房成德，韋增欣，張夢穎

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣西南寧530004)

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基于CVaR的典型交易成本的投資組合模型

房成德，韋增欣，張夢穎

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣西南寧530004)

摘要：投資者利用有限的資本在預(yù)期收益的條件下來控制風險是投資目的之一，因此假設(shè)投資者是風險厭惡型，用CVaR作為測量投資組合風險的方法。在成本約束條件下，以CVaR為目標函數(shù)，建立了帶有典型交易成本函數(shù)的投資組合模型,給出了求解該模型的算法步驟。選取我國股票市場上的歷史數(shù)據(jù)進行了實證分析，驗證該模型的有效性。

關(guān)鍵詞：投資組合；交易成本函數(shù)；CVaR；最優(yōu)化模型

0引言

進入20世紀末以來，一些大的金融機構(gòu)，如巴林銀行、MGRM都因為對金融資產(chǎn)的風險管理和監(jiān)控處理不當遭受巨額損失甚至破產(chǎn)，特別是2008年美國發(fā)生次貸危機以來。因此，如何處理市場上出現(xiàn)的風險，較準確地計算風險并且規(guī)避風險，建立完整的風險體系，一直是金融機構(gòu)及其監(jiān)管當局研究的重點之一。

自從1952年Markowitz[1]提出了均值—方差資產(chǎn)組合模型以來,越來越多的學(xué)者對投資組合理論展開了深入的研究，早期的投資組合理論的研究大多集中在離散時間條件下的各種單期和多期投資組合問題，自從Merton[2]首次提出連續(xù)時間條件下的投資組合問題以來，隨著理論和計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，連續(xù)時間條件下的投資組合問題成為了研究熱點。投資組合理論大致發(fā)展為：流動性的投資組合理論[3]、基于VaR的投資組合理論[4]、行為投資組合理論[5]和基于非效用的投資組合理論[6]。雖然現(xiàn)代投資組合理論近年來得到了很大的發(fā)展，但是如何度量投資組合風險是本文研究的重點之一。在Markowitz的均值—方差模型中，方差作為度量風險的方法存在一些缺陷：模型的計算量大；方差不僅刻畫了上半方差也反映了下半方差，而投資者最關(guān)心的風險是負收益率的波動，并且方差只是刻畫了收益的波動而沒有反映出投資金額的損失多少。為此，1996年Morgan[7]提出了VaR(Value-at-Risk) ,它表示在一定的置信水平下，投資組合在未來特定一段時間內(nèi)的最大可能損失。VaR是一個被廣泛認可并有著重要應(yīng)用的風險度量指標，雖然具有很多優(yōu)點，但是VaR不能度量超過本身的損失，且不滿足次可加性。針對VaR的不足，Rockefellar等[8]在2000年提出了CVaR(Conditional value-at-risk),它表示在固定的投資期限和置信水平下，某一資產(chǎn)組合面臨的損失超過VaR的平均值,而且Pflug[9]證明了CVaR滿足次可加性，是一致風險度量。因此，CVaR成為一種有效的風險度量，已經(jīng)被應(yīng)用于解決金融市場風險管理問題。

國內(nèi)外學(xué)者對成本影響投資組合模型的影響進行了大量研究，Perold等[10]將線性交易成本函數(shù)引入到投資組合模型。Dantgiz等[11]首次在投資組合模型中引入了非線性交易成本函數(shù)，國內(nèi)學(xué)者王春峰等[12]首次將典型交易成本函數(shù)引入投資組合管理模型,后來，阿春香等[13]又探究了典型交易成本下的相關(guān)機會模型。

筆者在文獻[12]的基礎(chǔ)上改進了典型交易成本函數(shù)，建立了基于CVaR的含有改進的典型交易成本函數(shù)的投資組合模型[12-14]，由于建立的模型是非線性模型，傳統(tǒng)的算法很難求解。為了更好地求解此模型，筆者考慮用雜草算法來求解新建的模型。選取我國股票市場上歷史數(shù)據(jù)來進行一組數(shù)值實驗，通過對數(shù)值試驗結(jié)果的討論分析，驗證新模型的可行性。

1CVaR方法基本原理

設(shè)f(X, Y):Rm×Rn→R表示一個投資組合的損失函數(shù)，其中X為投資決策向量，Y為收益率隨機向量。那么當X固定時，f(X, Y)是關(guān)于Y的函數(shù)，假設(shè)Y為連續(xù)型隨機變量，Y的概率密度函數(shù)為P(Y)而且連續(xù)，則當Y的分布已知時，損失函數(shù)f(X, Y)為依賴X的隨機變量，則它不超過某一持有水平α的概率為:

φ(X,α)=∫f(X,Y)≤αP(Y)dY。

(1)

顯然φ(X,α)是關(guān)于α的非增且右連續(xù)函數(shù)，假設(shè)用β表示置信水平(0≤β≤1)，則以β為置信水平的關(guān)于X的VaR和CVaR可表示為:

VaRβ(X)=min{α∈R:φ(X,α)≥β}。

(2)

根據(jù)CVaR的定義：CVaR是指在給定期限和置信水平下，某一資產(chǎn)組合面臨的損失超過VaR的平均損失，則投資組合的CVaR可以表示為：

CVaRβ(X)=E{f(X,Y)≥VaRβ(X)}=(1-β)-1∫f(X,Y)≥VaRβ(X)f(X,Y)P(Y)dY。

(3)

從CVaR的計算可以看到，CVaR的計算里面包含VaR的函數(shù)，很難通過定義來直接計算和優(yōu)化CVaR。因此，Rockafellar構(gòu)造了輔助函數(shù)Fβ(X,α)將CVaR和VaR聯(lián)系起來[8],輔助函數(shù)表示為：

Fβ(X,α)=α+(1-β)-1∫Y∈Rn[f(X,Y)-α]+P(Y)dY,

(4)

其中：[f(x,y)-α]+=max{f(x,y)-α,0} 此時CVaRβ(X)=minFβ(X,α)。

(5)

2基于CVaR的含有改進的典型交易成本函數(shù)的投資組合模型

假設(shè)投資者投資市場上n種風險資產(chǎn)，且投資者對這n種投資是自由的，其投資的目的是追求收益的最大，設(shè)X=(x1,x2,…,xn)為投資者對這n種風險資產(chǎn)的決策頭寸，風險資產(chǎn)的期望收益率為R=(r1,r2,…,rn)，此時這里風險資產(chǎn)的組合收益率可以表示為：

(6)

在投資組合管理中，為了實現(xiàn)既定的投資目標，管理者需要根據(jù)市場的變化不斷調(diào)整現(xiàn)有的投資組合，即要進行資產(chǎn)交易，假設(shè)每次交易時，都需要付出相應(yīng)的交易成本。通常對實際交易成本的描述具有復(fù)雜的數(shù)學(xué)形式，因此經(jīng)典Markowitz投資組合管理模型忽略了交易成本，而實際上付出成本對獲得的收益會產(chǎn)生很大的影響的，所以忽略交易成本往往會導(dǎo)致無效的投資組合。國內(nèi)外學(xué)者對于含有交易費用的投資組合模型[10-11]進行了細致的研究，但是現(xiàn)實市場上的交易費用是復(fù)雜變化的，很難用上述研究中假定的交易成本來表示實際交易成本。國內(nèi)學(xué)者王春峰等首次將典型交易成本函數(shù)引入投資組合管理模型[12,14]中。下面先對典型交易成本函數(shù)進行描述。

圖1　典型單位交易成本函數(shù)Fig.1　Typical unit transaction cost function

通常實際交易成本函數(shù)表現(xiàn)為資產(chǎn)交易量具有兩個拐點的非凸非凹的函數(shù)(如圖1所示)，稱之為“典型交易成本函數(shù)”。當資產(chǎn)交易額較小時，由于交易效率低下，所以單位交易成本很大；隨著資產(chǎn)交易額的上升，單位交易成本將逐漸減小。故在達到A點之前，交易成本函數(shù)C(X)是凹型的。然而當越過A點后單位交易成本已經(jīng)最優(yōu)，于是單位交易成本將保持不變，或者說交易成本函數(shù)C(X)將隨著資產(chǎn)交易量的增加呈線性增加，直到到達B點，即交易函數(shù)AB段是線性的。如果資產(chǎn)交易額繼續(xù)增加，越過B點后，由于股票資產(chǎn)供給不足等因素使得對應(yīng)的單位交易成本逐漸變大，所以交易成本函數(shù)C(X)在越過B點之后將變成凸的。則給出此時典型交易成本函數(shù)的表達式如下，記每次交易時的交易成本函數(shù)為C(X)，則有：

C(X)=(c1(x1),c2(x2),…,cn(xn)),

(7)

(8)

然而在實際的金融市場上，交易成本函數(shù)很難會出現(xiàn)線性增加的情況。因為隨著資產(chǎn)交易量的增加，隨之而來的宣傳費，安全維護費，大型服務(wù)器建設(shè)費會相應(yīng)的增加，這些因素都對AB段的單位交易成本函數(shù)產(chǎn)生很大的影響，所以也應(yīng)將AB段視為凸的，但是又要考慮到單位成本增加的速度要弱于超過B點以后的部分(如圖2所示)。因此本文給出如下改進后的典型交易成本函數(shù)的表達式如下，記每次交易時的交易成本函數(shù)為C(X)，則有：

C(X)=(c1(x1),c2(x2),…,cn(xn)),

(9)

(10)

圖2　改進的典型單位交易成本函數(shù)Fig.2　Improved typical unit transaction cost function

其中，k表示二次項系數(shù)，h表示一次項系數(shù)，s表示截距，ρ為大于0的參數(shù)。

綜上，得到基于CVaR的含有改進的典型交易成本函數(shù)的投資組合模型如下：

(11)

其中，M表示預(yù)期的最低收益率，xi≥0表示不允許賣空，ci(xi)即為式(10)中的交易成本函數(shù)。

3求解模型的算法設(shè)計

由于新建模型中引入了改進的典型交易成本函數(shù)，考慮到模型的非線性，一般的算法很難求解該模型。為了更好的求解此模型，本文引入了雜草算法來求解。

雜草算法(invasive weed optimization，IWO)是Mehrabian等[15]在2006年最早提出的。 雜草算法是一種受雜草啟發(fā)而提出的，基于種群的數(shù)值優(yōu)化計算方法。IWO算法具有算法結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)少、魯棒性強、收斂快等特點，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域,IWO算法是一種受雜草啟發(fā)而提出的新型智能優(yōu)化算法，其執(zhí)行過程是模擬雜草入侵的過程。IWO算法的基本流程包含以下步驟：

Step 1: 種群初始化。IWO算法是一種基于種群的數(shù)值優(yōu)化計算方法，在優(yōu)化迭代之前，需要確定初始雜草種群規(guī)模N和最大雜草種群規(guī)模Nmax,問題維數(shù)D,最大迭代次數(shù)Kmax,然后隨機產(chǎn)生N個雜草個體作為初始解。

Step 2: 生長繁殖。每個雜草根據(jù)適應(yīng)性(繁殖能力)產(chǎn)生種子，適應(yīng)度好的個體具有較強的繁殖能力，適應(yīng)度差的個體繁殖能力也較差。雜草個體q產(chǎn)生的種子個數(shù)公式為:

(12)

其中，f為當前雜草個體q的適應(yīng)度值，fmax為當前雜草個體q的最大適應(yīng)度值，fmin為當前雜草個體q的最小適應(yīng)度值，smax,smin分別為一個雜草能產(chǎn)生的最大和最小種子個數(shù)，為可調(diào)參數(shù)。

Step 3: 子代分布。以父代為均值，子代雜草個體以正態(tài)分布方式擴散于父代周圍。迭代過程中，每一代的標準差σ按下式進行變化：

(13)

其中，σK為當前的標準差值，K為當前的進化代數(shù)，σinitial,σfinal分別為起始和最終的標準差值，p為非線性調(diào)和指數(shù)，一般情況下取p=3。

Step 4: 生存競爭。在雜草進化過程中，當雜草個體達到最大雜草種群規(guī)模時，則對所有雜草個體按照適應(yīng)度值大小進行排序，取適應(yīng)度值最優(yōu)的Nmax個雜草個體，淘汰其余的個體，并將選取的Nmax個雜草個體返回step 2進行新一輪進化。

4數(shù)值算例

本文建立了一種基于CVaR的含有改進的典型交易成本函數(shù)的投資組合模型，并且給出了求解該模型的算法即雜草算法。為了驗證新模型和算法的可行性和有效性，現(xiàn)選取市場上10只股票作為風險資產(chǎn)，即n=10，這10只股票分別為：白云機場(600004)、皖通高速(600012)、丹化科技(600844)、天津松江(600225)、日照港(600017)、傳化股份(002010)、賽象科技(002337)、惠而浦(600983)、航民股份(600987)、麥迪電氣(300341)。利用Matlab軟件對數(shù)據(jù)進行處理，通過設(shè)置不同的預(yù)期收益率M,得到10只股票的投資權(quán)重和風險值,如表1。

表1　10只股票的預(yù)期收益、風險與投資比例

從表1可知：

①投資組合的風險CVaR與投資組合預(yù)期收益成正相關(guān)，即投資組合的風險值CVaR隨預(yù)期收益的增大而增大。當預(yù)期收益從0.07增加到0.08時，投資組合風險值CVaR從0.079 5增加到0.096 7；

②若投資者想要獲得更高的預(yù)期收益，則需要增加對賽象科技(002337)和惠而浦(600983)的投資比重，由此也將導(dǎo)致資產(chǎn)組合的高風險。因此，投資者應(yīng)該綜合考慮自身的收益和風險承受的能力，設(shè)定符合自己的預(yù)期收益值。

③在一定的預(yù)期收益內(nèi)，隨著預(yù)期收益的變化，投資組合的風險幾乎不發(fā)生變化，所以投資者需要設(shè)定一個最低的收益水平，在保證最低收益的基礎(chǔ)上，優(yōu)化資產(chǎn)配置來獲得更大的收益。

5結(jié)語

本文是在典型交易成本函數(shù)的投資組合模型的基礎(chǔ)上，改進了典型交易成本函數(shù)，建立了基于CVaR的含有改進的典型交易成本函數(shù)的投資組合模型，并給出了求解此非線性模型的雜草算法步驟，最后進行了實證研究.通過研究發(fā)現(xiàn)新建的模型可以說明投資組合收益與風險之間的關(guān)系，為投資者決策提供了重要依據(jù)。

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(責任編輯梁碧芬)

The portfolio model with typical transaction cost based on CVaR

FANG Cheng-de， WEI Zhen-xin, ZHANG Meng-ying

(College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning 530004,China)

Abstract:The use of limited capital to control risk under the expected return condition is one of the purpose of investment, assuming that investors are risk averse. CVaR was used as a method to measure a portfolio risk.A portfolio model with typical transaction cost was constructed under the cost constraint condition and the CVaR as an objective function, and the algorithm steps of solving the model are provided.The empirical analysis of the historical data of China’s stock market is carried out to verify the validity of the model.

Key words:investment portfolio ; transaction cost function; CVaR; optimization model

中圖分類號：F837.12;F835;F224

文獻標識碼：A

文章編號：1001-7445(2015)06-1611-06

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2015.1611

通訊作者：韋增欣(1962—)，男，廣西武鳴人，廣西大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師；E-mail:zxwei@gxu.edu.cn。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11161003)

收稿日期：2015-09-02；

修訂日期：2015-10-03