李　倩, 李田澤， 解愛章

(1.山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 山東 淄博 255049；

2.淄博機(jī)電工程學(xué)院， 山東 淄博 255300)

?

基于牛頓插值算法的二維PSD非線性校正

李倩1, 李田澤1， 解愛章2

(1.山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 山東 淄博 255049；

2.淄博機(jī)電工程學(xué)院， 山東 淄博 255300)

摘要：為了提高位置敏感探測(cè)器(PSD)的測(cè)量精度，減少其非線性帶來的誤差，提出了基于牛頓插值算法的非線性補(bǔ)償插值算法.這種新型算法是通過逐次生成插值多項(xiàng)式的算法，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)，只要增加或減少一項(xiàng)即可，可以節(jié)省算術(shù)運(yùn)算的次數(shù)，極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，對(duì)比雙二次線性插值算法的線性校正數(shù)據(jù)及插值誤差分析，該算法的非線性校正精度更高、插值誤差較小.

關(guān)鍵詞：位置敏感探測(cè)器PSD； 牛頓插值算法； 插值誤差分析； 非線性

光電位置敏感探測(cè)器(PSD)基于橫向光電效應(yīng)，它具有響應(yīng)速度快、靈敏度高、頻譜響應(yīng)寬、處理電路簡(jiǎn)單等獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于光電檢測(cè)等領(lǐng)域[1].

但是PSD的非線性使得整個(gè)器件所測(cè)數(shù)據(jù)置信度下降,盡管有些改進(jìn)型PSD線性度得以改善，但其非線性仍不可避免.雖然在中央?yún)^(qū)域線性度很好，但PSD的非線性嚴(yán)重制約邊緣區(qū)域的準(zhǔn)確度，如何解決它已成為非常棘手的問題.目前主要采用的插值校正算法有雙一次插值、雙二次插值等方法，而大多數(shù)研究都在理論研究階段，給出實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)的資料不多，并且當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)，計(jì)算要全部重新進(jìn)行，為了計(jì)算方便本文提出基于牛頓插值算法的二維PSD非線性校正.

1 PSD工作原理

當(dāng)入射光點(diǎn)落在PSD感光面的不同位置時(shí)，將對(duì)應(yīng)輸出不同的電信號(hào)，通過對(duì)此輸出電信號(hào)的處理，即可確定入射光點(diǎn)在器件感光面上的位置.PSD可以分為一維PSD和二維PSD，一維是在線型的PSD兩端位置引出兩個(gè)電極；二維PSD是在光敏面的兩邊對(duì)邊上的幾何中心點(diǎn)位置引出四個(gè)收集光電流的電極[2-3].

一維PSD電流與光點(diǎn)位置方程：

(1)

(2)

式中:I1、I2分別為兩個(gè)電極的輸出光電流;I0為總的光電流;x是光斑能量中心的坐標(biāo);L為PSD中點(diǎn)到信號(hào)兩級(jí)間的距離.

二維PSD電流與光電位置方程：

(3)

(4)

式中:Ix1、Ix2和Iy1、Iy2分別為各電極的輸出光電流，x,y是光斑能量中心的坐標(biāo)，L為PSD中點(diǎn)到信號(hào)兩級(jí)間的距離.

2雙二次線性插值算法

文獻(xiàn)[4]中介紹了雙一次線性插值和雙二次線性插值的方法，并且證明了雙二次線性插值算法的校正精度和準(zhǔn)確度高于雙一次線性插值算法.下面簡(jiǎn)單介紹雙二次插值算法.

給定任意一個(gè)測(cè)量點(diǎn)p(x,y),該點(diǎn)的補(bǔ)償值Ex(x,y),Ey(x,y)可以用包含該點(diǎn)的一個(gè)田字補(bǔ)償網(wǎng)格A1A2A3A4A5A6A7A8A8A9上的9個(gè)頂點(diǎn)的補(bǔ)償值Ex(xi)，Ey(yi)的線性組合來表示(以x為例，y向同)，即

(5)

(6)

稱

為系數(shù)函數(shù)[5].

如果實(shí)測(cè)網(wǎng)格式均勻的，那么補(bǔ)償網(wǎng)格的9個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用兩個(gè)一維矩陣表示：x=[x1,x2,x3]，y=[y1,y2,y3]。系數(shù)函數(shù)φ(p,q,k,l)是由這6個(gè)坐標(biāo)值x1,x2,x3,y1,y2,y3確定的函數(shù).

3牛頓插值算法

牛頓插值算法是利用函數(shù)f(x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，做出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作出函數(shù)f(x)近似值.如果這特定函數(shù)式是多項(xiàng)式就稱它為牛頓插值多項(xiàng)式.

牛頓插值多項(xiàng)式是基于差商所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，它與雙一次線性、雙二次線性插值多項(xiàng)式本質(zhì)上是一樣的，只是表現(xiàn)形式不同.當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)，雙二次線性插值算法要全部重新進(jìn)行，而牛頓插值算法計(jì)算方便，且增加節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要增加一項(xiàng)即可，簡(jiǎn)化了運(yùn)算[6-7].

n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,2,…，n)牛頓插值多項(xiàng)式為

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+

f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+

f[x0,x1,…，xn](x-x0)(x-x1)…

(x-xn-1)

(7)

記

f[x0,x1,…，xi]

(8)

Nn(x)是f(x)的n次插值多項(xiàng)式，稱為牛頓插值多項(xiàng)式，又可寫為

Nn(x)=Nn-1(x)+

(9)

一階差商：

(10)

二階差商：

(11)

N階差商：

f[x0,x1，…,xn]=

(12)

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1在線數(shù)據(jù)采集裝置

為了驗(yàn)證上述兩種算法哪一種的非線性補(bǔ)償性更好，本文選取了一塊日本HAMAMATSU公司產(chǎn)的S1880進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)步驟如下：

第一步，誤差離散化.由于PSD的非線性誤差在x,y方向上相對(duì)獨(dú)立，故對(duì)每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的由x方向位置誤差函數(shù)Ex(x,y),y方向的位置誤差函數(shù)Ey(x,y);不過，在此只選擇Ex(x,y)為例，進(jìn)行推導(dǎo)，因Ey(x,y)的推導(dǎo)完全類同.為了得到誤差函數(shù)，將PSD置于一高準(zhǔn)確度數(shù)控位移平臺(tái)上，固定一激光器使其照射在PSD敏感面上，則控制一定步長(zhǎng)S沿x,y方向改進(jìn)，即可得到一系列網(wǎng)格點(diǎn)陣上的誤差函數(shù)值Ex(xi,yi),Ey(xi,yi)[8]

(13)

式中(xc,yc)為PSD網(wǎng)格點(diǎn)的測(cè)量值，(xtc,ytc)為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的準(zhǔn)確位置讀數(shù).

第二步，查找網(wǎng)格點(diǎn)，判斷待修正的點(diǎn)與網(wǎng)格上哪個(gè)點(diǎn)距離最近，把最近的網(wǎng)格點(diǎn)作為補(bǔ)償網(wǎng)格的中心點(diǎn).

第三步，按照牛頓插值算法的思想，給定任意一個(gè)測(cè)量點(diǎn)p(x,y),該點(diǎn)的補(bǔ)償值Ex(x,y),Ey(x,y)對(duì)照式(7)進(jìn)行誤差修正，只要是在網(wǎng)格內(nèi)任意一點(diǎn)，就可以得到修正后的坐標(biāo).

4.2 兩種插值算法線性校正數(shù)據(jù)比較

表1給出了兩種算法對(duì)同一組測(cè)量值的校正結(jié)果.第10組、第20組數(shù)據(jù)的x坐標(biāo)補(bǔ)償結(jié)果相差最大，分別相差8μm和13μm.

由表1中兩種算法校正數(shù)據(jù)可看出，牛頓插值算法校正后的數(shù)據(jù)與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的讀數(shù)相差大部分小于2μm，而雙二次線性插值算法與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的讀數(shù)相差很大.由此得知，牛頓插值算法比雙二次線性插值算法校正精度更高.

4.3 兩種插值誤差分析比較

對(duì)雙二次插值算法，其插值誤差：

Rn(x,y)=

(14)　取n=2,則

對(duì)牛頓插值算法，其插值誤差：

Rn(x,y)=f(x,y)-pn(x,y)

=f[(x,y),(x0,y0);…;(xn,yn)]wn+1(x,y)

(16)

式中，

wn+1(x,y)=

如圖1所示計(jì)算流程如下：

程序開始，存放一階差商f[(x0,y0),(x1,y1)]，f[(x0,y0),(x1,y1)]，f[(xi-1,yi-1),(xi,yi)]…f[(xn-1,yn-1),(xn,yn)],n=0,1,…，i. 是一階差商數(shù)組.第一步外層循環(huán)，循環(huán)變量j，表示計(jì)算第j階差商值，設(shè)循環(huán)變量初值為1，終值為n；第二步內(nèi)層循環(huán)，循環(huán)變量i，表示同階差商計(jì)算n次，設(shè)循環(huán)變量初值為n，終值為j.取n=2，求得插值多項(xiàng)誤差R2(x,y)為

R2(x,y)=f(x,y)-p2(x,y)=

f[(x,y),(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)]w3(x,y)=

f[(x,y),(x0,y0),(x1,y1)(x2,y2)]·

{[(x,y)-(x0,y0)][(x,y)-(x1,y1)]}≈

0.01532

(17)

圖1 插值誤差計(jì)算程序框圖

由式(15)、式(17)得出牛頓插值誤差比雙二次性插值誤差小，線性補(bǔ)償能力較好.

5 結(jié)束語(yǔ)

PSD為一種高靈敏度,高準(zhǔn)確度位置敏感探測(cè)器，如何克服非線性帶來的影響，是測(cè)量領(lǐng)域關(guān)心的重要問題.本文提出的基于牛頓插值算法的PSD非線性校正算法，對(duì)比雙二次線性插值算法的線性校正數(shù)據(jù)及插值誤差分析補(bǔ)償精度更高、插值誤差較小.故在不增加成本，不改變測(cè)量設(shè)備復(fù)雜度的情況下，擴(kuò)大了測(cè)量范圍，提高了PSD的利用價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃烈云，莫彥袆，向勇軍. 大面積枕型二維位敏探測(cè)器的研制[J]. 半導(dǎo)體光電，2014,35(2)：211-213.

[2]閆洪猛，李田澤，劉坤. 二維PSD非線性誤差修正算法的研究[J]. 山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007,21(6):31-34.

[3]張鳳奇，王永生，張寶尚，等. 二維位置敏感器件(PSD)的畸變校正算法研究[J]. 計(jì)算機(jī)科學(xué)，2013，40(11A):150-152.

[4]叢培田，劉廣軍，陸明. 探測(cè)器(PSD)的非線性補(bǔ)償技術(shù)[J]. 儀表技術(shù)與傳感器， 2012，7: 53-57.

[5]管炳良，李星，王俊. 二維PSD非線性修正技術(shù)研究[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào)，2007，28(7)：1295-1298.

[6]范開國(guó)，楊建國(guó)，姚曉棟，等. 基于牛頓插值的批量軸類零件加工誤差補(bǔ)償[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011,47(9)：112-116.

[7]李慶揚(yáng)，王能超，易大義. 數(shù)值分析[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[8]ClarenceO.E.Burg.Derivative-basedclosedNewton-cotesnumericalquadrature[J].AppliedMathematicsandComputation,2012,218(13):7052-7065.

(編輯：劉寶江)

Two dimensional PSD nonlinear modified Newton interpolation algorithm

LI Qian1， LI Tian-ze1, XIE Ai-zhang2

(1.School of Electrical and Electronic Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China；

2.Zibo Electrical and Mechanical Engineering， Zibo 255300, China)

Abstract:In order to improve the position sensitive detector(PSD) measurement accuracy, reduce the nonlinear error caused by the online data acquisition, a nonlinear compensation algorithm based on Newton interpolation algorithm is proposed.This algorithm uses micro displacement platform and correction device and is based on difference polynomial algorithm.It can increase or decvease the number to save the arithmetic operation, and simplify the computation. Experimental results show that compared with two linear interpolation algorithm and the interpolation error correction data analysis, the nonlinear compensation precision of this algorithm is higher, and the interpolation error is smaller.

Key words:position sensitive detector PSD; Newton interpolation algorithm; the interpolation error analysis; annealing

中圖分類號(hào)：TN929

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2015)03-0069-04

作者簡(jiǎn)介：李倩，女，Liqianll2@163.com; 通信作者： 李田澤，男，Ltzwang@163.com

基金項(xiàng)目：山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(ZR2012FL19)

收稿日期：2014-09-12