第一作者 趙環(huán)迪 男，碩士生，1987年生

通信作者 陳力奮 女，博士，副教授，1966年生

郵箱：lfchen2@fudan.edu.cn

含非線性邊界梁結(jié)構(gòu)頻響特征的實(shí)驗(yàn)研究

趙環(huán)迪，王珺，陳力奮

(復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海200433)

摘要：利用實(shí)驗(yàn)方法研究含非線性邊界的梁結(jié)構(gòu)頻響特征。實(shí)驗(yàn)對(duì)象由一根矩形截面的主梁和二片與之垂直的片梁構(gòu)成-T字型結(jié)構(gòu)，通過在片梁兩端墊放不同厚度的鋼尺，使主梁的一端形成不同的幾何非線性約束邊界，片梁不同程度的預(yù)變形改變了主梁靜平衡點(diǎn)的位置。實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，預(yù)變形和外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)的非線性頻響特征影響顯著，隨著預(yù)變形和外激勵(lì)幅值的變化，主梁的頻響特征呈現(xiàn)出軟特性、硬特性和線性特性之間復(fù)雜的演變過程。進(jìn)一步的理論分析表明，預(yù)變形的存在使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制方程同時(shí)含有平方和立方非線性，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象相吻合。實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，宏觀上揭示了幾何非線性約束邊界中的預(yù)變形對(duì)梁結(jié)構(gòu)頻響特征的影響規(guī)律。

關(guān)鍵詞：非線性邊界；預(yù)變形；頻響特征；實(shí)驗(yàn)研究

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172067)

收稿日期：2013-11-29修改稿收到日期：2014-02-20

中圖分類號(hào):O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Tests for frequency response features of a beam structure under nonlinear boundaries

ZHAOHuan-di,WANGJun,CHENLi-fen(Department of Mechanics and Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China)

Abstract:Tests for frequency response features of a beam structure under nonliear boundaries were conducted here. The test rig consisted of a linear cantilever main beam with a rectangular cross-section and two thin identical sheet beams connected at the main beam's free end and being perpendicular to the main beam to form a T-type structure. The different nonlinear supports at the one end of the main beam were formed by inserting steel rulers with different thicknesses into the ends of the sheet beams. The different pre-deformation levels of the sheet beams change the main beam’s equilibrium position. The test results showed that with the variation of pre-deformation and external excitation amplitude, the frequency response features of the main beam reveal a complex evolution process among soft characteristic, hard one and linear one. The further theoretical analysis showed that the pre-deformation makes the beam’s dynamic governing equations contain square and cubic nonliear terms. The results of numerical simulation agreed well with those of tests, they demonstrated that the pre-defoemation and external excitation amplitude have a significant effect on the beam’s frequency response features.

Key words: nonlinear boundary; pre-deformation; frequency response features; experimental study

非線性因素存在于大量的工程結(jié)構(gòu)中，如接觸碰撞中的間隙、干摩擦，材料彈塑性、構(gòu)件大變形等，這些非線性因素的存在會(huì)使得結(jié)構(gòu)在較小的動(dòng)態(tài)載荷下產(chǎn)生線性系統(tǒng)所沒有的現(xiàn)象，如分岔、混沌、超(次)諧波共振、頻率漂移和跳躍現(xiàn)象等。為使系統(tǒng)和產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)、加工、運(yùn)行和控制滿足日益提高的運(yùn)行速度和精度需求，需要深入分析非線性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。

工程結(jié)構(gòu)中大量的連接件和邊界是非線性的[1-3]，這些非線性元件除了受動(dòng)態(tài)激勵(lì)外，還常常受到其他載荷，如重力、裝配缺陷等引起的預(yù)載，使得結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出非常復(fù)雜的的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[4]，其中最為典型的頻域特征是隨著激勵(lì)力的增加而產(chǎn)生“頻率漂移”和“跳躍”現(xiàn)象。在復(fù)雜工況下，由過載引起的頻漂將會(huì)導(dǎo)致非常嚴(yán)重的后果，已引起工程技術(shù)人員的重點(diǎn)關(guān)注。

梁結(jié)構(gòu)在工程中有著廣泛的運(yùn)用，特別是細(xì)長(zhǎng)梁，在受到外界激勵(lì)時(shí)，容易發(fā)生大轉(zhuǎn)動(dòng)和大變形的非線性現(xiàn)象。近年來，非線性動(dòng)力學(xué)理論和方法正從低維向高維乃至無窮維發(fā)展，其規(guī)模和難度不斷提高，而實(shí)驗(yàn)研究同樣具有重要的價(jià)值，可以從宏觀上展示非線性現(xiàn)象的存在[5]。梁的非線性振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究可以追溯到19世紀(jì)70年代，其中較有代表性的有Moon等[6]利用鐵磁梁在兩塊磁鐵間的運(yùn)動(dòng)，首次觀察到了奇怪吸引子的存在，而后又發(fā)現(xiàn)了次諧波共振和混沌現(xiàn)象；采用帶有質(zhì)量塊的L型梁結(jié)構(gòu)，Haddow等[7-8]觀察到了主共振激勵(lì)下結(jié)構(gòu)一二階模態(tài)的非線性周期運(yùn)動(dòng)，通過參數(shù)的調(diào)節(jié)，發(fā)現(xiàn)了模態(tài)耦合現(xiàn)象，并首次驗(yàn)證了飽和現(xiàn)象的存在；陳予恕等[9]采用受縱向激勵(lì)的梁結(jié)構(gòu)對(duì)1/2亞諧分岔特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，得出了整個(gè)參數(shù)平面上具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的分岔圖；Fujino等[10]設(shè)計(jì)了三自由度的懸索梁結(jié)構(gòu)，在觀察到并驗(yàn)證了內(nèi)共振和飽和現(xiàn)象的同時(shí)，還發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)時(shí)間歷程中雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的存在；近十年來，不斷地有關(guān)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好地驗(yàn)證了非線性理論的報(bào)道[11-13]。

梁結(jié)構(gòu)的非線性實(shí)驗(yàn)研究成果對(duì)理論上發(fā)現(xiàn)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為給出了直觀的解釋，為進(jìn)一步探究實(shí)際結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)本質(zhì)，需進(jìn)一步從物理或結(jié)構(gòu)如對(duì)稱性、密度分布、慣性力或預(yù)變形等出發(fā)，研究這些因素對(duì)結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)特征的影響規(guī)律。Royston等[14]進(jìn)行了含有靜載荷的局部非線性結(jié)構(gòu)在周期激勵(lì)下響應(yīng)特征的實(shí)驗(yàn)和仿真研究，仿真結(jié)果表明由于靜載荷的存在改變了系統(tǒng)的靜平衡位置，從而產(chǎn)生不對(duì)稱的非線性剛度，導(dǎo)致系統(tǒng)在一定的靜載荷下首先呈現(xiàn)剛度的軟特性，含非線性約束支撐的簡(jiǎn)支梁實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了這一結(jié)論；馮志華等[15]通過對(duì)受軸向基礎(chǔ)激勵(lì)懸臂梁非線性動(dòng)力學(xué)的建模和分析，表明梁的非線性慣性項(xiàng)具有軟特性效應(yīng)，而梁的非線性幾何項(xiàng)具有硬特性效應(yīng)；衛(wèi)洪濤等研究了套筒連接結(jié)構(gòu)非線性對(duì)梁頻漂的影響，表明帶預(yù)緊力時(shí)的間隙對(duì)梁頻漂的影響呈現(xiàn)軟-硬效果，這一現(xiàn)象與特定航天器結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)和分析結(jié)果一致；王珺等[16]研究了預(yù)變形對(duì)非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征的影響，數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示出隨著預(yù)變形的逐漸增大，非線性結(jié)構(gòu)頻響特征呈現(xiàn)從硬特性向軟特性的轉(zhuǎn)變，并求出了轉(zhuǎn)變過程的臨界變形；而隨著外激勵(lì)幅值的增大，則是從軟特性向硬特性轉(zhuǎn)變。上述研究成果多偏重于理論分析和仿真計(jì)算，較少見到利用實(shí)驗(yàn)方法研究物理或幾何因素對(duì)結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)特性的影響。

針對(duì)含非線性邊界梁結(jié)構(gòu)的頻響特征，主要利用實(shí)驗(yàn)方法研究了非線性約束中的預(yù)變形對(duì)主共振下梁的頻響特性的影響。實(shí)驗(yàn)對(duì)象由一根矩形截面的主梁和二片與之垂直的片梁構(gòu)成-T字型結(jié)構(gòu)[17]，通過在片梁兩端墊放不同厚度的鋼尺，使主梁的一端形成不同的幾何非線性約束邊界。片梁不同程度的預(yù)變形改變了主梁靜平衡點(diǎn)的位置，理論上使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制方程同時(shí)含有平方和立方非線性。本實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值計(jì)算結(jié)果均表明，隨著預(yù)變形和外激勵(lì)幅值的變化，主梁的頻響特征呈現(xiàn)出軟、硬以及線性特性之間復(fù)雜的演變過程。

1實(shí)驗(yàn)裝置及方法

1.1實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由試件、實(shí)驗(yàn)平臺(tái)、激振器、功放、數(shù)據(jù)控制采集系統(tǒng)、加速度和力傳感器以及電荷放大器組成。試件為一矩形截面主梁，一端用壓塊固定，另一端與兩片薄梁用一個(gè)M5的螺栓(12.9級(jí)內(nèi)六角螺絲，配合彈簧墊圈和標(biāo)準(zhǔn)平墊圈使用)與自鎖螺帽連接(見圖1)。

圖1　實(shí)驗(yàn)系統(tǒng) Fig.1 Expeximental system

DP控制采集儀集成了Signalcalc430動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀和Signalcalc550動(dòng)態(tài)控制儀，功率放大器型號(hào)為YE5872，激振器最大激振力為200 N，滿足實(shí)驗(yàn)要求，數(shù)據(jù)信號(hào)控制采集裝置(見圖2)。圖3所示為實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖。這里采用的是力幅恒定的正弦掃頻實(shí)驗(yàn)。

圖2　數(shù)據(jù)信號(hào)控制采集裝置 Fig.2 Setup of signal acquisition

圖3　實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖 Fig.3 Schematic diagram of experimental system

1.2試件參數(shù)與測(cè)點(diǎn)布置

矩形截面的主梁經(jīng)過先鑄造后調(diào)質(zhì)處理，使其強(qiáng)度、塑性和韌性得到很大程度的調(diào)整，具有良好的綜合機(jī)械性能，兩個(gè)片梁采用線切割加工而成，滿足實(shí)驗(yàn)精度要求。試件的幾何參數(shù)(見表1)。

表1　幾何參數(shù)

本實(shí)驗(yàn)采用的是四通道的振動(dòng)控制采集儀，其中一通道連接力傳感器，其它三個(gè)通道連接加速度傳感器，傳感器放置的位置(見圖4)。

圖4　實(shí)驗(yàn)測(cè)點(diǎn)位置 Fig.4 Observation location on the beam

1.3實(shí)驗(yàn)方法

主要通過改變預(yù)變形、激勵(lì)力幅值的大小和不同的掃描方式，研究預(yù)變形對(duì)非線性結(jié)構(gòu)頻響特征的影響。主梁的靜平衡位置使兩片梁基本保持水平位置；(見圖5(a))采用在片梁左右兩端壓塊處逐一墊放厚度為0.7mm的鋼尺，使片梁產(chǎn)生一定的彎曲靜變形，(見圖5(b))。

圖5　改變預(yù)變形的實(shí)驗(yàn)方法 Fig.5 Experimental Study with different pre-deformation

對(duì)以下各種工況進(jìn)行掃頻實(shí)驗(yàn)：

(1) 墊放的鋼尺厚度分別為： 0.0、0.7 mm、1.4 mm、2.1 mm、2.8 mm、3.5 mm、4.2 mm、4.9 mm、5.6 mm、6.3 mm和7 mm共十一個(gè)不同位置；

(2) 每個(gè)位置下，進(jìn)行激勵(lì)力幅值為0.05～2 N范圍內(nèi)力幅恒定的正弦掃頻；

(3)每種工況下，進(jìn)行從低到高和從高到低的掃頻實(shí)驗(yàn)，掃描方式為線性掃頻，頻率間隔為0.1Hz/s。

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在相同實(shí)驗(yàn)條件下，不墊鋼尺(0.0 mm處)和墊2片鋼尺(1.4 mm處)的頻響曲線差異較??；而在墊1片鋼尺(0.7 mm處)時(shí)的峰值位置頻率最低，由此可以判定系統(tǒng)的動(dòng)平衡點(diǎn)在0.7 mm位置附近。將動(dòng)靜平衡點(diǎn)的位移差定義為結(jié)構(gòu)的預(yù)變形x0，(見圖5(b))。由此可知，實(shí)驗(yàn)中的十一個(gè)不同位置分別對(duì)應(yīng)的預(yù)變形為：

x0=-0.7 /0.0 /0.7 /1.4 /2.1 /2.8

/3.5 /4.2 /4.9 /5.6 /6.3(單位：mm)

2實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

由于三個(gè)加速度傳感器采集的信號(hào)所顯示的第一階固有頻率均相同，所以以下均采用端點(diǎn)處位移頻響數(shù)據(jù)。

針對(duì)分別給定的十一個(gè)預(yù)變形位置，T字型梁結(jié)構(gòu)第一階固有頻率附近處的位移頻響曲線隨激勵(lì)力幅值的變化過程(見圖6)，其中包括圖6(a)從低到高；圖6(b)從高到低的兩種掃頻方式。

當(dāng)激勵(lì)力幅值較小(F≤1.0 N)時(shí)，位移頻響相對(duì)穩(wěn)定，記錄結(jié)構(gòu)峰值位置的頻率點(diǎn)，則可得結(jié)構(gòu)一階固有頻率值隨預(yù)變形和外激勵(lì)幅值的變化規(guī)律(見圖7)。

從圖6和圖7可知，隨著預(yù)變形大小的變化，結(jié)構(gòu)的頻響特征有下述特點(diǎn)：

(1) 預(yù)變形x0接近于零時(shí)，結(jié)構(gòu)的一階固有頻率值基本隨外激勵(lì)幅值的增加而增大，如圖6的(1)、(2)和(3)所示，位移頻響總體呈硬彈簧特征；

(2) 預(yù)變形x0=±0.7 mm時(shí)，盡管外激勵(lì)幅值的分布不同，但結(jié)構(gòu)的頻響振動(dòng)特性非常接近，尤其是在較小的外激勵(lì)幅值下(見圖7)，表明預(yù)變形的正負(fù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征影響較??；

(3) 當(dāng)預(yù)變形x0=3.5 mm時(shí)，結(jié)構(gòu)的一階固有頻率值隨外激勵(lì)幅值的增加而減小(見圖6的(7))，位移頻響總體呈軟彈簧特征。

取激勵(lì)力幅值F=0.5N時(shí)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)不同預(yù)變形下結(jié)構(gòu)的位移頻響曲線進(jìn)行了比較(見圖8)。不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于相同的外激勵(lì)幅值，由于預(yù)變形的不同，主梁結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)軟、硬以及線性等完全不同的剛度特性。

圖6　不同預(yù)變形位置處，位移頻響隨激勵(lì)力幅值的變化過程 Fig.6 Frequency response of structure with different pre-deformation

圖7　同一預(yù)變形位置下，激勵(lì)力與一階固有頻率的關(guān)系 Fig.7 Relation between excitation force and natural frequency (with same pre-deformation)

圖8　激勵(lì)力幅值F=0.5 N時(shí)不同預(yù)變形下結(jié)構(gòu)頻響特征比較 Fig.8 FRF comparison with different pre-deformation under excitation power F=0.5 N

3含預(yù)變形結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析

實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果表明，預(yù)變形導(dǎo)致含非線性邊界梁結(jié)構(gòu)的頻響特征呈現(xiàn)出軟、硬特性和線性之間復(fù)雜的演變過程。為進(jìn)一步闡明預(yù)變形的影響機(jī)理，本節(jié)進(jìn)行理論分析和數(shù)值計(jì)算。

考慮圖9所示的單自由度質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)，設(shè)彈簧大變形產(chǎn)生的非線性模型為：

F=-kx-k*x3

(1)

式中：k為線性剛度系數(shù)，k*為立方剛度系數(shù)；負(fù)號(hào)表示力的方向與變形x方向相反。

圖9　含非線性彈簧的單自由度質(zhì)量—阻尼—彈簧系統(tǒng) Fig.9 1-degree-of-freedom spring-damper system with nonlinear spring

考慮矩形截面主梁承受預(yù)載荷，則靜平衡狀態(tài)時(shí)彈簧存在預(yù)變形x0，此時(shí)彈簧對(duì)m的作用力為：

(2)

當(dāng)m相對(duì)靜平衡位置產(chǎn)生相對(duì)位移Δx時(shí)，彈簧作用力的增量為：

3k*x0Δxx2-k*Δxx3

(3)

3k*x0Δxx2+k*Δxx3=P(t)

(4)

可知，結(jié)構(gòu)的線性頻率為(Hz)：

(5)

顯然與預(yù)變形x0相關(guān)。

當(dāng)預(yù)變形x0=0時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度為立方非線性，當(dāng)k*>0時(shí)將呈現(xiàn)剛度的硬特性；當(dāng)存在預(yù)變形即x0≠0時(shí)，Δxx的二次項(xiàng)系數(shù)非零，隨著Δxx的增加，無論k*正負(fù)都將首先體現(xiàn)剛度的軟特性[18]。

預(yù)變形x0的計(jì)算范圍為0～10 mm，采樣間隔Δxx0=0.1 mm；計(jì)算中激勵(lì)力幅值F的變化范圍為2～16 N，采樣間隔ΔxF=0.1 N；計(jì)算掃頻范圍f為20～120 Hz，遞歸細(xì)分時(shí)設(shè)定間隔下限Δxfmin=0.1Hz。

由此，在給定的范圍內(nèi)，得到了全參數(shù)域上含幾何非線性單自由度結(jié)構(gòu)的頻響特征隨預(yù)變形和外激勵(lì)幅值的變化規(guī)律。圖10給出了當(dāng)外激勵(lì)力幅值F=14 N時(shí)，掃頻過程中的跳躍點(diǎn)[16]位置隨預(yù)變形的變化規(guī)律。從中不難發(fā)現(xiàn)，隨著預(yù)變形的不斷加大，結(jié)構(gòu)由硬特性(不穩(wěn)定頻段逐步變窄)轉(zhuǎn)化為軟特性(不穩(wěn)定頻段由窄變寬再變窄)；在一定的預(yù)變形位置(圖10中x0約在4.0～6.0 mm)處，頻響特性處于軟硬特性的轉(zhuǎn)變過程。

圖10　跳躍點(diǎn)位置隨預(yù)變形的變化(F=14 N) Fig.10 The jump point with the pre-deformation while F=14 N

圖11　不同預(yù)變形位置處，位移頻響隨激勵(lì)力幅值變化的計(jì)算結(jié)果 Fig.11 Calculated frequency response of 1DOF structure with different pre-deformation

為體現(xiàn)結(jié)構(gòu)頻響特征的演變過程，以下給出十個(gè)預(yù)變形位置：

x0=0.0 /1.0 /2.0 /3.0/4.0

/5.0 /6.0 /7.0/8.0/9.0(單位：mm)

結(jié)構(gòu)固有頻率附近處的位移頻響曲線隨激勵(lì)力幅值的變化過程(見圖11)，其中包括：圖11(a)從低到高；圖11(b)從高到低的兩種模擬掃頻計(jì)算結(jié)果。固有頻率隨預(yù)變形和外激勵(lì)幅值的變化規(guī)律(見圖12)。

圖12　固有頻率隨激勵(lì)力幅值變化的計(jì)算結(jié)果 Fig.12 Relation between excitation force and natural frequency (Calculated)

由圖11和圖12可知，隨著預(yù)變形大小的變化，結(jié)構(gòu)的頻響特征有下述特點(diǎn)：

(1) 預(yù)變形較小時(shí)，結(jié)構(gòu)的固有頻率基本隨外激勵(lì)幅值的增加而增大，如圖11的(1)～(3)所示，位移頻響總體呈硬彈簧特征；

(2) 在一定的預(yù)變形下，當(dāng)外激勵(lì)幅值較小時(shí)結(jié)構(gòu)開始出現(xiàn)軟彈簧特征，而隨著激勵(lì)力幅值的增加又轉(zhuǎn)而呈現(xiàn)硬特性，如圖11的(4)～(7)所示；其中還會(huì)產(chǎn)生超諧波共振的非線性現(xiàn)象。

(3) 當(dāng)預(yù)變形較大時(shí)，在所計(jì)算外激勵(lì)幅值范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)的位移頻響總體呈軟彈簧特征。

圖13　激勵(lì)力幅值F=14 N時(shí) 不同預(yù)變形下結(jié)構(gòu)頻響特征比較 Fig.13 FRF comparison with different pre-deformation under excitation power F=14 N (Calculated)

為進(jìn)一步說明上述頻響特征，提取激勵(lì)力幅值F=14 N時(shí)的計(jì)算數(shù)據(jù)，對(duì)上述十個(gè)預(yù)變形下結(jié)構(gòu)的位移頻響曲線進(jìn)行了比較(見圖13)。

4結(jié)論

主要用實(shí)驗(yàn)方法研究了非線性邊界約束中的預(yù)變形對(duì)梁結(jié)構(gòu)頻響特征的影響。結(jié)果表明：

(1) 預(yù)變形接近于零時(shí)位移頻響總體呈硬彈簧特征；

(2) 預(yù)變形的正負(fù)對(duì)結(jié)構(gòu)頻響特征影響較?。?/p>

(3) 當(dāng)結(jié)構(gòu)存在預(yù)變形時(shí)，位移頻響隨外激勵(lì)幅值的變化，總體呈先軟后硬的剛度特征；

(4) 在同樣大小的外激勵(lì)幅值下，隨著預(yù)變形的增加，主梁結(jié)構(gòu)則呈現(xiàn)先硬后軟完全不同的剛度特性。數(shù)值計(jì)算結(jié)果也印證了上述結(jié)論的合理性。

從實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，預(yù)變形導(dǎo)致主梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生明顯的“跳躍”和“頻率漂移”現(xiàn)象，且軟、硬剛度特性在同樣的外激勵(lì)幅值下均有可能。數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)更為豐富的非線性現(xiàn)象，如超諧波共振。本研究結(jié)果從宏觀上揭示了幾何非線性約束邊界中的預(yù)變形對(duì)梁結(jié)構(gòu)頻響特征的影響規(guī)律。

由于數(shù)值計(jì)算采用的是單自由度系統(tǒng)，計(jì)算結(jié)果僅從定性上說明實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的合理性。這里以主共振下頻域響應(yīng)為主要研究對(duì)象，時(shí)域響應(yīng)特征的研究成果將另文發(fā)表。

參 考 文 獻(xiàn)

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