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        淺談數(shù)學概念教學

        2016-02-23 14:06:11吳中才
        中學數(shù)學雜志(高中版) 2016年1期
        關鍵詞:概念教學概念

        吳中才

        【摘要】數(shù)學離不開推理,推理又離不開判斷,而判斷又是以概念為基礎的.因此,數(shù)學概念在數(shù)學推理與數(shù)學教學中有著至關重要的作用.針對概念獲得的兩種基本方式——概念形成與概念同化,概念教學通常包括四個主要環(huán)節(jié):概念的引入、概念的形成、概念的明確(辨析)、概念的精致.

        【關鍵詞】概念;數(shù)學概念;概念教學

        概念是反映事物本質屬性的思維形式.正確的概念是科學抽象的結果.人們在實踐的基礎上得到了豐富的感性認識材料,經過去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造過程,舍掉了事物的一些次要方面,保留了事物的本質屬性,形成了概念.

        例如“積分”的概念,分割→求和→求極限,其中分割要求無限細.將區(qū)間等分并不是它的本質特征,只要讓所有區(qū)間的長度均趨近于0即可.而教材給出的兩個例子(一個求曲邊三角形的面積,一個求變力做功)都是采用等分的辦法,在這兩個例子的基礎上講述積分的概念,就需要澄清區(qū)間的分割并不一定要等分,更要讓學生明白為什么要等分(方便求和).另外,取小矩形的高時,兩個引例取的都是小區(qū)間的端點處的函數(shù)值,這也不是本質特征,其實在小區(qū)間內任取一點處的函數(shù)值均可作為小矩形的高,教學時也要讓學生明白為什么取端點函數(shù)值(還是方便計算).

        數(shù)學離不開推理,推理又離不開判斷,而判斷又是以概念為基礎的.因此,概念不清,數(shù)學推理寸步難行.所以,有人說概念是思維的細胞.

        例如,兩個平面平行的概念是我們研究兩平面平行的判定和性質的基礎,如果不清楚兩個平面平行的概念,就無法證明兩個平面平行的判定(運用反證法的思維起點就是定義),也無法研究兩平面平行的性質定理了.

        1概念的分類

        數(shù)學概念分為兩類:一類是對現(xiàn)實對象或關系直接抽象而成的概念;另一類是純數(shù)學抽象物,這類概念是抽象邏輯思維的產物,是一種數(shù)學邏輯構造,沒有客觀實在與之對應,這類概念對建構數(shù)學理論非常重要,是數(shù)學深入發(fā)展的邏輯源泉.

        例如,直線、平面、異面直線等就是直接抽象而成的概念;集合、函數(shù)、方程等則是純數(shù)學抽象物.

        2概念的掌握

        概念的掌握又稱概念的獲得,一般有兩種基本方式──概念形成與概念同化.這里,概念形成側重指由具體到抽象、由特殊到一般、經過分析綜合去掉非本質特征,保留本質屬性的過程.概念同化則指依賴學習者認知結構中原有的概念,以定義的方式直接向學習者提示概念的本質屬性的方式.前者更適合低年級學生,后者更適合高年級學生.在下面的“概念的形成”環(huán)節(jié),包括概念形成與概念同化兩種不同的獲得方式.

        認識論原理告訴我們,人們不可能一次地和孤立地認識一類事物的本質特征,而是用聯(lián)系的觀點,并且要經歷一個由感性到理性的發(fā)展過程.因此,我們不能孤立地來談論概念教學,應該把概念放到整個體系中去考察,但要分階段處理.

        例如,“函數(shù)”在初中是從運動變化的角度,用變量的觀點進行定義的,主角是變量,而變量往往有著一定的實際意義;高中則是以集合論為基礎,用對應(映射)的觀點進行定義的,突破了變量的局限,如理解y=1是否是函數(shù),理解數(shù)列是特殊的函數(shù),用映射的觀點就容易理解了;到大學還會講到隱函數(shù),將函數(shù)與方程聯(lián)系起來了,同時還要注意到函數(shù)與方程的區(qū)別.同一個概念在不同階段可以得到不同的發(fā)展,但在不同階段也應當有不同的教學要求.

        3概念的教學

        概念教學一般有四個主要環(huán)節(jié):概念的引入、概念的形成、概念的明確(辨析)、概念的精致.

        概念的引入一般結合學生已有的知識經驗和生活經驗,讓學生感受到學習概念的必要性,體會到概念的作用.常常采用從類比引入、從舊知引入、從需要引入等方式.例如,球的概念可以類比圓的概念引入,二面角的概念可類比平面角的概念引入.

        在概念的形成環(huán)節(jié),要引導學生思考、概括,促進學生對概念的有效同化,可以從以下幾點設計教學:(1)向學生提供適當數(shù)量、適當強度的刺激模式,以便于學生分析、比較;(2)讓學生進行充分的自主活動,使他們有機會經歷概念產生的過程,并從共同屬性中抽象出本質屬性;(3)概括成概念后,教師適當引導學生對認知結構中的新舊概念進行分化,并將新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去.

        概念的明確需要從概念的內涵和外延兩個方面來考慮.明確概念之后,還要把概念納入到概念體系中,去明確概念間的關系.

        概念的精致實質上是對數(shù)學概念的內涵與外延進行盡量詳細的“深加工”,對概念要素與關鍵詞進行具體界定,獲得概念的某些限制條件,以使學生建立更清晰的概念表象,對概念的細節(jié)把握更加準確,等等.概念的精致通常表現(xiàn)為對各種可能的特例進行剖析,分析可能發(fā)生的概念理解錯誤,理解概念的各種變式,還包括掌握概念的多元表征(如形象表征、符號表征等),并能在各種表征間靈活轉化,這也是數(shù)學概念教學的基本策略.

        下面看一個“函數(shù)極值”概念的教學設計案例:

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