汪麗仙

（浙江省常山縣第一中學）

小構造 大智慧
——例談“特例法”在解幾何問題中的應用

汪麗仙

（浙江省常山縣第一中學）

俗話說：“授人以魚，不如授人以漁.”然而“漁”的方式也是多種多樣的，學在平時，但也只為六月試鋒，金榜題名.恰逢學校舉行了一場教學比武，本人選擇的課題是“特例法在解幾何問題中的應用”，一是出于所任教的文科班級學生基礎薄弱，在提升其知識掌握量及度上較困難時，如何幫助他們多得分的考慮，二是想嘗試一下學生對特例法的接受及應用程度，以便在平時的教學中加以滲透和推廣.下面就這堂課的一些教學片斷展開，談談本人的一些想法.

根據平時的教學、作業(yè)和測試，選取了學生較懼怕的平面向量運算，并結合平時的教學進行了選題.

問題1：已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為.

學生2：以直線AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標系，則B（1，0），C（1，1），D（0，1），設E（x，0）

學生3：取E為AB中點，用學生1或學生2的方式求出的結果是一樣的.筆者趁機提出“是不是可以將E點取得更為特殊一些呢？”

這時從學生表情上可以明顯地感覺到他們心靈的震撼.

問題2：在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則·=______ _.

學生5：取△ABC為等腰三角形，則AM⊥BC

以M為坐標原點，直線MC、MA分別為x、y軸

建立平面直角坐標系，則B（-5，0），C（5，0），A（0，3）

學生6：取△ABC為等腰三角形，則AM⊥BC

大多數(shù)學生都能想到以上的解法，轉化成學生熟悉的三角形計算問題對多數(shù)學生來說易接受，這也說明了特例法具有較強的實用性和可操作性.

三角形中的外心、內心、重心、垂心對很多學生來說概念不清、易混淆，這一問題又牽涉了向量，所以成為多數(shù)學生口中的難題.但如果從特例入手，卻有種“撥開云霧見晴青天”的意境，而事實證明確實如此.此題一給出，不到3分鐘便有了回應.

學生10：取△ABC為直角三角形，則O為斜邊的中點.若BC為斜邊，則，即P與A重合，所以P為△ABC的垂心.

這堂課是在高二學生中開設的，選取的題目基本是高考題，但隨著課題的給出，學生處理起來游刃有余，而且積極性高漲，這足以證明特例法易被學生接受和應用.教學比武雖然落下了帷幕，但這一方法一直延續(xù)到筆者的課堂里，而且學生受益匪淺.

例1.如下圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為CD的四分之一點，設，則m+n=______ _.

取平行四邊形ABCD為正方形，以直線AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標系，設AB=1，

此題錯誤率極高，原因是學生表示向量時很混亂，這一特例則省去了平面向量的表示，轉化成為坐標的運算，思路清晰.

這一特例的處理讓學生從復雜的設未知數(shù)運算中得到了“解脫”.

例3.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，設∠DAB=θ，θ∈（0，），以A、B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1，以C、D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2，則e1·e2= _____.

此題題干讓較多學生有“暈”的感覺，加之已知量少，所以運算較難進行，這一特例則使運算得以開展.

例4.在三棱錐T-ABC中，TA，TB，TC兩兩互相垂直，T在底面ABC上的正投影為D，下列命題：

①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；

②△ABC是銳角三角形；

其中正確的是______.（寫出所有正確命題的編號）

在正方體中取三棱錐T-ABC，則易得①②③均正確，④錯誤.

此類題是大多數(shù)學生懼怕的題型，多選怕錯，所以很多學生寧可少選，也不多選，通過取特例建立模型既節(jié)省了時間又提高了正確率，更重要的是學生克服了恐懼敢于下手去做，提升了自信心.

諸如此類的例子舉不勝舉，可以說，學生對特例法的接受、理解、應用程度是筆者始料不及的.作為教師，如果我們能多去觀察并了解學生的“需求”，“供應”得恰到好處，相信我們離“供需平衡”的目標就更近了一步.

·編輯 孫玲娟