說(shuō)不清楚、講不明白，更是用不順手.因此，立體幾何教學(xué)應(yīng)以綜合幾何為基礎(chǔ)，與向量幾何相互配合，“兩條腿走路”，既能真正落實(shí)幾何教學(xué)的主要目標(biāo)—培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，又能使一些繁難的幾何問(wèn)題得到有效解決.

3.3　空間想象能力的培養(yǎng)是核心

立體幾何復(fù)習(xí)的一般順序是：先立體幾何初步的內(nèi)容，再是向量方法.但空間想象能力的培養(yǎng)不能割裂，應(yīng)貫穿始終.具體可突出：(1)充分利用模型.要始終如一地發(fā)揮模型在立體幾何學(xué)習(xí)中的作用，培養(yǎng)學(xué)生豐富的立體感，讓學(xué)生感受空間圖形是各種實(shí)物的進(jìn)一步抽象，增強(qiáng)空間圖形真實(shí)感，為空間想象能力的提升奠定基礎(chǔ).(2)加強(qiáng)對(duì)三視圖的教學(xué).要求學(xué)生：首先能依據(jù)三視圖講得出幾何體的大致結(jié)構(gòu)、名稱等；其次，一定要畫出相應(yīng)的直觀圖(實(shí)際教學(xué)中常被疏忽)；第三，依據(jù)直觀圖，將探知的結(jié)果與三視圖對(duì)比，以確保準(zhǔn)確無(wú)誤.(3)在向量法的運(yùn)用中，無(wú)論是建系，還是向量結(jié)論翻譯成幾何結(jié)果，一定要讓學(xué)生不斷回到圖形，進(jìn)行驗(yàn)證與識(shí)別，做到先識(shí)圖再算，邊算邊識(shí)圖、想圖.