內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)

張 生 蘇 猛 (郵編：611731)

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一類(lèi)復(fù)合函數(shù)問(wèn)題的圖象解題法及啟示

內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)

張 生 蘇 猛 (郵編：611731)

形如y=f[f(x)]的復(fù)合函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，在近幾年的高考中屢見(jiàn)不鮮，(如2006年湖北理科、2009年福建理科第10題、2012年江蘇理科第18題、2013年安徽理科第10題、2014年浙江理科第15題、2015年山東理科第10題等)，常以壓軸選擇題或填空題的形式考查，相關(guān)資料對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的解答通常為分類(lèi)討論，過(guò)程繁雜且不易于學(xué)生接受，更談不上舉一反三、觸類(lèi)旁通了.那么，如何獲得解決該類(lèi)問(wèn)題的簡(jiǎn)潔而又通用的方法呢？經(jīng)過(guò)對(duì)比研究，筆者從復(fù)合函數(shù)角度出發(fā)，利用換元思想，給出解決此類(lèi)問(wèn)題的一種通用圖象解法(針對(duì)易畫(huà)函數(shù)圖象的問(wèn)題).

為了解決上述問(wèn)題，我們可以先研究以下幾個(gè)問(wèn)題，為解題思路做必要的鋪墊，以便更好地理解.

1 預(yù)設(shè)問(wèn)題

問(wèn)題1 函數(shù)y=f(x)(x∈R)和y=f(t)(t∈R)是不是同一函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖 理解成為同一函數(shù)的兩個(gè)基本要求：對(duì)應(yīng)關(guān)系與定義域，而與自變量的表現(xiàn)形式無(wú)關(guān).

問(wèn)題2 能在同一坐標(biāo)系中畫(huà)兩個(gè)函數(shù)圖象嗎？

設(shè)計(jì)意圖 由于自變量表現(xiàn)形式不同，故可引導(dǎo)學(xué)生從不同的坐標(biāo)系(分別在直角坐標(biāo)系xOy和直角坐標(biāo)系tOy中畫(huà)圖)中畫(huà)函數(shù)圖象，且圖象應(yīng)保持一致，為引例的解決做好鋪墊.

問(wèn)題3 函數(shù)y=f(t)和t=f(x)是不是同一函數(shù)，在不同直角坐標(biāo)系下的圖象是否一致？

設(shè)計(jì)意圖 強(qiáng)化對(duì)同一函數(shù)要求的理解，應(yīng)分情況討論.另外，為將復(fù)合函數(shù)y=f[f(x)]利用換元思想寫(xiě)成函數(shù)y=f(t)和函數(shù)t=f(x)做準(zhǔn)備.

2 圖解引例

通過(guò)換元，借助函數(shù)y=f(t)和y=2t的圖象可解決分解問(wèn)題1(圖1)：

圖1

圖2

由圖1知，滿(mǎn)足f(t)=2t的t的取值范圍是t≥1,而t的取值范圍與a的取值范圍又有關(guān)聯(lián)，即f(a)≥1.借助函數(shù)t=f(a)的圖象解決分解問(wèn)題2(圖2)：

綜上，我們可歸納出解決該類(lèi)問(wèn)題的一般性方法：

(1)先進(jìn)行換元，將復(fù)合函數(shù)y=f[f(x)]利用換元思想寫(xiě)成兩個(gè)函數(shù)y=f(t)和t=f(x);

(2)分別在直角坐標(biāo)系tOy和直角坐標(biāo)系xOt中畫(huà)出函數(shù)y=f(t)和t=f(x)的圖象.這里需要說(shuō)明的是，一般情況下，兩幅函數(shù)圖象應(yīng)該不一致，只有當(dāng)自變量t與自變量x的取值范圍相同時(shí)，圖象保持一致.但在具體作圖中，未考慮自變量t與自變量x的取值范圍，將兩幅圖畫(huà)得完全一致，也不影響解題，請(qǐng)讀者自行研究其原理.

(3)在直角坐標(biāo)系tOy中，借助函數(shù)y=f(t)的圖象求出t的范圍(分解問(wèn)題1)，再在直角坐標(biāo)系xOt中，利用函數(shù)t=f(x)的圖象求出x的范圍(分解問(wèn)題2).

以上解法很好地回避了分類(lèi)討論過(guò)程，將整個(gè)解題過(guò)程以圖形方式直觀(guān)地呈現(xiàn)出來(lái)，易于學(xué)生理解與接受，同時(shí)注重了函數(shù)教學(xué)中需強(qiáng)化的數(shù)形結(jié)合思想.

3 變式與拓展

在解題教學(xué)中，應(yīng)注重高效、通透的原則，可以設(shè)置有價(jià)值的問(wèn)題串進(jìn)行加深與拓展，從而提高教學(xué)質(zhì)量，保證教學(xué)效果.

針對(duì)引例，我們可以設(shè)置如下問(wèn)題：

設(shè)計(jì)意圖 抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì)，加深對(duì)解題方法的理解.

設(shè)計(jì)意圖 將函數(shù)改為非單調(diào)函數(shù)，換元時(shí)應(yīng)注意新變量的范圍.

滿(mǎn)足f{f[f(a)]}>2的a的取值范圍是______.

設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)行必要的拓展訓(xùn)練，深化解題方法的應(yīng)用.鼓勵(lì)學(xué)生勇于探究，敢于追問(wèn).

4 啟示與感悟

如何提高學(xué)生的解題能力？如何培養(yǎng)學(xué)生的探究能力？應(yīng)從解題策略的研究與指導(dǎo)開(kāi)始，鼓勵(lì)學(xué)生鉆研問(wèn)題，從根本上理解、吃透，方能達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通之功效.同時(shí)，應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，認(rèn)真審題就是重要的好習(xí)慣.通過(guò)認(rèn)真審題來(lái)搞清：條件有哪些，目標(biāo)是什么，如何從條件出發(fā)達(dá)到目標(biāo)，可以采用什么樣的數(shù)學(xué)思想方法及技巧，解后反思、收獲有哪些等，鼓勵(lì)學(xué)生多從優(yōu)化解題過(guò)程方面進(jìn)行深入研究，以達(dá)到“做一題，通一類(lèi)，帶一片”的高效解題效應(yīng).

2016-09-12)