羅　明, 尹雪艷2

(1.山東理工大學(xué)理學(xué)院， 山東淄博 255049; 2.青島大學(xué) 圖書館， 山東 青島 266071)

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平衡單因素模型下兩過程能力指數(shù)的比較

羅明1, 尹雪艷2

(1.山東理工大學(xué)理學(xué)院， 山東淄博 255049; 2.青島大學(xué) 圖書館， 山東 青島 266071)

摘要：在工業(yè)生產(chǎn)中，過程能力指數(shù)是衡量一個(gè)過程能夠滿足產(chǎn)品質(zhì)量要求的程度.在平衡單因素模型下，利用廣義置信區(qū)間的方法獲得了兩個(gè)過程能力指數(shù)差的置信區(qū)間.研究了Cpk這類過程能力指數(shù)，并用數(shù)值模擬評(píng)估了文章中提出的方法.模擬結(jié)果表明廣義置信區(qū)間方法在該模型下是有效的.

關(guān)鍵詞：過程能力指數(shù)； 廣義置信區(qū)間； 平衡單因素模型

過程能力指數(shù)(processcapabilityindeices,PCI)是衡量一個(gè)過程能夠滿足產(chǎn)品質(zhì)量要求的程度.在實(shí)際生產(chǎn)過程中，過程能力指數(shù)的研究對(duì)于現(xiàn)在的工業(yè)生產(chǎn)過程具有十分重要的意義.現(xiàn)在國內(nèi)外運(yùn)用的過程能力指數(shù)主要是 Cpk.對(duì)于簡單情形正態(tài)分布下的過程能力指數(shù)的研究，國內(nèi)外已經(jīng)有很多統(tǒng)計(jì)學(xué)者進(jìn)行了大量的論述，并給出了指數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)及相關(guān)的假設(shè)檢驗(yàn)；如Kane[1]等、Kotz[2]等詳細(xì)地討論了過程能力指數(shù)的研究進(jìn)展及應(yīng)用情況；陳育蕾與陳意華[3]對(duì)過程能力指數(shù)進(jìn)行了綜述，介紹了指數(shù)的發(fā)展及研究現(xiàn)狀，并對(duì)幾種主要的過程能力分析方法進(jìn)行了介紹；Thomas[4]等人給出了過程能力指數(shù)的廣義置信區(qū)間.

兩個(gè)過程能力指數(shù)的比較問題在實(shí)際應(yīng)用中越來越廣泛.如果 Cpk1- Cpk2的置信上下限都為正的，則說明工廠一的過程能力要優(yōu)于工廠二；若 Cpk1- Cpk2的置信上下限都是負(fù)的，則工廠二的過程能力要優(yōu)于工廠一；若Cpk1-Cpk2的置信上下限有正有負(fù)，則說明兩個(gè)工廠的過程能力沒有顯著的差異.Jose[5]利用廣義置信區(qū)間的方法[6]探討了在正態(tài)分布下兩個(gè)過程能力指數(shù)的比較問題.然而，在實(shí)際的生產(chǎn)過程中，許多穩(wěn)定的過程并不簡單的服從正態(tài)分布.本文利用廣義置信區(qū)間的方法探究了單因素模型下的過程能力指數(shù)比較問題，數(shù)值結(jié)果表明廣義置信區(qū)間方法在該模型下是有效的.

1平衡單因素模型與過程能力指數(shù)

1.1平衡單因素模型

假設(shè)隨機(jī)變量X服從平衡單因素模型：

Xijk=μk+αik+eijk

i=1,2，…，bj=1,2,…，nk,k=1,2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 過程能力指數(shù)

PCI是衡量一個(gè)過程能夠滿足產(chǎn)品質(zhì)量要求的程度. Kane提出了Cpk的概念

(6)

(7)

2廣義樞軸量

廣義推斷是由Weerahandi提出，在存在討厭參數(shù)，并且傳統(tǒng)的頻率方法無法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的情況下，廣義推斷的方法能夠很好的解決.

定義1記R=R(X;x,η)為X和x及η=(θ,δ)的函數(shù)，如果R滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：(1)R的分布與未知參數(shù)不相關(guān)；(2)robs=r(x;x,η)不依賴于討厭參數(shù)δ.則R稱為廣義樞軸量.

假設(shè)給定廣義樞軸量R=R(X;x,η),置信系數(shù)為γ，定義R的樣本空間的子空間為Cγ，即Pη(R∈Cγ)=γ,則稱參數(shù)空間的子空間ΘC(γ)={θ∈Θ∶r(x;x,η)∈Cγ}為θ的100γ%廣義置信區(qū)間.

(8)

(9)

(10)

如果T1,T2是Cpk,1,Cpk,2的廣義樞軸量，則Tdiff=T1-T2是Cpk1-Cpk2的廣義樞軸量.基于此，便可以得到兩個(gè)Cpk差異的廣義樞軸量：

(11)

3數(shù)值模擬

借助matlab軟件，可以對(duì)提出的方法進(jìn)行評(píng)估，算法的實(shí)施步驟如下：

Step2:計(jì)算出Cpk1,Cpk2，記CpkDiff=Cpk1-Cpk2.

Step3：模擬(Z1,U1,V1)與(Z2,U2,V2)10 000次，得到10 000個(gè)Tdiff的值.

Step4：分別取10 000個(gè)Tdiff值的97.5%，2.5%分位數(shù)作為CpkDiff的置信上下限.

Step5：若Tdiff,0.025≤CpkDiff≤Tdiff,0.975，記為成功一次.

Step6：重復(fù)Step1～Step5 10 000次，計(jì)算出覆蓋率=成功次數(shù)/10 000.

表1　置信水平α=0.05下兩總體過程能力指數(shù)比較的覆蓋率

由表1可以看出，在給定顯著性水平下，對(duì)于不同的總體和樣本量，利用廣義置信區(qū)間的方法得到的兩個(gè)過程能力指數(shù)比較的區(qū)間覆蓋率都接近0.95，模型具有非常好的適應(yīng)性.由表1還可以看出，若樣本存在組間方差時(shí)，廣義置信區(qū)間方法在單因素模型中的應(yīng)用比較穩(wěn)定.本文利用廣義置信區(qū)間的方法對(duì)存在組間方差的正態(tài)分布進(jìn)行了研究.

S2=(SSB+SSE)/(bn-1)

(12)

(13)

(14)

(15)

式(15)就是兩個(gè)過程Cpk的廣義樞軸量．同理，如果T1,T2是Cpk,1,Cpk,2的廣義樞軸量，則Tdiff=T1-T2是 Cpk1-Cpk2的廣義樞軸量.基于此，便可以得到兩個(gè)Cpk差異的廣義樞軸量：

(16)

數(shù)值模擬步驟如同Step1～Step6．取不同均值方差，正態(tài)情形與單因素兩種情況下廣義置信區(qū)間方法的覆蓋率見表2.

表2 置信水平α=0.05，單因素與正態(tài)情形兩種情形下廣義置信區(qū)間方法的精確度

μ1σb1σe1μ2σb2σe2bn考慮組間方差覆蓋率未考慮組間方差覆蓋率310105305126550.95630.5962200.94520.66531050.94860.7235200.96140.832231073305102550.95560.5322200.96170.65711050.95660.6201200.94680.7360

由表2可以看出，在不同均值方差情形下，當(dāng)考慮組間方差時(shí)，廣義置信區(qū)間方法的覆蓋率接近0.95.而對(duì)于未考慮組間方差的情形，廣義置信區(qū)間方法的覆蓋率與0.95的差異較大.由此可得，若數(shù)據(jù)存在組間方差時(shí)，單因素模型要優(yōu)于正態(tài)情形.

4結(jié)束語

在正態(tài)分布情況下，Chen和Tong[7]利用Bootstrap方法得出了兩個(gè)過程能力指數(shù)比較的置信區(qū)間，但是在許多樣本情況下，模型得到的覆蓋率都遠(yuǎn)低于1-α.Jose利用廣義置信區(qū)間的方法得到了此情況下過程能力指數(shù)差異的廣義置信區(qū)間，模型具有非常好的適用性.本文借用廣義置信區(qū)間的方法得到了單因素模型下兩個(gè)過程能力指數(shù)差異的樞軸量，對(duì)于不同的樣本量，模型精確度高，適用性強(qiáng).用數(shù)據(jù)結(jié)論證明，當(dāng)樣本存在組間方差時(shí)，單因素模型要優(yōu)于正態(tài)分布模型.

參考文獻(xiàn):

[1]KaneVE.Processcapabilityindices[J].JournalofQualityTechnology,1986,18: 41-51.

[2]KotzS,LovelaceCR.Processcapabilityindicesintheoryandpractice[M].London:HodderEducationPublishers,1998.

[3]陳育蕾，陳意華. 過程能力指數(shù)和性能指數(shù)的若干問題研究[J].中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào),2005，16(4):305-310.

[4]ThomasM,SebastianG,KurianKM.Generalizedconfidenceintervalsfortheprocesscapabilityindices[J].QualityandReliabilityEngineeringInternational, 2007,23(4): 471-481.

[5]JoseK,KanichukattuC.Comparisonbetweentwoprocesscapabilityindicesusinggeneralizedconfidence[J].AdvancedManufacturingTechnology,2013,69:2 793-2 798.

[6]WeerahandiS.Generalizedconfidenceintervals[J].AmericanStatisticalAssociation, 1993,88: 899-905.

[7]ChenJP,TongLI.Bootstrapconfidenceintervalofthedifferencebetweentwoprocesscapabilityindies[J].AdvancedManufacturingTechnology,2003, 21:249-256.

(編輯：劉寶江)

Comparisonbetweentwoprocesscapability

indicesinabalancedone-wayrandommodel

LUOMing1， YIN Xue-yan2

(1.SchoolofScience,ShangdongUniversityofTechnology,Zibo255049,China;

2.Library,QindaoUniversity,Qingdao266071,China)

Abstract:Processcapabilityindices(PCIs)areextensivelyusedstatisticalmeasurestoassessprocessperformanceinmanufacturingindustry.Inthispaper,confidenceintervalsforthedifferencebetweenPCIsfortwoprocessesarederivedbythegeneralizedpivotalquantitymethodinthebalancedone-wayrandom.TheindicesCpkisconsideredinthisstudy.Theperformanceoftheproposedmethodisassessedusingsimulationstudy.Thecomputationalresultsshowthatconfidenceintervalsmethodisefficientforthismodel.

Keywords:PCI;generalizedconfidenceinterval;balancedone-wayrandom

中圖分類號(hào)：O212

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2015)03-0076-03

作者簡介：羅明,男，326036922@qq.com

收稿日期：2014-09-24