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☉重慶市第九十五初級中學校周曉東

立足學情注重關聯引領教學——從一道閱讀理解試題的編擬談起

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☉重慶市第九十五初級中學校周曉東

一、緣起

例1（2015年重慶市中考數學試題第23題）如果把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出一串數字，與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同，那么我們把這樣的自然數叫做“和諧數”.例如：自然數64746從最高位到個位排出的一串數字是：6、4、7、4、6，從個位到最高位排出的一串數字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和諧數”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數”.

（1）請你直接寫出3個四位“和諧數”，猜想任意一個四位“和諧數”能否被11整除，并說明理由；

（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數”，設個位上的數字為x（1≤x≤4，x為自然數），十位上的數字為y，求y與x的函數關系式.

這是重慶市自直轄近二十年以來第一次在中考試題中出現閱讀理解型試題.由于此題涉及了數的整除——判斷一個數能否被11整除，很多學生對此很不適應，所以此題得分率偏低.一些教師認為命題者命制此題失之偏頗，因為初中數學教材對這部分內容很少或幾乎沒有涉及.其實，細究此題，命題者通過“閱讀”“理解”來考查“數、式、函數”等知識點，并無不妥.正是基于此，在2016年的一次區(qū)級中考模擬試題的命制過程中，我們再一次嘗試命制了一道有關“數和式”的閱讀理解型試題.

二、一道閱讀理解試題的編擬過程

1.尋找素材

綜觀全國各地有關“數和式”的閱讀理解型試題，在命題立意、命制方法確實有很多值得學習與借鑒的地方.好的閱讀理解型試題，應該基于學生的實際認知水平和學習起點，供給學生“閱讀”和“理解”的材料和問題應該與教材有“關聯性”.我們不提倡將高中的一些知識以“新定義”“新概念”的形式出現在初中數學試卷上.

例2定義：如果一個數的平方等于-1，記為i2=-1，這個數i叫作虛數單位.那么和我們所學的實數對應起來就叫作復數，表示為a+bi（a，b為實數），a叫作這個復數的實部，b叫作這個復數的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.例如計算：（5+i）×（3-4i）=19-17i.

（1）填空：i3=______，i4=______.

（2）計算：（3+i）2.

估計有的老師會說，這樣的題目只要學生按“新定義”中所述法則操作即可，考查的仍是“數和式的計算”，有利于提高學生的“創(chuàng)新能力”.是的，估計學生根據理解確實能得出命題者所給正確結果.但是，做完這道題后會給學生留下什么呢？“如果一個數的平方等于-1，記為i2=-1”，單就這句話，估計就會讓很多學生產生疑問，因為在三年的初中數學學習過程中，學生知道的是“任何實數的平方都是非負數”.現在突然出現“一個數的平方等于-1”，這完全超乎出學生的現有知識體系.這樣的題目并沒有指向教學，與初中數學的“關聯性”不大，不具有“生長性”，一定程度上不利于初中數學教學.所以，命題時我們一直堅持把素材確定在數和式的計算、整式的恒等變形等方面，重點體現對學生的數學方法的考查.我們決定對一道成題進行改編.

例3若一個整數能夠表示成x2+2xy+2y2的形式，則稱該數為“好數”.

（1）判斷29是否為好數；

（2）寫出80，81，…，100中的好數；

（3）如果數m、n都是“好數”，試說明mn也是“好數”.

此題是多年前的一道競賽題，要解答此題，需將x2+2xy+2y2變形為（x+y）2+y2，這里可以考查學生對完全平方公式、配方法的掌握情況.但就當前初中數學的教學情況來看，因式分解中關于分組分解、拆項、添項的教學要求不高，學生解答此題難度大.我們認為，這恰好為“閱讀理解”的編擬提供了用武之地.

2.改編定型

命題的目的不是把學生“難倒”，命題是為了有效地進行教學評價，不是命題者與解題者的思維博弈.所以在對例3這道成題進行改編時，考慮到很多學生不易想到將x2+2xy+2y2變形為（x+y）2+y2，我們把思維逐步“退后”，力爭“退”到讓學生通過“閱讀”后能夠真正“理解”.

例4若一個整數能表示成a2+b2（a，b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”.例如，5是“完美數”，因為5= 22+12.再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（x，y是整數），所以M也是“完美數”.

（1）請你再寫一個小于10的“完美數”.

（2）判斷29是否為“完美數”.

（3）已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x，y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的k值，并說明理由.

（4）如果數m、n都是“完美數”，試說明mn也是“完美數”.

為了能夠讓不同層次的學生在此題上都有收獲，設計了四個由易到難的具有一定層次性的問題.第（1）、（2）問簡單地考查了學生對“完美數”的理解和領悟.第（3）問則需將式S通過配方變形為兩式的平方和形式.第（3）問和第（4）問是遞進關系，第（3）問的正確解答為第（4）問做了較好的鋪墊.第（3）問中，根據題意，S=（x+2）2+（2y-3）2，k可取13.第（4）問中，設m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整數），則mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2= a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2=（ac+bd）2+（bc-ad）2，mn也是“完美數”.

經過改編后的題目背景對學生來說并不陌生，考查的知識點也是學生常見的，借“完美數”這一載體完成了對“數與式”的一個重要知識點的考查，改編后的題無疑是較為成功的.

3.測試反饋

閱讀能力是數學學習必備的一個重要能力之一.學生需在閱讀中掌握概念，在閱讀中體會定理內涵，在閱讀中理解題意.提高學生的閱讀能力是數學教師教學的一個重點.閱讀理解型試題能夠很好地對學生的閱讀能力進行評價.例4的解答情況不很理想，此題滿分10分，全區(qū)約3000人參加考試，平均分3.6分，得分率36%，滿分率1.8%，零分率16.5%，難度為0.36.反映出來的問題有：對“小于10的完美數”，審題不仔細，寫出的數超過10；29是完美數，沒有說明理由；對式S進行變形時沒注意“恒等”；“配方法”掌握不好；符號出錯；（4y2-12y+9）-9中的“-9”易錯；對（a2b2+c2d2）+（a2c2+b2d2）的配方，很多學生束手無策.

此題應該說是“生長”于教材，難度按理說不算大.學生“閱讀”困難的很重要的原因是：此題的敘述方式、文字呈現方式和學生平時遇到的題目差異大，和學生的認知習慣有差距，學生需花很多的時間和精力來閱讀理解.對第（4）問的拆項、添項部分新課標教材沒要求，閱讀材料中并沒有拆項、添項一起進行的示范，學生也沒這方面的意識，這導致解答困難.

三、教學啟思

1.試題的編擬要“立足學情”

試題是為學生而編擬的，所以在編擬試題時一定要立足于學情.要關注學生的認知習慣、考試心理.數學試題的風格、呈現方式要與學生平時所接觸教材的方式一致.在閱讀理解型試題中，仍然要盡量避免用一些深奧、晦澀、難懂的符號讓學生去“理解”，增大學生的認知負荷，直至影響學生解答其他題目.

2.試題的編擬要“注重關聯”

對于數學“關聯性”的認識，在《義務教育數學課程標準》（2011年版）中關于“課程目標”下的第2點就指出：“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系……”要命好試題，對某個知識點與其他知識點的關聯要熟知，對這個知識點所形成的知識鏈必須知曉.只有這樣教師的命題才會有“高觀點”“高立意”.

3.試題的編擬要“引導教學”

好的模擬試題，不僅有診斷、激勵的功能，更有對教師的“教”、學生的“學”能起到較好的導向、引領作用.“研題”是提高數學教師專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑.“研題”，除了要研究題目的解法，更要研究試題的命制及其教學意義，進而讓試題成為教學的重要資源，價值得到最大限度的發(fā)揮.

1.王道勇.讀出“新概念型”閱讀理解題的“種”和“類征”［J］.中學數學（下），2015（11）.

2.朱國桅.把握例題精髓彰顯示范功能［J］.中學數學（下），2016（3）.

3.朱記松，等.命題要謹慎用題需質疑——對一道中考模擬題的解答思考［J］.中小學數學（初中），2016（3）.