☉山東省萊蕪雪野中心中學　劉　軍

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概念辨析，在學生的認知拐點處——以“無理數(shù)”的概念復習為例

☉山東省萊蕪雪野中心中學劉軍

認知拐點，是指學生概念學習過程中容易出現(xiàn)偏差的地方，也就是學生容易出現(xiàn)認知失誤的節(jié)點.概念辨析是數(shù)學概念教學的重要環(huán)節(jié)，也是引導學生剖析認知拐點的絕佳時機.因此，在概念教學中，我們應抓住這一環(huán)節(jié)，詳細分析概念的認知拐點，提高概念學習的效度.現(xiàn)結(jié)合“無理數(shù)”的概念復習談談筆者的做法和思考，希望給您帶來啟示.

一、教學背景分析

無理數(shù)引入后，數(shù)域得到擴展，數(shù)的分類與識別增加了新的干擾因素.識別無理數(shù)，是一個新的知識，既是教學重點，也是學生認識的難點.人教版八年級上冊教材中，對無理數(shù)所下的定義是：“無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)”.許多學生對概念認知并不深刻，識別無理數(shù)時糾纏于數(shù)字的“外形”，不能抓住定義中“無限不循環(huán)”的本質(zhì)，陷入識別誤區(qū)，出錯不少.其中較為典型的失誤有：（1）含根號的數(shù)都是無理數(shù)；（2）含有π的數(shù)都是無理數(shù)；（3）“沒有”循環(huán)節(jié)的數(shù)都是無理數(shù)；（4）人為構(gòu)造的有規(guī)律的數(shù)都是無理數(shù).

二、例題設置及分析

1.例題設置

A.1 B.2 C.3 D.4

2.設計意圖

在學生獲得“無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)”這一概念之后，教師安排了一定數(shù)量的“無理數(shù)識別”的例題，并將一些無理數(shù)的常見形式進行了歸納，然而，由于過于關(guān)注了形式，而忽略了“無限不循環(huán)”的本質(zhì)，導致很多學生出現(xiàn)無理數(shù)識別失誤.為了幫助學生在無理數(shù)識別中由“重形式”向“重實質(zhì)”轉(zhuǎn)變，在概念復習課上，教師設置了這樣一道選擇題，意在通過學生的解答與交流，讓其重拾概念，理清本質(zhì)，實現(xiàn)對概念的深度認知.

三、例題教學過程

學生活動：自主解答例題，并將自己的選擇在組中做個交流.

3分鐘后，小組交流結(jié)束，教師組織學生進行全班交流.

師：這里有幾個無理數(shù)呢？

生1：5個.

師：哪5個？

生1：是呀！

師：何以見得？

師：你們同意他的說法嗎？

生（齊）：不同意！

師：為什么呢？

師：說得非常好！遇到根號時，我們應先對其化簡，如果能夠?qū)⒏柸サ簦敲丛瓟?shù)應該是一個有理數(shù)；如果根號不能去掉，那結(jié)果就是無理數(shù)了！同學們，根據(jù)這樣的分析，-是無理數(shù)嗎？

生（齊）：是！

師：這道題中還有哪些數(shù)是無理數(shù)呢？

生3：π.

師：對！那么，含有π的數(shù)一定是無理數(shù)嗎？

生4：不一定！

師：你能舉個例子嗎？

生4：（π-1）0化簡結(jié)果為1，是個有理數(shù).

師：很好！顯然，并不是所有含π的數(shù)都是無理數(shù)，還是要看我們化簡的結(jié)果，如果化簡的結(jié)果中仍然還有π，那就是無理數(shù)了.到底是不是無理數(shù)呢？

生5：是的！

師：為什么？

生5：它是無限不循環(huán)小數(shù).

師：真是無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

生5：真的！我都除到小數(shù)點后面5位了，還沒發(fā)現(xiàn)循環(huán)節(jié).

師：看來，你還是不夠執(zhí)著.再多除幾步，會有收獲的！

師：很好！最后一個數(shù)是無理數(shù)嗎？

（學生普遍有點兒猶豫，私下里交流著什么）

師：你們在想什么呢？

生7：這個數(shù)和前面的有規(guī)律的無理數(shù)差不多，它也是在兩個1之間逐次添加了一個零，我感覺是無理數(shù).

（部分學生附和著）

師：它真是無理數(shù)嗎？我們一起來回顧一下無理數(shù)的概念“無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)”.很顯然，無理數(shù)首先應該是個無限小數(shù)，0.1010010001是無限小數(shù)嗎？

生（恍然大悟，齊答）：不是！

師：那么它還是無理數(shù)嗎？

生（齊）：不是！

師：怎么改，就可以變成無理數(shù)了？

生8：在后面添上省略號.

生9：最好將規(guī)律也交代一下.

師：好的！你們考慮得很周全.現(xiàn)在看來，這道題中到底有幾個無理數(shù)呢？

師：通過剛才的分析和交流，你有什么啟示？

生11：對于含有根號的數(shù)，要先試著化簡，看結(jié)果的形式再去歸類.

生12：π是無理數(shù)，但含有π的數(shù)不一定就是無理數(shù).

生13：找分數(shù)的循環(huán)節(jié)要執(zhí)著，不能半途而廢，難找未必就沒有，我記得小學時找過的循環(huán)節(jié)，比還要難找，但當時我們都找到了.

生14：要辨別一個數(shù)是不是無理數(shù)，首先看這個數(shù)是有限小數(shù)還是無限小數(shù)，在無限小數(shù)的前提下，再去確定是循環(huán)還是不循環(huán).

生15：找尋無理數(shù)，不能只看形式，要關(guān)注“無限不循環(huán)”這一實質(zhì).

師：你們說得太棒了！概念學習中，我們要更多地關(guān)注概念的本質(zhì)，而不是附著于概念之上的外在的形式，希望這能給你們今后學習其他概念帶來啟示.

四、教學反思

1.概念教學要重實質(zhì)、輕形式

概念教學，是數(shù)學教學的主要內(nèi)容.在學生抽象、歸納概念的過程中，我們應突出對概念實質(zhì)的教學，淡化概念外在形式的教學.通過概念教學，要讓學生真正掌握概念及其應用的“內(nèi)核”，去除一些外在的表面形式的干擾，避免出現(xiàn)“以貌取人”形成解題失誤的現(xiàn)象.在本文所給的案例中，學生正是由于“很好地”掌握了無理數(shù)的外在形式，在對“含有根號的數(shù)”“含有π的數(shù)”“有規(guī)律的小數(shù)”這些類別的數(shù)進行歸類時，出現(xiàn)了大量的錯誤.這一現(xiàn)象的形成，無疑與學生獲得概念時形成的思維定勢有很大的關(guān)系，他們關(guān)注了概念的外形，而忽略了概念的實質(zhì)，對無理數(shù)概念中的“無限不循環(huán)小數(shù)”這一實質(zhì)理解不清、把握不到位，從而“以貌取人”，出現(xiàn)失誤.所以我們在今后的概念教學中，一定要重視對概念內(nèi)涵的清晰解讀，讓學生能夠明明白白知曉概念的應用價值所在.

2.設計例題要靠主線、易拓展

例題是概念辨析的主要工具，它承載著幫助學生理清概念的“內(nèi)核”、形成應用概念能力的重要任務.因此，我們設計的例題應該緊靠教學主線，是對教學主線深度解讀下的知識、技能、數(shù)學思想和活動經(jīng)驗綜合整合以后形成的教學工具.用于概念辨析的例題，是學生固化概念過程中的幫手，它理應服務于學生鞏固概念和應用概念.所以我們設計的例題除了不偏離教學主線，還應利于知識技能的應用和拓展.說白了，就是要有一定的綜合性.本文中這道例題，看似簡單，實則蘊含了學生可能出現(xiàn)的諸多錯誤，這得益于教者課前對學情的細致分析.通過精心設計，教師將學生在無理數(shù)識別中出現(xiàn)的所有失誤直接呈現(xiàn)在題目之中，為教學實施埋下了伏筆.如針對學生錯誤認為“含有根號的數(shù)都是無理數(shù)”這一現(xiàn)象，教者直接將反例安排在其中；針對“有規(guī)律變化的小數(shù)都是無理數(shù)”這一錯誤結(jié)論，教者將0.1010010001這一有理數(shù)也插到數(shù)組之中.如此編排設計，給教者的教和學生的學留下了很大的空間，豐富的教學對話如約而至，推動著學生的認知進一步前進！

3.辨析概念要找時點、抓機遇

概念辨析是概念教學的一個重要環(huán)節(jié)，但它并不是概念教學的起始環(huán)節(jié)，一般處在學生獲得概念之后.在這一教學節(jié)點上，我們一般會設計一定量的練習，通過解答與交流，幫助學生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延.初步的應用，讓學生加深對概念的認識，但也給學生的理解與應用帶來了很多新的“陷阱”.所以概念辨析一般安排在學生獲得概念并嘗試應用概念后的一段時間內(nèi).究竟安排在哪個教學時點上，取決于教學內(nèi)容、學生學習狀況及教師把握教學契機的能力.當教學內(nèi)容較難時，我們應找回點安排概念辨析，并且安排多次辨析；當教學內(nèi)容比較容易時，我們可以在學生即將遺忘時安排辨析，此時的喚醒將會有利于學生深入理解概念.在這么多影響因素中，學生的學習狀況是確定概念辨析時點最主要的因素.學生學得好，對概念的本質(zhì)把握的非常清楚，我們的辨析就可以少一些，簡單一些；學生掌握的不好，那么我們的辨析就可以多一些，綜合一些.總之，概念辨析的時點需要教師去把握，應由教師根據(jù)教學內(nèi)容和教學現(xiàn)狀進行合理設定.一般地，概念辨析的時點應該安排在學生認知的拐點處.在這一學生應用概念時易于混淆的節(jié)點上，“呈現(xiàn)有效的例題，通過師生互動教學活動實現(xiàn)概念辨析的價值最大化”應該成為一線教師的追求.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.王曉峰.經(jīng)歷過程感悟思想學會思考——基于數(shù)學思考的“有理數(shù)與無理數(shù)”的再設計［J］.中學數(shù)學（下），2014（9）.