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一道高考題的解法探究與反思

江西省信豐中學 (341600)朱萬江

題目(2013年全國新課標卷Ⅱ·文10)設拋物線C:y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|=3|BF|，則l的方程為().

A.y=x-1或y=-x+1

本題源自于2013年全國新課標文科卷Ⅱ第10題，屬中等檔次題，主要考查了直線與拋物線相交的問題．這類題型一直是高三復習的難點，同時也是近幾年高考的熱點，有許多考生對這類題型懷有恐懼心理，認為它計算繁瑣、運算量大、很耗時間，所以覺得停留下來死磕這道題得不償失．筆者開始也認為這道題的常規(guī)解法的運算量較大、很耗時間，后來筆者拓寬了思維領域，并把別的知識遷移進來一起整合探究，發(fā)現此題還有別的獨特解法，這些解法雖說不上是“奇思妙解”，但可以使許多考生改變對這類題型的看法．

一、解法探究

探究1大部分考生是利用常規(guī)方法來解此題的，就是通過“設而不求”與消元思想，結合拋物線的定義解決此題．筆者探究如下：

圖1

探究2少部分考生是利用拋物線焦點弦的性質來解此題的，但前提是要熟悉這些性質，用得好，會給解題帶來很大的方便．如圖2所示，有關拋物線焦點弦主要有以下四條性質：

圖2

筆者經過探究，利用以上性質有兩種方案可以解決此題，如下：

一個刺耳的短信提示音使房間里的氣氛變得更加緊張。歐陽鋒掏出手機，用拇指摁了下，手機屏上顯出一行字：老公，怎么還沒回？

解法2：(運用性質(1)、(2))

如圖1所示，由性質(1)知xAxB=1，因為

解法3：((運用性質(3)、(4))

探究3本題是求直線的方程，若把注意力集中在“直線的方程”上，聯想一下直線方程的幾種表示形式，就不難想到直線的參數方程，下面隨筆者一同探究如下：

探究4若把注意力放在“拋物線”上，適當拓寬思維領域，把思維空間延伸到選修課本知識上，就不難想到拋物線的極坐標方程．把選修課本中的知識遷移到其他知識中去解決問題確實是一種大膽的嘗試，下面隨筆者一同探究如下：

圖3

二、解題反思

1.解法分析

筆者從四個角度五種方法對本題進行了深入的探究，解法1是常規(guī)方法，是平時老師所教授的方法，也是學生必須掌握的方法，但這種方法往往計算繁瑣，又容易出錯，大題尚且如此，何況此題又是小

題，所以對考生在心理上多多少少造成了一定的影響；解法2與解法3兩種解法雖然簡單，但前提是對性質要了如指掌與運用自如，由于這些性質教材上沒有，學生只有通過看教輔資料或通過數學老師在課堂上補充才能夠了解到，所以一般學生不會往這方面去想，只是少數尖子生會用；解法4與解法5兩種解法簡潔且有創(chuàng)新，因為它是用選修課本的數學知識去解其他數學知識，知識模塊跨度較大，這就要求學生具有寬廣的思維空間和較強的知識遷移能力．

2.幾點建議

(1)常規(guī)方法必須掌握，因為它是我們解題的根本，我們有時會難免遇上計算繁瑣的題目，但只要時刻保持清醒的頭腦和充滿自信的心理，相信常規(guī)法會讓我們變得“不常規(guī)”．

(2)我們要善于探究問題、思考問題和總結問題，這樣才能提高知識的應用能力，這就要求我們課余要加強課外閱讀，增加知識積累，課堂上要勤做筆記，老師補充的知識要當作課本知識來對待；當你能夠熟練運用別人的知識來解決問題時，那么你的數學素養(yǎng)已經達到了一定的水平．

(3)我們學習知識時，不要停留在表面，也不要抱著“因為學，所以學”的態(tài)度去學，而要善學、活學，以致于學通、學精，并且能夠融會貫通，靈活駕馭；所以我們要不斷拓寬思維領域，增強思維能力和知識遷移能力，從而提高我們的解題能力與解題效率．