山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué)

張 俊 (郵編：611731)

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對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型的思考
——從2016年淄博市中考第24題說起

山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué)

張 俊 (郵編：611731)

筆者近來對(duì)2016年淄博市中考第24題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)該題題目典型，思路開闊，平面幾何知識(shí)交叉豐富，可拓展，可延伸，本文結(jié)合該題對(duì)相關(guān)的命題導(dǎo)向和教學(xué)導(dǎo)向，與大家研討.

1 題目呈現(xiàn)

圖1

(2016年淄博中考第24題)如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C、D重合)，AM、AN分別交BD于點(diǎn)E、F，且∠MAN始終保持45°不變．

(2)求證：AF⊥FM；

(3)請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí)，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明．

圖2

2 思路突破

1.1 識(shí)別相似模型，問題迎刃而解

圖3

圖4

1.2 利用已證結(jié)論，進(jìn)而遞進(jìn)求解

3 巧用“8”字型，得出關(guān)鍵角

第3問看到網(wǎng)上很多答案是利用點(diǎn)A、B、M、F四點(diǎn)共圓來解答，盡管思路簡潔，但考慮四點(diǎn)共圓新的課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)不做要求，學(xué)生也較難想到，那么我們還有更自然和常規(guī)的方法嗎？如圖5，我們可以從復(fù)雜圖形中抽取出這對(duì)“8”字型，因?yàn)椤螦BF=∠AMF=45°,又∠AEB=∠MEF, 所以∠BAM=∠MFB.當(dāng)∠FMN=∠BAM時(shí)，得∠FMN=∠MFB.所以BF∥MN，即∠DBC=∠NMC=45°，△NMC為等腰直角三角形， 所以CM=CN，進(jìn)而BM=DN，易得△ADN≌△ABM，因?yàn)椤螹AN=45°，則∠BAM=∠DAN=22.5°,即∠BAM=22.5°時(shí)，∠FMN=∠BAM.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

4 模型思考

通過以上問題解決我們可以感受到本題是以熟悉的半角模型為背景進(jìn)行的一次命題考查，這不禁使筆者想到了半角模型的一個(gè)典型問題：如圖6，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，求證：EF=BE+DF.

評(píng)析 該問題常規(guī)的思路可以用截長補(bǔ)短法，如果我們從圖形變化的角度來思考會(huì)更有數(shù)學(xué)的味道，思路簡述1：如圖7，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，易證△AEF≌△AGF，進(jìn)而求證.思路簡述2：如圖8，把△ADF沿AF對(duì)折，連接ED′，可證△ABE≌△AED′，進(jìn)而得到點(diǎn)E、D′、F共線，進(jìn)而求證.以上給我們提供了解決半角模型的常用方法和思路.

如果我們?cè)龠B接對(duì)角線BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，如圖9，求證： MN2=BM2+DN2.

圖10

思路簡述 如圖10，把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ADM′，連接NM′，易證△ANM≌△ANM′，因?yàn)椤鱊M′D為直角三角形，利用勾股定理進(jìn)而求出關(guān)系，這里也可以選擇軸對(duì)稱思路來分析，不再贅述.

如果我們?cè)侔焉鲜鰣D形抽象化，就可建立下面的基本模型：如圖11，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，點(diǎn)M、N在邊BC上，且∠MAN= 45°，求BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系.

圖11

圖12

評(píng)析 如圖12，我們依然把△ABM把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD，可以證得△AMN≌△ADN，把線段BM、MN、NC，轉(zhuǎn)化到了△DCN中，由于∠DCN=∠ACD+∠ACB=45°+45° =90°，所以根據(jù)勾股定理可得DN2=CD2+CN2，即MN2=BM2+NC2.這樣我們就得到了半角模型的一個(gè)基本結(jié)論， 2014年浙江紹興中考試題的23題，2016年廣西貴港的26題都以此進(jìn)行了命題考查.

圖13

圖14

在這里我們依然可以采用旋轉(zhuǎn)變化的方式，如圖14，把線段x、y、z轉(zhuǎn)化到△DCN中，利用三角函數(shù)可得到一般化的結(jié)論：z2=x2+y2+2xycosα (有興趣的老師可以證一下，這里不再贅述)，從而，對(duì)于α=90°其實(shí)就是半角模型的一種特殊情況，這也是問題的本質(zhì)所在.

圖15

從2016年淄博市中考第24題，我們可以看到，以半角模型為載體的中考命題這幾年一直活躍在各地市的中考試卷中.原因在于該模型能把眾多的平面幾何知識(shí)融合在一起，結(jié)論比較開放，變式較多，給命題者留下了廣闊的思考空間.基于本題的半角模型，我們繼續(xù)挖掘還可得出以下結(jié)論：如圖15.

(1)∠AMB=∠AMN=∠AFB或∠AND=∠ANM=∠AED；

(2)2AE2=BE2+DE2或2AF2=BF2+DF2；

(3)△AFM與△AEN都是等腰直角三角形；

同時(shí)，我們還可繼續(xù)發(fā)現(xiàn)，2016年淄博市中考24題中的第2問中，如果我們把∠MAN=45°繞點(diǎn)A繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，如圖16，可以得到△AFM始終是等腰直角三角形，揭示了變化中的不變.

圖16

5 教學(xué)導(dǎo)向

4.1 基于模型，尋求模型本質(zhì)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面的學(xué)習(xí)要求是讓學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形,并能分析其中的基本元素及其關(guān)系,利用直觀來進(jìn)行思考”.因此，這就要求我們教師在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生將同種類型的問題進(jìn)行合理歸納、梳理，進(jìn)而形成一個(gè)幾何模型.例如本文所探討的半角模型，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們提倡追根溯源，尋找問題之間的相互聯(lián)系，從而對(duì)問題的研究形成系統(tǒng)性，同樣在幾何模型教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生循序漸進(jìn)，找到模型的變化和遷移，從而對(duì)一類問題找到本質(zhì)特點(diǎn).例如淄博市中考第24題的第1問不僅要得出相似，而且要引導(dǎo)學(xué)生從圖形變化的角度理解到其實(shí)是有一個(gè)三角形按照一定的比例放大或縮小，繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，讓學(xué)生從旋轉(zhuǎn)相似的本質(zhì)來理解，同樣對(duì)于前面z2=x2+y2+2xycosα的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的理解過程，不僅知其然，更要知其所以然，進(jìn)而積累出解決這類問題的方法和思路.

4.2 基于模型，開展變式教學(xué)

就半角模型而言，通過改變不同的條件，我們可以得出不同的結(jié)論，正是由于其典型，因而大有文章可做，在實(shí)際的教學(xué)中，我們要抓住平時(shí)教學(xué)中具有代表性的數(shù)學(xué)模型，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性開展變式教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，通過變式達(dá)到一題多用，多題重組，可以促使學(xué)生的思維向多維發(fā)散.

1 劉文燕. 數(shù)形結(jié)合明結(jié)構(gòu)，以退為進(jìn)獲思路[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)(下)，2015(8)

2 中華人民共和國教育部制訂.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

2016-09-27)