曲阜師范大學附屬中學
周祎明 (郵編:273165)
山東省濟寧市育才中學分校
莊志宏 (郵編:232100)
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初數(shù)研究
各邊長均為定值的四邊形面積何時最大
曲阜師范大學附屬中學
周祎明 (郵編:273165)
山東省濟寧市育才中學分校
莊志宏 (郵編:232100)
證明 若四邊形ABCD是凹四邊形,可不妨設點A在△BCD內(nèi)(如圖1所示).
圖1
連結(jié)BD,作點A關于直線BD的對稱點A′.可得四邊形A′BCD的各邊長分別為A′B=a,BC=b,CD=c,DA′=d,但凸四邊形A′BCD的面積大于凹四邊形ABCD的面積,所以當四邊形ABCD的面積最大時,該四邊形是凸四邊形.
圖2
如圖2所示,在凸四邊形ABCD中,連結(jié)BD.
在△ABD和△CBD中,由余弦定理,可得
BD2=b2+c2-2bccosC=a2+d2-2adcosA,
(a2+d2)-(b2+c2)=2adcosA-2bccosC.
①
還可得,凸四邊形ABCD的面積
②
由①2+②2,可得
[(a2+d2)-(b2+c2)]2+16S2=4a2d2+4b2c2-8abcdcos(A+C),
16S2≤(4a2d2+4b2c2+8abcd)-[(a2+d2)-(b2+c2)]2(當且僅當A+C=π時取等號)
=(2ad+2bc)2-[(a2+d2)-(b2+c2)]2=(2ad+2bc+a2+d2-b2-c2)(2ad+2bc-a2-d2+b2+c2)=[(a+d)2-(b-c)2][(b+c)2-(a-d)2]=(a+d+b-c)(a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)=(2p-2c)(2p-2b)(2p-2d)(2p-2a).
所以S2≤(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),
推論 (1)各邊長分別是a、b、c、d的圓內(nèi)接四邊形的面積為
(3)在周長為定值的四邊形中,當且僅當其是正方形時該四邊形的面積最大.
證明 (1)由定理立得.
(2)在結(jié)論(1)中讓d→0即得.
(3)設周長為定值的四邊形的各邊長分別是a,b,c,d(a+b+c+d=定值2p),由定理得該四邊形的面積
進而可得結(jié)論成立.
2016-08-28)