吳夢(mèng)雷

輕彈簧是一種很常見(jiàn)的物理模型，它不計(jì)自身質(zhì)量，能產(chǎn)生沿軸向的拉升形變或壓縮形變，生成的彈力方向一定沿著軸線方向，且兩端彈力的大小相等，方向相反.在分析涉及輕彈簧的連接體問(wèn)題時(shí)，輕彈簧本身往往不是重點(diǎn)，關(guān)鍵是要把與之相連的物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況分析清楚，然后結(jié)合相關(guān)物理規(guī)律進(jìn)行求解.下面我們就結(jié)合一些典型例題，對(duì)此類問(wèn)題做一個(gè)歸納.

一、與輕彈簧有關(guān)的瞬時(shí)性問(wèn)題

例1 如圖1所示，吊籃P懸掛在天花板下面，與吊籃P質(zhì)量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當(dāng)懸掛吊籃的細(xì)繩燒斷的瞬間，吊籃P和物體Q的加速度大小是

（）

A.ap =aQ=g

B.ap=2g，aQ=g

C.aP =g，aQ=2g D.ap=2g，aQ=0

解析 細(xì)繩燒斷的瞬間，吊籃P在豎直方向受自身重力的作用和彈簧彈力的作用，而在細(xì)繩燒斷的瞬間彈簧的彈力并沒(méi)有變化，仍然等于物體Q的重力，所以ap=對(duì)物體Q的合力在這一瞬間仍為零，故aQ=0，答案是D.

點(diǎn)撥：分析此類問(wèn)題，一是要注意對(duì)物體進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析，二要注意彈簧彈力不能發(fā)生突變.

例2 水平面上靜止放置一個(gè)質(zhì)量為M的木箱，箱頂部和底部用細(xì)線分別拴住質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球，兩球間有一根處于拉伸狀態(tài)的輕彈簧，使兩根細(xì)線均處于拉緊狀態(tài)，如圖2所示.現(xiàn)在突然剪斷下端的細(xì)線，則從剪斷細(xì)線開(kāi)始到彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)以前，箱對(duì)地面的壓力變化情況，下列判斷正確的是

（）

A.剛剪斷細(xì)線瞬間，壓力突然變大，以后箱對(duì)地面壓力逐漸減小

B.剛剪斷細(xì)線瞬間，壓力突然變大，以后箱對(duì)地面壓力逐漸增大

C.剛剪斷細(xì)線瞬間，壓力突然變小，以后箱對(duì)地面壓力逐漸減小

D.剛剪斷細(xì)線瞬間，壓力突然變小，以后箱對(duì)地面壓力逐漸增大

解析 剛剪斷細(xì)線的瞬間，彈簧來(lái)不及形變，彈簧彈力大小暫時(shí)不變，下面的小球因斷線而產(chǎn)生向上的加速度，地面對(duì)木箱的支持力會(huì)適應(yīng)這種變化而給木箱、兩球及彈簧組成的整體提供豎直向上的加速度，發(fā)生超重現(xiàn)象，故木箱對(duì)地面的壓力會(huì)突然變大，隨后在彈簧伸長(zhǎng)量減小的過(guò)程中，向上的加速度會(huì)減小，所以木箱對(duì)地面的壓力也會(huì)減小，答案為A.

點(diǎn)撥：此問(wèn)題最好用系統(tǒng)的牛頓第二定律ΕFy=m1a1y+m2a2理解，在豎直方向上，系統(tǒng)應(yīng)滿足N-Mg-2mg=ma，式中N指系統(tǒng)所受的支持力，即地面給木箱的支持力，等號(hào)左側(cè)為系統(tǒng)在豎直方向受到的合力，等號(hào)右邊是下面小球的質(zhì)量與其加速度的乘積，a減小，故N也減小.

二、與輕彈簧有關(guān)的臨界問(wèn)題

例3 一根勁度系數(shù)為k，質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，上端固定，下端系一質(zhì)量為m的物體，有一水平板將物體托住，并使彈簧處于自然長(zhǎng)度，如圖3所示.現(xiàn)讓木板由靜止開(kāi)始以加速度a（a

解析 下降時(shí)，物體受重力mg，彈簧的拉力F= kx和平板的支持力Ⅳ作用，設(shè)物體與平板一起向下運(yùn)動(dòng)的距離為x，由牛頓第二定律

mg-kx-N=ma，得N=mg-kx-ma

當(dāng)N=0時(shí)，物體與平板分離，所以此時(shí)

點(diǎn)撥：分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程后，先列出普適性方程，再結(jié)合定性分析找到特殊情況即可，此外本題還應(yīng)注意動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)的方程的聯(lián)合運(yùn)用.

例4 如圖4，一個(gè)彈簧臺(tái)秤的秤盤(pán)質(zhì)量和彈簧質(zhì)量都可以不計(jì)，盤(pán)內(nèi)放一個(gè)物體P處于靜止?fàn)顟B(tài).P的質(zhì)量為12kg，彈簧的勁度系數(shù)k=800N/m.現(xiàn)給P施加一個(gè)豎直向上的力F，使P從靜止開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng).已知在前0.2s內(nèi)F是變化的，在0.2s以后，F(xiàn)是恒力，則F的最大值是多少？

解析 本題的關(guān)鍵在于如何理解“0.2s前F是變力，0.2s后F是恒力”，搞清楚0.2s前物體受力和0.2s以后受力屬于兩個(gè)不同的階段.

以物體P為研究對(duì)象，它在靜止時(shí)受重力G、秤盤(pán)給的支持力Ⅳ，因?yàn)槲矬w靜止，所以N-G=0①

N=kxo②

設(shè)物體向上勻加速運(yùn)動(dòng)加速度為a，此時(shí)物體P受力如圖5所示，受重力G，拉力F和支持力N'.

根據(jù)牛頓第二定律，有

F+N'-G=ma ③

當(dāng)0.2s后物體受拉力F為恒力，顯然是因?yàn)镻與盤(pán)脫離，彈簧無(wú)形變，設(shè)0～0.2s內(nèi)物體的位移為x0，又因?yàn)槲矬w由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，有④

將①②式中解得的x0=0.15m代人④，解得a=7.5m/S?

F的最小值由③可以看出，F(xiàn)最小即為N'最大，即初始時(shí)刻N(yùn)'=N=kxo

代人③得Fmin=ma+mg-kxo，解得Fmin=ma=90N

F最大值即N'=0時(shí)，F(xiàn)min=ma+mg=210N

點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵要能認(rèn)識(shí)到0.2s后物體和秤盤(pán)分開(kāi)，繼續(xù)以同樣的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，而在分離前雖然拉力和彈簧彈力的大小在變化，但物體的合外力的大小是不變的，這樣才能全過(guò)程做勻加速直線運(yùn)動(dòng).

三、與輕彈簧有關(guān)的斜面問(wèn)題

例5 如圖6，在傾角為θ的光滑斜面上，有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連接的物體A、B.它們的質(zhì)量分別為mA、mB，彈簧的勁度系數(shù)為k，C為一固定擋板.系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)開(kāi)始用一恒力F沿斜面方向拉物體A，使之沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，若重力加速度為g，求：

（1）物體B剛離開(kāi)C時(shí)，物體A的加速度a：

（2）從開(kāi)始到物體B剛要離開(kāi)C時(shí)，物體A的位移d.

解析 （1）系統(tǒng)靜止時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)，分析A物體受力可知F1=mAgsinθ，F(xiàn)1為此時(shí)彈簧彈力，設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量為x1

在恒力作用下，A向上加速運(yùn)動(dòng)，彈簧由壓縮狀態(tài)逐漸變?yōu)樯扉L(zhǎng)狀態(tài).當(dāng)B剛要離開(kāi)C時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為x2，分析B的受力有

設(shè)此時(shí)A的加速度為a，由牛頓第二定律有

（2）4與彈簧是連在一起的，彈簧長(zhǎng)度的形變量即A上移的位移，故有d=x1+X2，

點(diǎn)撥：靈活選取研究對(duì)象，用隔離的方法逐一考慮，是連接體問(wèn)題最常用的解法.

例6 如圖7，在小車的傾角為30°的光滑斜面上，用勁度系數(shù)k=500N/m的彈簧連接一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的物體，g=10m/s?.

（1）當(dāng)小車以的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，m與斜面保持相對(duì)靜止，求彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度.

（2）若使物體m對(duì)斜面無(wú)壓力，小車的加速度至少多大？

（3）若使彈簧保持原長(zhǎng)，小車的加速度大小、方向如何？

解析 （1）對(duì)小滑塊受力分析，受重力、支持力和拉力，如圖8所示，加速度水平向右，故合力水平向右，將各個(gè)力和加速度都沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解，由牛頓第二定律，得到

F-mgsin30°=macos30°

解得F=mgsin30°+macos30°=6.5N

根據(jù)胡克定律，有F= kx，代人數(shù)據(jù)得到x=0.013m

（2）小滑塊對(duì)斜面體沒(méi)有壓力，則斜面體對(duì)小滑塊也沒(méi)有支持力，小滑塊受到重力和拉力，物體的加速度水平向右，故合力水平向右，運(yùn)用平行四邊形定則，如圖9所示.

（3）彈簧保持原長(zhǎng)，彈力為零，小滑塊受到重力和支持力，物體沿水平方向運(yùn)動(dòng)，合力水平向左，加速度水平向左，運(yùn)用平行四邊形定則，如圖10所示。