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圓錐曲線綜合題破障的通法及應對策略

福建省邵武市第四中學(354000)劉會彪

圓錐曲線是解析幾何中重要一章，圓錐曲線綜合題集函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、向量等眾多的知識點，是函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想的重要載體.形數(shù)連結(jié)，關(guān)系錯雜，變量眾多，計算繁瑣，有思路沒出路，有想法沒辦法，有的考生解此類題畏縮不前，退避三舍或避重就輕.如何打通圓錐曲線綜合題解題障礙的“任督”二脈？波利亞在《怎樣解題》給出解題四個步驟：弄清問題，擬定計劃，實現(xiàn)計劃，回顧.考綱提出 “淡化特技，強調(diào)通法”，結(jié)合多年的教學實踐，基于圓錐曲線的特點，尋求常規(guī)下‘自然地’‘清楚地’解決這一問題‘細化’的方法和策略，從模型化、系統(tǒng)化、算法化地角度思考，筆者提出——突破圓錐曲線綜合題解題障礙的通性通法：閱讀理解→數(shù)形結(jié)合→選擇變量→尋求關(guān)系→消參轉(zhuǎn)化→解題反思.以及解題過程中產(chǎn)生相應策略：數(shù)形策略、動靜策略、特殊一般策略、整體局部策略、轉(zhuǎn)化代換策略、主元策略、反思策略.現(xiàn)以2015年課標Ⅱ卷理數(shù)第20題為例，加以說明.

問題已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．

(Ⅰ)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

一、審題闖關(guān)，全方理解，以形助數(shù)

解析幾何核心思想應是數(shù)形結(jié)合思想.美國科學家斯蒂恩說：如果一個特定問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.從畫圖入手，圖文并茂，培養(yǎng)學生基本畫圖能力，以形助數(shù)；學會觀察圖形，深入分析圖形中幾何特征，把解題動態(tài)情境過程形象化，尋求解題的突破口.

障礙1方程含參，形動不定，怎么畫圖？

破障1策略：以靜制動，特殊代一般.可令m=3，作出圖形1.

障礙2問題(Ⅱ)隱性的條件直線l的斜率k范圍怎么挖掘？

圖1　　　　　　　　　圖2

二、局部入手，幾何審視，動靜搭配

所謂解析幾何，就是‘幾何’解析，也就是用代數(shù)方法研究幾何問題.圓錐曲線綜合題應遵循‘代數(shù)化’的思路，從局部幾何元素入手，把幾何條件‘翻譯’成代數(shù)方程處理，再構(gòu)建解題思路.

幾何條件幾何問題代數(shù)化元素分析代數(shù)分析關(guān)系分析橢圓C直線l兩個交點A,B線段AB的中點M點(m3,m)線段OM與C交于點P四邊形OAPB為平行四邊形C:9x2+y2=m2(m>0)l:y=kx+b(k≠0,b≠0)A(x1,y1)、B(x2,y2)M(xM,yM)k>0,k≠3xM=XP+XO2yM=yP+yO2ì?í????y=kx+b9x2+y2=m2,△>0{x1+x2=-2kbk2+9xM=x1+x22,yM=kxM+bkOM=yMxMy=-9kx9x2+y2=m2{xP=2xM

分析以上已知條件，設計解題思路，思維導路圖如下表：

三、整體思維，突破運算，設而不求

運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整的運算能力.有的考生生搬硬套公式不能靈活地對式子結(jié)構(gòu)進行合理變形；有的考生‘只顧埋頭拉車’——盲目地推理演算，‘不抬頭看路’—— 缺乏運算目標和方向；有的考生運算過程繁瑣，不會選擇合理、簡潔的計算方法或規(guī)避繁瑣討論，大部分考生對整理、及時化簡、討論能力較差，暴露出考生運算能力差，特別是含有字母的運算變形不過關(guān)的現(xiàn)象.有待于訓練強化，突破‘瓶頸’.

障礙3直線方程多樣，變量眾多，如何選擇？

破障3策略：選擇方向，主元策略，減元消參.

障礙4‘設而不求’帶來的困惑.

破障4策略：尋求目標、整體代換，消參轉(zhuǎn)化.

四、解題反思、一題多解、變式拓展

波利亞說過：“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧.”回顧就是反思.反思什么？怎么反思？能否把問題的本質(zhì)進行深入地探究？能否把‘孤立的點’拓展到‘系統(tǒng)的面’？ 能否拓展推廣？能否一題多解？是否優(yōu)解？是否簡解？考慮問題是否嚴密？條件有否缺失？多角度、多途徑展開思維.前面的上述問題限于篇幅，請讀者不妨打開思路，也可用點差法試一試.

(Ⅰ)直線OM的斜率與l的斜率的乘積是否為定值？

題后話波利亞認為：解題活動‘決心’和‘情緒’所起作用很重要.匈菲爾德強調(diào)數(shù)學解題需考慮四個要素：知識基礎、解題策略、自我控制、信念基礎.在解題過程中要堅定信心、敢于嘗試、迎難而上，獨立思考，自主探索，調(diào)整心態(tài)，調(diào)動非智力因素，鍛煉自己的意志品質(zhì)，圓錐曲線有險阻，攻題破障不畏難.圓錐曲線綜合題破障的 ‘通法’只是解決某一模式數(shù)學問題的方法，并非‘放之四海而皆準’的萬能方法，也不是‘劍走偏鋒’的特技，應了解解題方法的來龍去脈，理解更一般性的數(shù)學思想和策略，這樣，在考試中才能立于不敗之地.

參考文獻

[1]白雪.落實三個抓手突破直線和圓錐曲線綜合題[J].《高考》理科版，2010,12,26-28.

[2]張益紅.例談解析幾何綜合題的解題策略[J].中學數(shù)學教學,2010,2,33-36.