黃敢基，羅世賢，韋琳娜，陳武華

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院， 廣西南寧530004)

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一類單邊Lipschitz系統(tǒng)的脈沖觀測器設計

黃敢基，羅世賢，韋琳娜，陳武華

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院， 廣西南寧530004)

摘要：為了研究一類單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)的脈沖觀測器設計方法，構(gòu)造了與脈沖發(fā)生時間序列相關(guān)的時變Laypunov函數(shù)分析相應觀測誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)和單邊Lipschitz條件，得到了的觀測器指數(shù)收斂的充分條件和觀測器增益矩陣的求解方法。研究結(jié)果表明：時變Laypunov函數(shù)能有效處理脈沖發(fā)生對誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，而基于單邊Lipschitz 條件設計的觀測器比基于傳統(tǒng)的Lipschitz 條件設計的觀測器具有更廣的應用范圍。

關(guān)鍵詞：單邊Lipschitz系統(tǒng)；時變Lyapunov函數(shù)；脈沖觀測器；指數(shù)穩(wěn)定性

狀態(tài)反饋控制在系統(tǒng)的各種綜合問題中具有重要的作用，而觀測器設計正是研究系統(tǒng)狀態(tài)估計從而實現(xiàn)狀態(tài)反饋的一個重要的研究課題。1973年，Thau[1]對一類Lipschitz非線性系統(tǒng)設計了狀態(tài)觀測器，由此提出了非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器設計問題。此后，眾多學者對非線性系統(tǒng)觀測器的設計方法進行了研究，主要采用的方法有類Lyapunov法[1]、坐標變換法[2]、擴展的Luenberger觀測器設計方法[3]和擴展的Kalman濾波器方法[4]。近幾年來，非線性系統(tǒng)的觀測器理論研究的深度和廣度得到了進一步的發(fā)展和完善,研究的對象涵蓋了不確定系統(tǒng)、時滯系統(tǒng)、模糊系統(tǒng)及切換系統(tǒng)等[5-8]。在眾多的非線性系統(tǒng)中，Lipschitz非線性系統(tǒng)的觀測器設計問題一直是控制理論界的研究熱點，如文獻[9]研究了一類Lipschitz非線性系統(tǒng)的H∞觀測器設計問題；文獻[10]對具有不確定性的Lipschitz混沌系統(tǒng)設計了魯棒區(qū)間觀測器；文獻[11]研究了Lipschitz非線性和系統(tǒng)輸出相關(guān)系統(tǒng)的滑模觀測器設計方法。文獻[12]則討論了一類Lipschitz非線性系統(tǒng)的自適應觀測器設計問題，分別建立了系統(tǒng)含有和不含有未知參數(shù)時相應觀測誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。

一方面，在前述的非線性系統(tǒng)觀測器研究成果中，都是假設系統(tǒng)輸出可以連續(xù)測量的，但許多實際系統(tǒng)的輸出僅在某些離散時刻可以量測，這使得采用連續(xù)時間更新的傳統(tǒng)觀測器設計方法不再適用。2007年, Raff等[13]提出了只需在離散時間更新狀態(tài)的脈沖觀測器。由于脈沖觀測器相比于傳統(tǒng)的觀測器不僅能更有效地利用帶寬，而且還能利用其離散信號的特點增加通信系統(tǒng)的保密性。因此，脈沖觀測器一經(jīng)提出便得到了一些學者的關(guān)注，如文獻[14]研究了一類非線性系統(tǒng)的自適應脈沖觀測器設計問題；文獻[15]采用時變Lyapunov函數(shù)方法對一類具有狀態(tài)時滯的Lipschitz非線性系統(tǒng)設計了脈沖觀測器。而文獻[16]則基于脈沖觀測器給出了一類不確定線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定方法。雖然脈沖觀測器取得了一些研究成果，但相關(guān)的理論和方法還有許多值得進一步深入研究和完善的地方。另一方面，基于傳統(tǒng)Lipschitz條件的觀測器設計方法一般只適用于較小的Lipschitz常數(shù)[17]，近年來出現(xiàn)了一些基于單邊Lipschitz條件[18]設計觀測器的方法，所得結(jié)果相比由一般Lipschitz條件得到的結(jié)果具有更廣的適用范圍[19-20]。目前，對單邊Lipschitz系統(tǒng)設計觀測器的研究文獻還相對較少，而關(guān)于單邊Lipschitz系統(tǒng)脈沖觀測器的研究則更少有報道。

基于上述討論，本文擬對一類滿足單邊Lipschitz條件的系統(tǒng)設計脈沖觀測器。根據(jù)脈沖觀測器具有連續(xù)和離散模態(tài)混合的特點，采用分段連續(xù)的時變Laypunov函數(shù)分析相應觀測誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用凸組合技術(shù)和系統(tǒng)的單邊Lipschitz條件，得到了觀測誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的線性矩陣不等式條件和脈沖觀測器設計方法。進而給出兩個實例的分析和仿真說明了本文方法的可行性和優(yōu)越性。

1問題描述

在本文中，假設矩陣都具有適當?shù)木S數(shù)，矩陣M>(≥,<,≤)0分別表示M是一個實對稱的正定(半正定，負定，半負定)矩陣。M的最大和最小特征值分別用λmax(M)和λmin(M)表示。單位矩陣用符號I表示?！ぁ硎鞠蛄康臍W氏范數(shù)。N為正整數(shù)集，N0=N∪{0}。

考慮如下的非線性系統(tǒng)：

(1)

其中x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)；u(t)∈Rm為可控輸入；y(t)∈Rp為可測量的輸出； A,B,C,G,H為常值矩陣。假設矩陣對(A,B)為能控，(A,C)為能觀測的。非線性函數(shù)f(Hx(t))滿足以下條件。

①存在ρ∈R，使得對任意的x1,x2∈Rn，成立:

〈f(Hx1)-f(Hx2),H(x1-x2)〉≤ρ‖H(x1-x2)‖2。

(2)

②存在σ,φ∈R，使得對任意的x1,x2∈Rn，成立:

(f(Hx1)-f(Hx2))T(f(Hx1)-f(Hx2))≤σ‖H(x1-x2)‖2+

φ〈H(x1-x2),f(Hx1)-f(Hx2)〉。

(3)

注1：條件①稱為單邊Lipschitz條件，其中ρ稱為單邊利普希茨常數(shù)；條件②稱為二次型內(nèi)部有界條件。任何滿足Lipschitz條件的函數(shù)也必定滿足單邊Lipschitz條件和二次型內(nèi)部有界條件，但反之未必成立。

對系統(tǒng)(1)設計脈沖觀測器如下:

(4)

S(τ1,τ2)?{{tk};τ1≤tk-tk-1≤τ2,k∈N0},

(5)

下面先給出在S(τ1,τ2)上系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的定義。

定義1對給定的初始時刻t0和脈沖序列S(τ1,τ2)，若存在M>0，γ>0，使得:

‖e(t)‖≤M‖e(t0)‖e-γ(t-t0),?t≥t0,

對任意滿足條件①、②的函數(shù)f(Hx(t))成立，則稱系統(tǒng)(5) 在S(τ1,τ2)上全局指數(shù)穩(wěn)定。

2主要結(jié)果

針對誤差系統(tǒng)(5)具有連續(xù)和離散混合的動態(tài)特征，本文將構(gòu)造與脈沖序列相關(guān)的時變Lyapunov函數(shù)分析系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性。為此，先定義如下的兩個時變函數(shù)ρ1(t),ρ0(t):[t0,+∞)→R+：

(6)

(7)

(8)

進一步，定義一個分段連續(xù)的時變的Laypunov函數(shù)如下：

V(t,e(t))=μρ1(t)eT(t)P(t)e(t)，t∈[tk,tk+1)，

(9)

定理1考慮具有脈沖序列集{tk}∈S(τ1,τ2)的觀測誤差系統(tǒng)(5)。給定正標量r，μ∈(0,1)和滿足(2)和(3)式的ρ,σ,φ∈R，如果存在矩陣L∈Rn×p，正定矩陣P1,P2∈Rn×n和標量εij>0，ηij>0,i,j=1,2，使得下面的矩陣不等式成立：

(10)

(11)

其中:

則誤差系統(tǒng)(5)在S(τ1,τ2)上全局指數(shù)穩(wěn)定。

證明記ρi?ρi(t),i=0,1,2，則由ρi的定義和矩陣不等式(10)的可行性，有:

上式等價于:

(12)

其中:

Φ(t)=(2r+ρ0(t)lnμ)P(t)+P(t)A+ATP(t)+ρ0(t)(P1-P2)+(ε(t)ρ+η(t)σ)HTH，

選取Laypunov函數(shù)如式(9)所定義，并記V(t)?V(t,e(t))，則當t∈[tk,tk+1)時，有:

2μρ1eT(t)P(t)GΔf(t)-2rV(t)。

(13)

另由式(2)，有ρeT(t)HTHe(t)-eT(t)HTΔf(t)≥0。從而，對任意μ∈(0,1)及εij>0，有:

μρ1ε(t)[ρeT(t)HTHe(t)-eT(t)HTΔf(t)]≥0。

(14)

類似地，對任意μ∈(0,1)及ηij>0，由式(3)有：

μρ1η(t)[σeT(t)HTHe(t)+φeT(t)HTΔf(t)-ΔfT(t)Δf(t)]≥0。

(15)

將式(14)和式(15)加到式(13)，得：

(16)

V(t)≤V(tk)e-2r(t-tk)t∈[tk,tk+1)。

(17)

另一方面，由式(11)的可行性并利用Schur補，有:

(I-LC)TP2(I-LC)≤μP1，

(18)

從而，在脈沖發(fā)生時間點t=tk處，有:

(19)

對任意給定的t≥t0，必定存在k∈N0，使得t∈[tk,tk+1)。聯(lián)合式(17)和式(19)，可得：

V(tk-1)exp(-2r(t-tk-1))≤…≤V(t0)exp(-2r(t-t0))。

(20)

另由V(t)定義知，對?t≥t0有：

μλ1‖e(t)‖2≤V(t)≤λ2‖e(t)‖2，

(21)

其中，λ1=min{λmin(Pi);i=1,2}，λ2=max{λmax(Pi);i=1,2}。從而由式(20)及式(21)得：

(22)

即觀測誤差系統(tǒng)(5)全局指數(shù)穩(wěn)定。

注2：誤差系統(tǒng)(5)穩(wěn)定性條件的推導基于時變Laypunov函數(shù)(9)和系統(tǒng)的單邊Lipschitz條件(2)和(3)。一方面，由于時變Laypunov函數(shù)包含了脈沖發(fā)生時刻，這有助于充分利用混雜系統(tǒng)(5)的信息，能得到具有更少保守性的結(jié)果。另一方面，如注1如述，單邊Lipschitz條件包含了傳統(tǒng)的Lipschitz條件，故定理1所得結(jié)果會具有更廣的適用范圍。

采用線性矩陣不等式技術(shù)將式(11)線性化，可得觀測器增益矩陣L的求解方法。

(23)

注3：定理1和定理2中的參數(shù)μ的選取依賴于被觀測系統(tǒng)的參數(shù)設置。注意到對任意給定的μ∈(0,1)和r>0，不等式(10)和(23)為線性矩陣不等式，從而可由matlab線性矩陣不等式工具箱求解。因此，μ可通過一維搜索確定，即給定r>0，在μ∈(0,1)上利用簡單的一維搜索確定使得線性矩陣不等式(10)和(23)存在可行解的參數(shù)值μ。

特殊地，當脈沖發(fā)生間隔相等，即τ1=τ2=τ時，容易由定理2得到下面的推論1。

(24)

其中:

另外，當選取P1=P2=P時，也容易由定理2得到下面的推論2。

(25)

(26)

其中：

證明在定理2的證明中選取Pi=P，εij=εi，ηij=ηi，i=1,2可得推論2成立。

3實例分析與仿真

下面給出兩個例子的觀測器設計和仿真用以說明了本文所提方法的可行性。

例1考慮一個機械手臂模型，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可用式(1)表示，其中:

GT=[000-3.33], H=[0010],f(x)=sinx。

易知f(x)滿足Lipschitz條件，其Lipschitz常數(shù)為lf=1。而當選取ρ=1,σ=1,φ=0時，可以驗證f(x)滿足條件①和②，故可以運用定理2設計例1的脈沖觀測器。假設脈沖序列{tk}∈S(0.001,0.200)，取μ=0.963，用matlab軟件求解矩陣不等式(10)和式(23)，得相應的觀測器反饋增益矩陣為：

例2考慮一個輸入為零的非線性系統(tǒng)(1)，其中:

由文獻[17]的討論知，例2的系統(tǒng)為單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)，其單邊Lipschitz常數(shù)可取為ρ=0。且使該系統(tǒng)滿足條件(b)的σ和φ的取值范圍為:

圖1{tk}∈S(0.001,0.2)時，x1(t)及x^1(t)變化情況

Fig.1x1(t) andx^1(t) in case {tk}∈S(0.001,0.2)

圖2{tk}∈S(0.001,0.2)時，x2(t)及x^2(t)變化情況

Fig.2x2(t) andx^2(t) in case {tk}∈S(0.001,0.2)

圖4{tk}∈S(0.001,0.2)時，x4(t)及x^4(t)變化情況

Fig.4x4(t) andx^4(t) in case {tk}∈S(0.001,0.2)

圖6{tk}∈S(0.001,0.25)時，x1(t)及x^1(t)變化情況

Fig.6x1(t) andx^1(t) in case {tk}∈S(0.001,0.25)

圖8{tk}∈S(0.001,0.25)時誤差范數(shù)‖e(t)‖

Fig.8Norm‖e(t)‖ in case {tk}∈S(0.001,0.25)

4結(jié)語

本文采用Laypunov函數(shù)方法結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)和凸組合技術(shù)對一類單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)設計了脈沖觀測器。理論分析和仿真結(jié)果表明，時變Laypunov函數(shù)能更好地刻畫脈沖觀測器所具有連續(xù)和離散混雜的動態(tài)特征，而基于單邊Lipschitz 條件的觀測器設計方法也比基于一般的Lipschitz 條件所得的方法具有更廣的適用范圍。如何選擇適當?shù)碾S機變量或隨機過程刻畫脈沖發(fā)生時刻，并基于此設計觀測器將是下一步研究的方向。

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(責任編輯梁碧芬)

Impulsive observer design for a class of one-sided Lipschitz system

HUANG Gan-ji, LUO Shi-xian, WEI Lin-na, CHEN Wu-hua

(College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Abstract:To investigate the observer design method for a class of one-sided Lipschitz nonlinear system, an impulsive instant-related time varying Lyapunov function is constructed to analyze the stability of the error system, combining linear matrix inequalities technology and one-sided Lipschitz condition, sufficient condition for the exponentially converge of the observer and the solution of the observer gain matrix are then obtained. The results show that the effect of impulsive on stability of error system can be dealt with effectively by using the time varying Lyapunov function, and the one-sided Lipschitz condition based observer possesses wider application scope compared to the traditional Lipschitz condition based observer.

Key words:one-sided Lipschitz system; time-varying Lyapunov functions; impulsive observer; exponential stability

中圖分類號：O231

文獻標識碼：A

文章編號：1001-7445(2015)06-1588-09

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2015.1588

通訊作者：黃敢基(1972—)，男，廣西欽州人，廣西大學副教授； E-mail: ganjih@163.com。

基金項目：國家自然科學基金項目(61573111;61164016)；廣西自然科學基金重點項目(2013GXNSFDA019003)；廣西大學自然科學基金項目(XJZ110626);廣西研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目(YCSZ2015031)

收稿日期：2015-08-21；

修訂日期：2015-09-25