劉雪峰　常冬梅

【摘 要】概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門實際生活和工程應(yīng)用中都有重要意義的課程。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課堂教學中，如何引起學生的學習興趣，讓學生深入了解本門課程的實際意義是決定學生學習效果的關(guān)鍵因素。本文結(jié)合實際課堂教學中的經(jīng)驗，以幾個實際案例為例子，提出了幾點建議。

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計；啟發(fā)式教學；案例教學

國內(nèi)多數(shù)高校工科本科生都開設(shè)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程[1-2]。該課程無論是在經(jīng)濟、管理、力學、軍事科學等眾多學科和實際生活中都有廣泛的應(yīng)用，而且是控制、計算機等一些專業(yè)課的基礎(chǔ)課。但是作為一門數(shù)學專業(yè)課，學習有一定難度，如果不注意教學中的方式方法，容易讓學生感到枯燥難懂，失去學習興趣，影響教學效果。因此，當對工科學生講授這門課程時，應(yīng)盡可能豐富教學方式，讓學生多了解這門課的實際意義，并更多地親身參與到教學當中。本文就此問題，結(jié)合筆者的教學經(jīng)驗做幾點探討。

1 啟發(fā)式教學

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中有較多的公式推導(dǎo)，如果單純采用板書或ppt推導(dǎo)的方式進行授課，學生很容易會感到枯燥乏味，教學效果不好。因此比較好的方式是逐步啟發(fā)學生思考問題，讓學生跟隨老師的思路一步一步進行思考，由此體驗在老師的幫助下自己解決問題的成就感。

以幾何概型部分的布豐投針問題為例。公元1777年的一天，法國科學家布豐邀請很多朋友一起做了一個實驗：紙上預(yù)先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。把這些小針一根一根往紙上扔，記錄了所有人的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次?？倲?shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142，即π的近似值。這是古典概型的經(jīng)典應(yīng)用。在課堂上，在古典概型部分的最后講解這個例子，讓學生把所學知識應(yīng)用到實際當中，體驗數(shù)百年前科學家的思想。首先讓學生考慮將這個實驗抽象成數(shù)學問題，大致可以總結(jié)成為：設(shè)平面上畫著一些有相等距離2a（a>0）的平行線，向此平面上投一枚質(zhì)地勻稱的長為2l（l

通過這一過程，讓學生逐步體會古典概型中較難解決的幾何概型問題的求解過程，避免教師一言堂，單純語言敘述和公式推導(dǎo)的枯燥乏味。

2 在教學中增加互動

除了采用啟發(fā)式教學，讓學生在老師的提示下獨立思考外，在課堂中設(shè)置一些互動，讓學生親身參與其中也有利于讓學生更深刻體會教學內(nèi)容。

例如，曾在美國多次引起大范圍討論的“三門問題”[3]。該問題亦稱為蒙提霍爾問題，出自美國一個電視節(jié)目。有三個門，其中兩個門后面是羊，一個門后面是汽車，參賽者選中其中一個門后，主持人開啟剩余兩扇門中一個后面是羊的門，此時參賽者可以選擇換另一個門。主持人是知道每個門后面的情況的，那么參賽者選擇換門是否可以增加得到汽車的概率？答案是肯定的，如果參賽者不換門，得到汽車的概率是1/3，而換門后得到汽車的概率是2/3。大多數(shù)人直觀的感受是換門與不換門的結(jié)果不應(yīng)該有區(qū)別的，即各有一半的概率。因此本問題是數(shù)學上直觀感受與理論分析明顯不相符的一個有代表性的問題。而且本問題可以從概率論的多個角度去分析，如可以采用窮舉法、古典概型的基本算法或條件概率等不同的角度驗證。因此有利于學生展開大范圍討論并結(jié)合概率論中的多種知識去思考，讓學生熟練運用以前學過的知識。

而且，在討論結(jié)束后，本問題可以很容易地通過實驗來驗證。可以找學生進行模擬實驗，比如選擇兩黑一紅三張撲克牌，抽到紅色牌算是中獎，模仿三門問題的抽獎過程，如此反復(fù)進行實驗30-50次并統(tǒng)計結(jié)果，即可明顯看出換牌與不換牌中獎概率的差別。在這方面類似的問題如“三張卡牌的騙局”等等不再贅述。如此讓學生從多方面參與到教學當中，有利于學生集中注意力，并可以調(diào)動學生學習的主觀能動性。

3 采用案例教學方法

概率論和數(shù)理統(tǒng)計的知識在生活的各個角落都可以找到應(yīng)用，讓學生了解這一點對引發(fā)學生的學習興趣有很大幫助，而且有利于幫助學生將課堂學習的知識真正應(yīng)用于實際的生產(chǎn)生活中。因此采用案例教學方法，在教學中采用與實際生產(chǎn)生活緊密聯(lián)系的例子有助于提高教學效果。

例如，著名的美國橄欖球運動員辛普森殺妻案的庭審中，就在很多處與概率論和數(shù)理統(tǒng)計的知識有重要關(guān)聯(lián)[4]。例如，在庭審最初階段，控方反復(fù)強調(diào)辛普森曾有家暴現(xiàn)象，因此有殺妻的動機。而辯方的律師引用數(shù)據(jù)顯示，有家暴的男性中，最終殺妻的比例不足1/2500。但是，如果仔細思考這個問題就會發(fā)現(xiàn)，辯方的論據(jù)與實際問題是不相符的。辯方所說的是丈夫有家暴前提下殺妻的概率，而實際的問題應(yīng)該是：在丈夫有家暴且妻子死于謀殺的前提下，妻子是被丈夫所殺的概率。通過當時的數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，有43位被家暴且被謀殺的女性，其中40人是被丈夫所殺，即丈夫有家暴且妻子死于謀殺的前提下，妻子是被丈夫所殺的概率高達93%！這就是一個標準的條件概率問題，盡管算法并不復(fù)雜，但是認清條件和事件是問題的關(guān)鍵。

另外，盡管眾多證據(jù)顯示辛普森是兇手的可能性很大，但是由于本案仍有一些疑點顯示辛普森也存在被人陷害的可能，根據(jù)美國法律疑罪從無的思想，辛普森最終被判無罪釋放。這是本案最終受到大量爭議的關(guān)鍵之一。而這種疑罪從無的思想，與數(shù)理統(tǒng)計中假設(shè)檢驗中降低受偽錯誤的思想是類似的。既然在已有條件固定情況下，受偽錯誤（將無罪的人判為有罪）和去真錯誤（將有罪的人無罪釋放）不可以同時降低，那么如果為了保護人權(quán)想盡可能降低受偽錯誤，那么有較高的去真錯誤也就無法避免了，美國法律即是如此。假設(shè)檢驗的理論是比較難以理解的，因此在理論講解中引入類似的實際案例進行類比，有助于學生較快的理解。

4 結(jié)語

綜上所述，概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程在工程和生活中的實用性較強，對工科學生普遍開展本課程有重要意義。但是本門課在很多部分較難理解，有必要采取多種方法激發(fā)學生的學習熱情，并讓學生學習將這門實用性較強的課程真正與實際生活聯(lián)系起來，從而提高學習效果。

【參考文獻】

1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2009.

[3]謝騰.三門問題的理論縱觀[J].福建論壇（人文社會科學版），2010（S1）：222-223.

[4]史蒂夫·斯托加茨.魯冬旭，譯.x的奇幻之旅[M].北京：中信出版社，2014.

[責任編輯：王楠]