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一道聯(lián)賽預(yù)賽題引發(fā)的思考

湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)(430061)彭景

問(wèn)題1ΔABC中，AB=BC=2,AC=3,

上述問(wèn)題1為2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題.本文在此將給出上述問(wèn)題的一般化探究，同時(shí)對(duì)三角形的外心、重心、垂心等類(lèi)似問(wèn)題作進(jìn)一步探究，希望對(duì)讀者有所幫助.

ΔABC中，AB=c,BC=a,AC=b,我們不妨提出如下更一般性的問(wèn)題：

事實(shí)上，對(duì)于問(wèn)題2，我們有如下結(jié)論：

圖1

大家知道，三角形的四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)常常作為各級(jí)各類(lèi)考試的熱點(diǎn)問(wèn)題，類(lèi)似于問(wèn)題2，我們不禁提出如下問(wèn)題：

對(duì)于上述問(wèn)題，類(lèi)似于結(jié)論2，我們也可得到如下結(jié)果：

故此時(shí)x∶y∶z=a2(b2+c2-a2)∶b2(c2+a2-b2)∶c2(a2+b2-c2).

綜上所述，若O為ΔABC的外心，則x∶y∶z=a2(b2+c2-a2)∶b2(c2+a2-b2)∶c2(a2+b2-c2).

不難驗(yàn)證此時(shí)x∶y∶z=[a4-(b2-c2)2]∶[b4-(c2-a2)2]∶[c4-(a2-b2)2].