周鵬

解決牛頓第二定律的相關問題的關鍵在于要理解并掌握牛頓第二定律的“四同一相對”的特點，即“同時、同體、同向、同一單位制和相對于慣性系”.其中“同時”是指當合外力改變時，與之相對應的加速度一定是同時改變.因為外力可以突變，所以加速度也存在突變問題.

而對于變化類問題，必須先搞清楚有哪些量瞬時不變，所謂“以不變應萬變”.在我們當前的知識背景下，不會突變的物理量有：“速度”和“兩端均連有質點的彈簧的彈力”（這主要是因為在“突變”的前提下，變化的時間△t可以認為等于0，從而有△v=a△t=0；彈簧的彈力跟形變量成正比，而形變量改變時，與彈簧相連的質點必須產(chǎn)生相應的位移，也需要時間）.而對于我們常見的輕繩或輕桿而言，一般都是處理成剛體模型，即忽略它們原來的一點點微小的形變，所以它們恢復形變則可以認為不需要時間，也就是說輕繩或輕桿中的彈力可以突變.當然，如果將輕彈簧從中間位置剪斷，由于剪斷處沒有質量，則原來形變的彈簧將產(chǎn)生無限大的加速度，使形變瞬間恢復，所以，一旦彈簧的一端沒有質點相連，其彈力也認為可以瞬間減為零.在了解了哪些物理量不能突變后，接下來的處理過程就跟正常用牛頓定律解題時一樣了，先進行突變前后的受力分析，找到突變后瞬時的合外力，即可利用牛頓第二定律求得瞬時加速度.下面以幾個典型例題加以說明.

例1 如圖1所示，物體甲、乙質量均為m，彈簧和懸線的質量可以忽略不計.當懸線被燒斷的瞬間，甲、乙的加速度數(shù)值應是下列哪一種情況

（）

A.甲是0，乙是g

B.甲是g，乙是g

C.甲是0，乙是0

D.甲是g/2，乙是g

解析 這是一道最基本的突圖1變類問題.懸線被燒斷前，彈簧的彈力F彈=2mg，與總重力平衡.懸線被燒斷瞬時，兩物體所受重力不變，彈簧的彈力不能突變，而懸線的拉力立即變?yōu)榱悖?，由牛頓第二定律可知：a乙=mg/m=g，向下；a甲=（F彈-mg）/m =g，向上.即選項B正確.

例2 如圖2所示，用兩根橡皮繩懸掛一質量為m的小球，BO水平，AO與豎直方向成θ角，現(xiàn)將BO剪斷，剪斷瞬間，小球的加速度是多少？若AO為輕繩，小球的加速度又是多少？

解析 本題最初是上海市的一道高考題，解題的關鍵在于橡皮繩形變明顯，形變需要時間，所以剪斷BO的瞬間可認為其形變量和彈力均不發(fā)生變化；輕繩形變極小，形變發(fā)生變化幾乎不需時間，所以剪斷BO的瞬間其形變量或彈力均會發(fā)生明顯變化.

（1）若AO為橡皮繩，剪斷BO前，小球受力情況如圖2所示.

由平衡條件可得：mg與FA的合力F跟F等值反向，即F=FB=mgtanθ，方向水平向右.

剪斷BO瞬間，F(xiàn)B消失，而mg不變，F(xiàn)A亦不能突變，即mg和FA的大小、方向都沒有變化，故小球在剪斷BO瞬時所受的合外力與剪斷BO前完全相同.所以由牛頓第二定律得：a=F/m=gtanθ，方向水平向右.這也就意味著小球在一個極短的時間內將先沿水平方向加速運動，然后因FA減小而逐漸向下偏.

（2）若AO為輕繩，則在剪斷BO的瞬時，不僅FB消失，并且FA的大小也要瞬間發(fā)生變化，此時我們就無法再根據(jù)剪斷前的受力尋找剪斷后的合力，所以應改變思路，在剪斷后小球的運動情況上找突破口.

因為剪斷BO后，小球沿圓弧左右擺動，A點為圓心，O點是擺動的最高點，所以可知剪斷BO后，小球的瞬時加速度沿O點的切線方向向下.

剪斷OB瞬時，在最高點O，小球的重力沿AO方向的分力mgcos0與此時刻的FA相互平衡（此時無速度，不需要向心力，所以沿AO方向小球受力平衡），重力沿O點切線方向的分力mgsinθ就成了小球的合外力.

由牛頓第二定律可得：a=F合/m=gsinθ，方向沿O點切線方向向右下方.

可見，這里需要注意的是：瞬時性問題的處理思路一般有兩個方向：若除突變因素本身外無其他力發(fā)生突變，可根據(jù)原來的穩(wěn)定狀態(tài)分析瞬間狀態(tài)；若除突變因素本身外還有其他力發(fā)生突變，只能通過后來的運動過程推測瞬間狀態(tài).

在以上兩例中，質點的受力情況和運動情況都比較明確，相對而言也容易處理，在有些情況下，物體的受力情況并不明確，還需要先進行假設和討論.

例3 如圖3所示，木塊A、B用輕彈簧相連，放在用細繩懸掛的木箱C內，都處于靜止狀態(tài)，它們的質量分別為m、2m和3m.當剪斷細繩的瞬間，求各物體的加速度大小及其方向？

解析從系統(tǒng)的自由端開始分析.對木塊A，在細繩剪斷前受重力和彈簧的彈力而平衡，在細繩剪斷后瞬間重力不變，而彈簧的彈力又不能突變，所以仍受力平衡，從而aA=0.

本題的難點在于木塊B、C在細繩剪斷后的受力和運動情況分析，因為直觀上較難判斷B、C在細繩剪斷后是否會分開.所以，在這里要先作一個假設，假設B、C在細繩剪斷后會分開，即剪斷后FBC=0.（當然，也可以假設不會分開，即剪斷后FBC>0）

由假設可知，剪斷后FC合=mc9= mcac，得ac=g，方向豎直向下；

FB合=mBG+F彈=mAg+mBg=3mg=2maB，得aB=1.5g，方向豎直向下；

而B、C分開的條件是ac>aB，這與上述結果矛盾，所以以上假設不成立.也就是說，細繩剪斷后，B、C不會分開，而是作為一個整體一起向下加速運動.

則對B、C整體，受總重力mBg+mc9=5mg和彈簧的壓力F彈=mAg=mg，即FBc合=6mg，由牛頓第二定律得，加速度：aB=aC=FBC合/5m=1.2g.

這個結果才是合理的，因為B、C間存在彈力，所以木塊B的加速度1.2g應當比B單獨運動時的加速度1.5g要小，而木塊C的加速度1.2g應當比C單獨運動時的加速度g要大.