山東省高青縣教學(xué)研究室

董 林 (郵編：256300)

山東省高青縣第一中學(xué)

趙桂霞 (郵編：256300)

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由一道競賽題引發(fā)的思考

山東省高青縣教學(xué)研究室

董 林 (郵編：256300)

山東省高青縣第一中學(xué)

趙桂霞 (郵編：256300)

這是一道第26屆獨(dú)聯(lián)體數(shù)學(xué)奧林匹克試題.本題看似結(jié)構(gòu)簡單，但卻蘊(yùn)含著豐富的資源和信息，本文將圍繞這個(gè)題目展開思考，借以探討數(shù)學(xué)問題研究的角度和維度.

1 考慮問題的解決方法

對(duì)于分式不等式，最常規(guī)的證明方法是去分母，但作為競賽題的解決，這個(gè)思路一般是不勝其煩或難于奏效.

競賽中的分式型不等式問題的證明，常用的是代換法，代換一般采用分母整體代換、增量代換和三角代換的方法.

證法1 (分母整體代換)

設(shè)x=a-1，y=b-1，已知a>1，b>1，所以x>0，y>0.根據(jù)基本不等式有

證法2 (增量代換)

已知a>1，b>1，設(shè)a=1+x，b=1+y，以下同證法1，從略.

證法3 (三角代換)

競賽中的分式型不等式的證明，還常常借助于一些現(xiàn)成的結(jié)論，如排序不等式、Cauchy不等式，等等.

證法4 (利用排序不等式)

證法5 (利用Cauchy不等式)

已知a>1，b>1，所以a-1+b-1>0，利用Cauchy不等式知

所以有

另外，通過配湊“處理掉”不等式中的分母，也是時(shí)常思考的解決問題的角度之一.

證法6 (配湊法)

從代換、去分母、運(yùn)用基本不等式等多方面思考還會(huì)找到其他的證明方法，讀者不妨一試.

2 推廣

考慮問題的推廣，我們往往從維數(shù)和次數(shù)兩個(gè)角度進(jìn)行探索.

2.1 維數(shù)的推廣

從對(duì)原問題的證明過程中我們可以看到，原問題中的不等式等價(jià)于下面的不等式：

命題1 若x、y是正數(shù)，則有

對(duì)于這個(gè)問題，最為簡潔的證法是上述證法中的證法1.

順著這個(gè)思路，我們可以得到

命題2 若x、y、z是正數(shù)，則有

(2)的證明與(1)相似，在此從略.

將命題2中的兩個(gè)不等式還原成原來的形式就是如下兩個(gè)不等式：

命題3 若a>1，b>1，c>1，則有

讀者可以探究上述命題的其它解法，繼續(xù)順著這個(gè)思路，我們可以進(jìn)一步得到

(注：當(dāng)i+k>n時(shí)，取xi+k=xi+k-n)

2.2 次數(shù)的推廣

考慮將分式中分子的次數(shù)進(jìn)行推廣，我們可以得到

命題5 若x、y是正數(shù)，n是整數(shù)且n≥2，則有

已知n是整數(shù)且n≥2，考察函數(shù)

對(duì)其求導(dǎo)數(shù)，有

顯然有

從而有

有興趣的讀者，不妨將維數(shù)、次數(shù)的推廣結(jié)合考慮，會(huì)得出更多漂亮的結(jié)果.

3 加強(qiáng)

在不等式問題的研究中，我們還通常考慮對(duì)其進(jìn)行加強(qiáng)，得到更強(qiáng)的結(jié)果，比如對(duì)于命題1，我們可以得到

命題6 若x、y是正數(shù)，則有

將命題6的結(jié)果還原成原來的形式就是

命題7 對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1、b>1，有

經(jīng)探索，我們還會(huì)得到如下結(jié)果

命題8 對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1、b>1，有

下面說明命題8也是原不等式的一個(gè)加強(qiáng)：

只要說明

根據(jù)命題8的證明可知

≥2+2+2×2=8.

所以命題8的結(jié)論強(qiáng)于原問題.

讀者可順著這樣的思路考慮對(duì)我們推廣了的結(jié)論進(jìn)行加強(qiáng).

對(duì)不等式問題，從尋求多種證法、對(duì)結(jié)論進(jìn)行推廣和加強(qiáng)等角度進(jìn)行探究，除了能發(fā)現(xiàn)許多有價(jià)值的、漂亮的結(jié)論外，更重要的是能夠培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，有興趣的讀者不妨找一些不等式結(jié)論進(jìn)行探究，相信一定會(huì)收到意外的驚喜！

2016-08-26)