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一道美國(guó)數(shù)學(xué)月刊問(wèn)題的再加強(qiáng)

寧夏固原市五原中學(xué)(756000)蘭小兵

《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》2010年第8期問(wèn)題11527如下：

設(shè)a,b,c,R,r為銳角三角形的三邊及外接圓和內(nèi)切圓半徑，求證：

文[1]給出了這個(gè)不等式的加強(qiáng)，即

筆者在證明不等式(1)時(shí)得到比不等式(2)更強(qiáng)的結(jié)果，即

加強(qiáng)2設(shè)a,b,c,Δ為銳角三角形的三邊及面積，則

證明：由柯西不等式得到

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取到等號(hào)，下面證明不等式(3)強(qiáng)于(2).

不等式(4)又等價(jià)于下面不等式

[2(a2b2+b2c2+a2c2)-a4-b4-c4](a2+b2+c2)4≥243(abc)4.(5)

銳角三角形中，由于a2+b2>c2,b2+c2>a2,a2+c2>b2，因此要證明不等式(5)成立，只需要證明下面不等式成立即可

[2(ab+bc+ac)-a2-b2-c2](a+b+c)4≥243a2b2c2.(6)

作變換，令a=x+y,b=y+z,c=z+x，則不等式(6)等價(jià)于

[2(x+y)(y+z)+2(y+z)(z+x)+2(z+x)(x+y)-(x+y)2-(y+z)2-(z+x)2]×(2x+2y+2z)4≥243(x+y)2(y+z)2(z+x)2,

即等價(jià)于(38x3y+26x3z+89y2x2+97x2yz+38y3x+97xy2z+21xyz2+26y3z)(x-y)2+(38y3z+26y3x+89y2z2+97xy2z+38z3y+97xyz2+21x2yz+26z3x)(y-z)2+(38z3x+26z3y+89z2x2+97xyz2+38x3z+97x2yz+21xy2z+26x3y)(z-x)2≥0.

顯然最后一步成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取到等號(hào).因此不等式(6)得證，從而不等式(4)成立，加強(qiáng)式得證.

參考文獻(xiàn)

[1]崔超，沈南山，鄒根蘭.一道美國(guó)數(shù)學(xué)月刊問(wèn)題的再加強(qiáng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015,2.