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        各邊長均為定值的四邊形面積何時最大

        2016-02-07 06:46:17曲阜師范大學附屬中學
        中學數(shù)學教學 2016年6期
        關鍵詞:育才附屬中學濟寧市

        曲阜師范大學附屬中學

        周祎明 (郵編:273165)

        山東省濟寧市育才中學分校

        莊志宏 (郵編:232100)

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        初數(shù)研究

        各邊長均為定值的四邊形面積何時最大

        曲阜師范大學附屬中學

        周祎明 (郵編:273165)

        山東省濟寧市育才中學分校

        莊志宏 (郵編:232100)

        證明 若四邊形ABCD是凹四邊形,可不妨設點A在△BCD內(nèi)(如圖1所示).

        圖1

        連結(jié)BD,作點A關于直線BD的對稱點A′.可得四邊形A′BCD的各邊長分別為A′B=a,BC=b,CD=c,DA′=d,但凸四邊形A′BCD的面積大于凹四邊形ABCD的面積,所以當四邊形ABCD的面積最大時,該四邊形是凸四邊形.

        圖2

        如圖2所示,在凸四邊形ABCD中,連結(jié)BD.

        在△ABD和△CBD中,由余弦定理,可得

        BD2=b2+c2-2bccosC=a2+d2-2adcosA,

        (a2+d2)-(b2+c2)=2adcosA-2bccosC.

        還可得,凸四邊形ABCD的面積

        由①2+②2,可得

        [(a2+d2)-(b2+c2)]2+16S2=4a2d2+4b2c2-8abcdcos(A+C),

        16S2≤(4a2d2+4b2c2+8abcd)-[(a2+d2)-(b2+c2)]2(當且僅當A+C=π時取等號)

        =(2ad+2bc)2-[(a2+d2)-(b2+c2)]2=(2ad+2bc+a2+d2-b2-c2)(2ad+2bc-a2-d2+b2+c2)=[(a+d)2-(b-c)2][(b+c)2-(a-d)2]=(a+d+b-c)(a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)=(2p-2c)(2p-2b)(2p-2d)(2p-2a).

        所以S2≤(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),

        推論 (1)各邊長分別是a、b、c、d的圓內(nèi)接四邊形的面積為

        (3)在周長為定值的四邊形中,當且僅當其是正方形時該四邊形的面積最大.

        證明 (1)由定理立得.

        (2)在結(jié)論(1)中讓d→0即得.

        (3)設周長為定值的四邊形的各邊長分別是a,b,c,d(a+b+c+d=定值2p),由定理得該四邊形的面積

        進而可得結(jié)論成立.

        2016-08-28)

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