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2013年遼寧理數(shù)第12題的探究

遼寧省撫順市第一中學(xué)(113001)富春江房曉南洪恩鋒

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施,以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的題目已成為各省市高考卷中的一道風(fēng)景線,這類題目形式新穎多變,既能開闊學(xué)生視野,又有利于完成高等數(shù)學(xué)和中等數(shù)學(xué)的銜接,倍受命題者青睞.因此,在教學(xué)實(shí)踐中教師不僅要掌握傳授這類題目的初等化解法,更應(yīng)透過高等知識(shí)背景,認(rèn)識(shí)其本質(zhì).本文是筆者在研究2013年遼寧理數(shù)12題時(shí),通過對(duì)學(xué)生的答題狀況的調(diào)查分析,類比衍生出高等觀點(diǎn)背景下的一個(gè)一般性結(jié)論,懇請(qǐng)同行補(bǔ)充修正.

A.有極大值,無極小值

B.有極小值,無極大值

C.既有極大值,又有極小值

D.既無極大值也無極小值

點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,函數(shù)的極值.客觀的說,本題看似條件簡單明了,細(xì)品卻回味無窮,區(qū)分度較大,無愧一道壓軸選擇題,備受好評(píng).

針對(duì)這道高考題的答題情況,筆者進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,有這樣兩組結(jié)果引起了筆者的注意.

結(jié)果1很多考生能夠得到結(jié)果f′(2)=0,故首先排除D,大多數(shù)選了A或B,這種 “想當(dāng)然”正是考生對(duì)函數(shù)穩(wěn)定點(diǎn)與極值點(diǎn)定義的不清.(可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn),但反之不成立,例f(x)=x3中x=0是穩(wěn)定點(diǎn)但不是極值點(diǎn))

反思:在結(jié)果2中,考生通過類比思想,化未知為已知,是一種非常值得借鑒的解題方法.但其解題思想的背后,是否隱藏著什么必然關(guān)系呢?是否可以順著思路將結(jié)論一般化呢?筆者通過一些特殊函數(shù)的舉例驗(yàn)證,得出如下一般性結(jié)論:

設(shè)f(x)在x0處具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0),f(n)(x0)≠0, 那么,

(1)當(dāng)n=2時(shí),若f″(x0)<0時(shí),x0是極大值點(diǎn);若f″(x0)>0時(shí),x0是極小值點(diǎn);

(2)當(dāng)n≥3時(shí),若n為偶數(shù)時(shí),x0是極值點(diǎn);

若n為奇數(shù)時(shí),x0不是極值點(diǎn).

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),(x-x0)n>0,由(1)式可得f(x)-f(x0)與f(n)(x0)同號(hào),故

當(dāng)f(n)(x0)<0時(shí),f(x)

當(dāng)f(n)(x0)>0時(shí),f(x)>f(x0),x0是極小值點(diǎn).

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),(x-x0)n在x0的左右兩邊改變符號(hào),由(1)式可得f(x)-f(x0)與f(n)(x0)在x0的左右兩邊也改變符號(hào),故x0不是極值點(diǎn).

行文至此,客觀的說,衍生的這個(gè)一般性結(jié)論是判斷極值點(diǎn)的一把利器，可以極大的降低思維強(qiáng)度，運(yùn)作機(jī)械，無論難度再大的變形試題也可迎刃而解.筆者斗膽猜測(cè)，也許命題專家的思路源泉正是出于此結(jié)論.

參考文獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，2001年.