王洪彬

(淄博師范高等專科學(xué)校 數(shù)理科學(xué)系， 山東 淄博 255130)

?

變指標(biāo)Herz型Hardy空間上一類交換子的有界性

王洪彬

(淄博師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理科學(xué)系， 山東 淄博 255130)

摘要：發(fā)展了變指標(biāo)Herz型Hardy空間理論，應(yīng)用原子分解定理證明了一類次線性算子和BMO函數(shù)生成的交換子在變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的有界性.

關(guān)鍵詞：交換子；變指標(biāo)；Herz型Hardy空間；有界性

在彈性力學(xué)、流體力學(xué)及其所涉及的偏微分方程研究中，很多情況下需要處理某些具有非標(biāo)準(zhǔn)局部增長(zhǎng)條件的問(wèn)題，其數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式為所謂具有變指標(biāo)的函數(shù)空間問(wèn)題.1991年，Kovácˇik和Rákosník[1]文章的出現(xiàn)，使得變指標(biāo)函數(shù)空間理論得到了迅速的發(fā)展，具有可積性指標(biāo)的Lebesgue空間和Sobolev空間被廣泛研究[2].之后人們相繼建立了變指標(biāo)Bessel位勢(shì)空間(即廣義變指標(biāo)Sobolev空間)[3]，變指標(biāo)Triebel-Lizorkin空間[4]，變指標(biāo)Herz空間[5]，變指標(biāo)Hardy空間[6]和變指標(biāo)Herz型Hardy空間[7]，對(duì)于調(diào)和分析中的重要算子及其交換子在上述空間中的研究也得到了豐富的成果.另外，關(guān)于這些空間的許多應(yīng)用也相繼被人們發(fā)現(xiàn)[8].本文應(yīng)用變指標(biāo)Herz型Hardy空間中的原子分解定理，證明一類次線性算子和BMO函數(shù)生成的交換子在此空間中的有界性.

1預(yù)備知識(shí)和記號(hào)

給定開集Ω?n及可測(cè)函數(shù) p(·)∶Ω→[1，∞),Lp(·)(Ω)表示Ω上所有可測(cè)函數(shù)f的集合,且滿足對(duì)某個(gè)λ>0,使得∞.

賦予如下Luxemburg-Nakano范數(shù)

則Lp(·)(Ω)是Banach空間，稱之為變指標(biāo)Lebesgue空間.

p(·)∶Ω→[1,)的集合, 使得p-=essinf {p(x)∶x∈Ω}>1,p+=esssup {p(x)∶x∈Ω}<.記p′(x)=p(x)/(p(x)-1). 令(Ω)為p(·)∈(Ω)并使得Hardy-Littlewood極大算子M滿足Lp(?)(Ω)有界的指數(shù)函數(shù)p(·)的集合.

下面我們給出變指標(biāo)Herz空間的定義. 對(duì)于k∈, 令且Ak=BkBk-1. 記+和分別是所有正整數(shù)和所有非負(fù)整數(shù)的集合, 對(duì)k∈有χk=χAk, 若k∈+則且其中χAk是Ak的特征函數(shù).

定義 1[5]令α∈, 0

在此基礎(chǔ)上我們給出變指標(biāo)Herz型Hardy空間的定義及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空間, 它是由無(wú)窮可微且在無(wú)窮遠(yuǎn)處迅速遞減的函數(shù)所構(gòu)成的,S′(n)表示S(n)的對(duì)偶空間. 令GNf(x)為f(x)的grand極大函數(shù), 其定義為，其中ΑN={φ且是非切向極大算子并且其定義為其中φt(x)=t-nφ(x/t).

定義2[7]令α∈, 0n+1.

定義3[7] 令nδ2≤α

(ii)n上的函數(shù)a被稱為是限制型中心(α,q(·))-原子, 如果它滿足上述條件(b), (c)以及(a)′ 對(duì)某個(gè)r≥1有suppa?B(0,r).

引理1[7]令nδ2≤α<, 0

其中下確界是對(duì)f的所有上述分解而取的.

在主要結(jié)論的證明中，我們還需要下面的幾個(gè)引理.

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被稱為廣義H?der不等式.

其中δ1,δ2是常數(shù)且滿足0<δ1,δ2<1(注意在整篇文章中δ1,δ2都同引理3中的一樣).

2主要結(jié)論及證明

定理1 令nδ2≤α<,00使得s+δ>α-nδ2， 且對(duì)任意具有緊支集的函數(shù)f有s.

[b,T]f滿足尺寸條件

(1)

我們首先估計(jì)I1. 由式(1)和廣義H?der不等式得

所以由引理2～5, 有

‖[b,T](aj)χk‖Lq(·)(n)≤C2-k(n+s+δ)2j(s+δ-α){‖(b-bBj)χk‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)+

‖(bBj-b)χj‖Lq′(·)(n)‖χk‖Lq(·)(n)}≤C2-k(n+s+δ)2j(s+δ-α){‖b‖*‖χBk‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)+

(k-j)‖b‖*‖χBj‖Lq′(·)(n)‖χBk‖Lq(·)(n)}≤C2-k(n+s+δ)2j(s+δ-α)(k-j)‖b‖*‖χBk‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)≤

(2)

因此, 當(dāng)0

(3)

(4)

現(xiàn)在來(lái)估計(jì)I2. 類似地, 我們考慮p的兩種情形. 當(dāng)0

(5)

(6)

因此, 定理得證.

參考文獻(xiàn)：

[1] Kovácik O, Rákosník J. On spaces Lp(x)and Wk,p(x)[J]. Czechoslovak Math J, 1991, 41(4): 592-618.

[2] Diening L, Harjulehto P, H?st? P,etal. Lebesgue and Sobolev spaces with variable Exponents[M]. Heidelberg:springer, 2011.

[3] Diening L. Riesz potential and Sobolev embeddings of generalized Lebesgue and Soblev spaces Lp(·)and Wk, p(·)[J]. Math Nachr, 2004, 268(1)： 31-43.

[4]Xu J S. Variable Besov and Triebel-Lizorkin spaces[J]. Ann Acad Sci Fenn Math, 2008, 33：511-522.

[5] Izuki M. Boundedness of sublinear operators on Herz spaces with variable exponent and application to wavelet characterization[J]. Anal Math, 2010, 36(1)：33-50.

[6] Nakai E， Sawano Y. Hardy spaces with variable exponents and generalized Campanato spaces[J]. J Funct Anal, 2012, 262(9)：3 665-3 748.

[7]Wang H B, Liu Z Z. The Herz-type Hardy spaces with variable exponent and their applications[J]. Taiwanese J Math, 2012, 16(4)：1 363-1 389.

[9] Izuki M. Boundedness of commutators on Herz spaces with variable exponent[J]. Rend del Circolo Mate di Palermo, 2010, 59(2)：199-213.

(編輯：郝秀清)

BoundednessofcommutatorsonHerz-typeHardyspaceswithvariableexponent

WANGHong-bin

(DepartmentofMathematicalandPhysicalScience,ZiboNormalCollege，Zibo255130，China)

Abstract:Usingtheatomicdecompositiontheorem,weobtaintheboundednessofthecommutatorsgeneratedbyaclassofsublinearoperatorsandtheBMOfunctionsontheHerz-typeHardyspaceswithvariableexponent.

Keywords:commutator；variableexponent；Herz-typeHardyspace；boundedness

中圖分類號(hào)：O174.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2015)03-0027-05

作者簡(jiǎn)介：王洪彬, 男,hbwang_2006@163.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171345)； 淄博師范高等專科學(xué)校研究課題(13xk023)

收稿日期：2014-10-15