陳武華,薛飛飛,劉利軍

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣西南寧530004)

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二階Lipschitz非線性系統(tǒng)自然觀測器設(shè)計

陳武華,薛飛飛,劉利軍

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣西南寧530004)

摘要：機(jī)械系統(tǒng)的動力學(xué)方程是用狀態(tài)速度和狀態(tài)加速度描述的二階系統(tǒng)，而傳統(tǒng)的基于一階系統(tǒng)表示的觀測器理論并不完全適用于二階系統(tǒng)，為此，文中針對一類二階Lipschitz非線性系統(tǒng)提出了自然觀測器的設(shè)計問題。所提出的自然觀測器與被觀測的二階系統(tǒng)具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，能保證位置估計量的導(dǎo)函數(shù)恰好是速度估計量。為降低結(jié)果的保守性，利用非線性函數(shù)的Lipschitz性質(zhì)，將估計誤差系統(tǒng)表示為LPV(Linear Parameter Varying)系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上，引入?yún)?shù)依賴的Lyapunov函數(shù)分析估計誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并建立了自然觀測器存在的充分條件。該條件表示為一組帶有可調(diào)參數(shù)的線性矩陣不等式，通過求解該組線性矩陣不等式，便可獲得自然觀測器的增益矩陣和估計誤差的收斂速率。最后通過數(shù)值例子驗證了本文結(jié)果的有效性和實用性。

關(guān)鍵詞：二階系統(tǒng)；Lipschitz系統(tǒng)；自然觀測器；LPV方法；參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)

自20世紀(jì)60年代Luenberger提出觀測器設(shè)計方法以來[1-2]，觀測器設(shè)計在控制理論中扮演著不可或缺的角色，吸引了眾多學(xué)者的研究，并取得了一大批重要的研究成果[3-12]。大部分觀測器設(shè)計方法是針對一階系統(tǒng)，但在實際應(yīng)用中，很多動態(tài)系統(tǒng)，尤其是機(jī)械系統(tǒng)，它們是用狀態(tài)速度和狀態(tài)加速度描述的二階系統(tǒng)。對于具有n個自由度的二階系統(tǒng)狀態(tài)重構(gòu)問題，可以先將其轉(zhuǎn)化為一階2n維系統(tǒng)，再套用傳統(tǒng)的觀測器理論設(shè)計它的一階觀測器。但這種設(shè)計方法的最大弊端是忽視了二階系統(tǒng)固有的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這導(dǎo)致所得到的狀態(tài)估計量不能完全表征原系統(tǒng)狀態(tài)的物理特性，例如，狀態(tài)位置向量的估計量的導(dǎo)數(shù)不一定等于狀態(tài)速度的估計量。在20世紀(jì)90年代末，Balas[13]提出設(shè)計所謂的自然觀測器來重構(gòu)被觀測的二階系統(tǒng)的狀態(tài)。所提出的自然觀測器具有與被觀測的二階系統(tǒng)相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，從而能更真實地估計原系統(tǒng)的狀態(tài)。近幾年來，自然觀測器的設(shè)計方法已成功應(yīng)用于二階集中或分布參數(shù)系統(tǒng)的狀態(tài)估計、容錯檢測以及濾波器設(shè)計[14-18]。

另一方面，Lipschitz非線性系統(tǒng)作為一類具有廣泛應(yīng)用背景的非線性系統(tǒng)，其觀測器設(shè)計問題一直是非線性系統(tǒng)觀測器理論的重要研究熱點[19-23]。Lipschitz非線性函數(shù)的存在增加了觀測器設(shè)計的復(fù)雜性。據(jù)作者所知，目前還沒有研究二階Lipschitz非線性系統(tǒng)的自然觀測器。

本文針對二階Lipschitz非線性系統(tǒng)提出了自然觀測器的設(shè)計問題。為使所設(shè)計的自然觀測器適用于具有大Lipschitz常數(shù)的非線性系統(tǒng)，運用LPV( Linear Parameter Varying)方法處理非線性函數(shù)。通過引入適用于二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)依賴的Lyapunov函數(shù)，基于線性矩陣不等式，建立了自然二階觀測器存在的條件，同時給出了估計誤差收斂速度的估計。

1問題描述

文中，對x∈Rn,‖x‖表示其歐氏范數(shù)。S>(≥,<)0、0r與0r×p分別表示r階單位矩陣、r階零矩陣和r×p階零矩陣。對矩陣M,記號He(M)表示M+MT。對方陣S,記號S>(≥,<)0表示矩陣S為正定(半正定，負(fù)定)矩陣。

考慮如下二階非線性系統(tǒng)：

(1)

非線性函數(shù)f:Rn→Rn表示非線性剛度，K∈Rn×n為其系數(shù)矩陣。假設(shè)f滿足如下條件：

(H1)f(x)關(guān)于x滿足全局Lipschitz條件，即?κf>0，使得

‖f(x)-f(y)‖≤κf‖x-y‖,?x,y∈Rn。

注1在C中，若n2=m，則表示只能得到狀態(tài)位置的量測信息；若m=0，則表示只能得到狀態(tài)速度的量測信息；若0

(2)

為利用系統(tǒng)(1)的輸出信息重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)，并保持估計量的物理關(guān)系不變，我們對二階非線性系統(tǒng)(1)提出如下的自然觀測器：

(3)

注2同系統(tǒng)(1)一樣，自然觀測器(3)具有二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而可保證位置估計量的導(dǎo)數(shù)恰好是速度估計量。

(4)

定義1考慮誤差系統(tǒng)(4)，若存在正常數(shù)M,γ，使得對任意的e0∈R2n，從e0出發(fā)的解e(t)滿足‖e(t)‖≤Me-γt,?t≥0,則稱系統(tǒng)(4)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，γ稱為指數(shù)收斂速率。此時，稱自然觀測器(3)指數(shù)估計系統(tǒng)(1)的狀態(tài)。

本文以下研究的問題是如何設(shè)計合適的自然觀測增益矩陣L1與L2，使得誤差系統(tǒng)(4)全局一致指數(shù)穩(wěn)定。

2主要結(jié)果

為使所設(shè)計的自然觀測器能夠觀測具有大Lipschitz常數(shù)的二階非線性系統(tǒng)，我們考慮采用LPV方法處理Lipschitz非線性函數(shù)。為此，首先引入相關(guān)的定義和記號。

給定兩個向量x=(x1,x2,…,xn)T，y=(y1,y2,…,yn)T，定義與其相關(guān)的向量列xyi∈Rn,i=0,1,2,…,n，有：

xy0=x，xyi=(y1,…,yi,xi+1,…,xn)，i=1,2,…,n。

引理1[23]考慮向量函數(shù)f:Rn→Rn，設(shè)f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T,則下列命題等價：

①f(x)滿足Lipschitz條件(H1)。

②f(x)滿足如下條件：

考慮到條件(H1)與(H2)的等價性，以下我們總假設(shè)非線性函數(shù)f(x)滿足條件(H2)，從而可以充分利用f(x)的Lipschitz特性。由文獻(xiàn)[20]的引理6，易證

(5)

其中，Hij=εn(i)εnT(j)，εn(i)表示第i個元為1，其他元為0的單位向量。

(6)

記由頂點集Vf確定的有界閉凸集為Sf,則由假設(shè)(H2),Θ∈Sf,從而，F(xiàn)(Θ)可表示為

(7)

令

則誤差系統(tǒng)(6)可表示為如下簡潔形式：

(8)

下述定理運用LPV方法，基于線性矩陣不等式，建立了誤差系統(tǒng)(4)零解全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。

定理1考慮誤差系統(tǒng)(4)，假設(shè)條件(H2)成立。對給定的正常數(shù)γ，如果存在2n×2n正定矩陣P,使得下列線性矩陣不等式成立

(9)

則誤差系統(tǒng)(4)的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的，且至少有收斂速率γ。

證選取Lyapunov函數(shù)V(e)=eTPe。注意到系統(tǒng)(4)和系統(tǒng)(8)等價，V(e)沿著系統(tǒng)(4)軌線的導(dǎo)數(shù)為：

由式(7)和式(9),得到

<-2γV(e),

由此得到

其中，λ1=min(P),λ2=max(P)。這表明誤差系統(tǒng)(4)的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的，且具有收斂速率γ。證畢。

注意到矩陣不等式(9)關(guān)于P, L1, L2是非凸的。為了得到了觀測器增益矩陣L1, L2基于線性矩陣不等式的參數(shù)化表示，選取如下依賴參數(shù)k的正定矩陣P：

(10)

應(yīng)用上述P于定理1，得到了如下的自然觀測器(3)存在的充分條件。

(11)

(12)

注4指數(shù)收斂速率γ依賴于可調(diào)參數(shù)k的選取，通過調(diào)節(jié)k的值，可以獲得所需的指數(shù)收斂速率。

3數(shù)值仿真與討論

本節(jié)利用文獻(xiàn)[24]的一個二階線性系統(tǒng)，同時增加非線性剛性，來驗證本文所提出的自然觀測器的有效性和實用性。

例1考慮二階Lipschitz非線性系統(tǒng)(1)，其參數(shù)如下：

圖1～4分別給出了系統(tǒng)的位置變量及其估計量的演化曲線，仿真結(jié)果證實了自然觀測器的位置向量能很好地跟蹤系統(tǒng)的位置向量。

圖1位置變量x1及其估計x^1的演化曲線

Fig.1The evolution curves of position

variablex1and its estimatex^

圖2位置變量x2及其估計x^2的演化曲線

Fig.2Theevolution curves of position variablex2

and its estimatex^2

圖4位置變量x4及其估計x4^的演化曲線

Fig.4The evolution curves of position variablex4

and its estimatex^4

4結(jié)語

本文研究了一類二階Lipschitz非線性系統(tǒng)自然觀測器的設(shè)計問題。所提出的自然觀測器與被觀測系統(tǒng)具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。利用Lipschitz非線性函數(shù)的性質(zhì)，將估計誤差系統(tǒng)表示為LPV系統(tǒng)，引入?yún)?shù)依賴的Lyapunov函數(shù)分析誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并結(jié)合凸組合技術(shù)和LMI方法，建立了自然觀測器的設(shè)計準(zhǔn)則。所設(shè)計的自然觀測器能保證位置估計量的導(dǎo)函數(shù)恰好是速度估計量，且適用于具有大Lipschitz常數(shù)的二階Lipschitz非線性系統(tǒng)。

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(責(zé)任編輯裴潤梅)

Design of natural observers for second-order Lipschitz nonlinear systems

CHEN Wu-hua, XUE Fei-fei, LIU Li-jun

(College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Abstract:The dynamics of mechanical systems are described by second-order systems in terms of both state velocities and state accelerations. The traditional observer theory based on the representation of one-order form is not fully suitable to second-order systems. In this paper, the design problem of natural observers for a class of second-order Lipschitz nonlinear systems is addressed. The proposed natural observer has the same structure as the observed second-order system, which ensures that the derivative of the estimated position is indeed the estimated velocity. In order to reduce conservatism, the estimation error system is reformulated as a linear parameter varying system (LPV) by taking the properties of the Lipschitz nonlinear function into account. Based on the representation, a parameter-dependent Lyapunov function is introduced to analyze the stability of the error dynamics. A sufficient condition for the existence of natural observers is established. The sufficient condition is expressed as a set of linear matrix inequalities with a tuning parameter. Finally, a numerical example is presented to validate the effectiveness and practicability of the proposed method.

Key words:second-order systems; Lipschitz systems；natural observers；LPV approach；parameter-dependent Lyapunov function

中圖分類號：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-7445(2015)06-1406-08

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2015.1406

通訊作者：陳武華(1967—)，男，湖北武穴人，廣西大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師； E-mail: wuhuachen@163.com。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61164016，61573111)；廣西自然科學(xué)基金重點項目(2013GXNSFDA019003)；廣西自然科學(xué)基金資助項目(2015GXNSFAA139003)

收稿日期：2015-09-26；

修訂日期：2015-10-30