第一作者 尹俊紅 女，博士生，1986年生

通信作者 李青寧 男，教授，博導(dǎo)，1952年生

郵箱：lqn952@163.com

基于精細(xì)積分法的結(jié)構(gòu)碰撞反應(yīng)譜研究

尹俊紅，李青寧，張瑞杰，程麥理，閆磊，孫建鵬，韓春

(西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安710055)

摘要：碰撞是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)地震破壞的重要原因之一，其與兩碰撞結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能和地震作用密切相關(guān)，應(yīng)給出與兩個(gè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)相關(guān)的反應(yīng)譜，以指導(dǎo)結(jié)構(gòu)考慮碰撞的抗震設(shè)計(jì)。本文給出相鄰結(jié)構(gòu)碰撞加速度反應(yīng)譜定義，推導(dǎo)了精細(xì)積分法碰撞計(jì)算公式，進(jìn)行了該反應(yīng)譜曲面的分析和探討。結(jié)果表明，精細(xì)積分法適用于結(jié)構(gòu)碰撞問題的計(jì)算，可得到高精度的解，無條件穩(wěn)定且可提高計(jì)算效率。碰撞會(huì)加大結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)；動(dòng)力特性相同的兩相鄰結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的響應(yīng)有差異；增大阻尼比和相鄰結(jié)構(gòu)阻尼比差別、以及設(shè)置足夠大的初始間隙，可有效降低結(jié)構(gòu)的碰撞響應(yīng)。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)碰撞；精細(xì)積分法；加速度反應(yīng)譜；阻尼比；間隙

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51078306)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51408453)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20106120110004)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20136120120022)

收稿日期：2014-07-24修改稿收到日期：2014-09-30

中圖分類號(hào):U442.55文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Structural impact response spectra based on precise time-integration method

YINJun-hong,LIQing-ning,ZHANGRui-jie,CHENGMai-li,YANLei,SUNJian-peng,HANChun(College of Civil Engineering, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China)

Abstract:Collision is one of the main reasons leading to damage of structures under earthquake excitation,it is closely related to structures’ dynamic characteristics and earthquake action. Response spectra for two adjacent impacting structures related to their dynamic parameters should be deduced to guide their aseismic design considering impact. Here, acceleration response spectra for impact between two adjacent structures were defined, the calculation formulas of pounding based on precise time-integration method were derived,and the response spectra were analyzed and discussed. The study results indicated that the precise time-integration method with high accuracy, unconditionally stable and improved efficiency is suitable for the computation of structural impact problems; acceleration responses of structures increase due to pounding, the responses of two adjacent structures with the same dynamic characteristics are different; to increase damping ratios of the two structures and the difference between the two ratios, and to set up enough large initial gap between the two structures can effectively reduce their impact responses.

Key words: structural pounding; precise time-integration method; acceleration response spectrum; damping ratio; gap

碰撞會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)造成極大損害[1-2]，碰撞問題被認(rèn)為是影響結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)和抗震性能的一個(gè)重要因素。

利用精細(xì)時(shí)程積分法無條件穩(wěn)定、精度高和受時(shí)間步長限制小的特點(diǎn)，將其引入求解結(jié)構(gòu)的碰撞問題，驗(yàn)證精細(xì)積分法的計(jì)算精度和適用性。并基于精細(xì)積分法進(jìn)行了結(jié)構(gòu)的碰撞加速度反應(yīng)譜研究，反應(yīng)譜表明具有指定阻尼比和頻率的單自由度結(jié)構(gòu)對(duì)地面輸入的反應(yīng)程度[8]，是根據(jù)地震對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)的最大影響來表征地面運(yùn)動(dòng)特性。對(duì)于碰撞問題的反應(yīng)譜研究，Kawashima等[9]給出了相鄰結(jié)構(gòu)最大位移反應(yīng)譜，Ruangrassamee等[10]給出了碰撞影響下的相對(duì)位移反應(yīng)譜，王君杰等[11]給出橋梁結(jié)構(gòu)受撞擊的位移沖擊譜及統(tǒng)計(jì)規(guī)律，Jankowski R[12]給出結(jié)構(gòu)碰撞力反應(yīng)譜。相對(duì)位移譜可用于指導(dǎo)結(jié)構(gòu)防撞設(shè)計(jì)中初始間隙的設(shè)置；碰撞力反應(yīng)譜用于評(píng)估結(jié)構(gòu)因碰撞造成的潛在損害，并為防撞墻和緩沖裝置的設(shè)計(jì)直接提供碰撞力最大值。以上內(nèi)容對(duì)結(jié)構(gòu)的碰撞問題研究提供了有益的指導(dǎo)，但目前還鮮見針對(duì)相鄰結(jié)構(gòu)碰撞加速度反應(yīng)譜的研究與探討，加速度譜可反映碰撞引起的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)相對(duì)于地面輸入地震波的放大效果，并直接得到考慮碰撞的最大地震作用，而后即可根據(jù)反應(yīng)譜理論將其看做靜力作用對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度和剛度等驗(yàn)算，以指導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行考慮碰撞的抗震設(shè)計(jì)?；诰?xì)積分法，考慮了結(jié)構(gòu)的阻尼比和初始間隙等參數(shù)，進(jìn)行了結(jié)構(gòu)的碰撞加速度譜分析，為相鄰結(jié)構(gòu)的碰撞研究和抗震設(shè)計(jì)提供參考。

1精細(xì)積分法在碰撞中的應(yīng)用

1.1碰撞理論

結(jié)構(gòu)碰撞理論分析模型見圖1，碰撞結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力平衡方程為：

(1)

圖1　理論模型 Fig.1 Theoretical model

在碰撞的理論以及模擬分析中，通常采用接觸單元模擬結(jié)構(gòu)的碰撞力。Jan-Hertz-damp模型(非線性-阻尼模型)[13]假定在相互接觸的階段，有可能發(fā)生塑性變形和局部損傷現(xiàn)象，且能量耗散僅在此過程發(fā)生；在分離階段，積累的彈性應(yīng)變能開始釋放，此階段沒有能量耗散。采用Jan-Hertz-damp模型模擬結(jié)構(gòu)的碰撞力，接觸過程中的碰撞力表示為：

(2)

(3)

1.2精細(xì)積分法求解

對(duì)式(1)采用精細(xì)積分法求解：

令

(4)

有

(5)

(6)

式(5)和式(6)代入式(1)，有

(7)

整理為：

(8)

令

x=[U1(t)U2(t)p1p2]T

(9)

(10)

(11)

式(8)可化為：

(12)

式(12)即為結(jié)構(gòu)碰撞問題的狀態(tài)傳遞方程。一般解為[14]：

(13)

將荷載作用離散成步長Δt時(shí)間間隔，任意時(shí)刻表示為kΔt(k=0，1,2…)，tk+1=tk+Δt，則

(14)

(15)

(16)

令T(Δt)=eHΔt

(17)

指數(shù)矩陣T(Δt)求解如下：

(18)

將指數(shù)矩陣展開為泰勒級(jí)數(shù)：

T(τ)=eHτ=I+Ta

(19)

(20)

式中:l為截?cái)嚯A數(shù)。

由于Ta的元素值非常小,若它與直接矩陣I相加后進(jìn)行式(18)的運(yùn)算，會(huì)由于計(jì)算機(jī)的舍入操作而喪失精度。為避免這一問題，式(18)計(jì)算過程如下：

(Ta)t+1=2(Ta)i+(Ta)i·(Ta)i

(i=1,2,…,N)

(21)

計(jì)算得到(Ta)N，則

T(Δt)=l+(Ta)N

(22)

精細(xì)積分法的計(jì)算過程通過編程語言實(shí)現(xiàn)，求解過程為：

(2) 根據(jù)式(17)得離散時(shí)刻tk的狀態(tài)向量，其前兩項(xiàng)即為位移U1(tk)、U2(tk)。

(4) 若相對(duì)位移不超過初始間隙，F(xiàn)c(tk)=0；若相對(duì)位移超過初始間隙，采用式(2)計(jì)算Fc(tk)，并進(jìn)行下一步迭代。

(6) 重復(fù)以上“(2)”～“(5)”步驟，直至地震動(dòng)輸入完成。輸出計(jì)算結(jié)果。

2精細(xì)積分法驗(yàn)證

為驗(yàn)證精細(xì)積分法的精度和適用性，通過對(duì)兩小球自由彈性碰撞進(jìn)行模擬，圖1中間隙d=0，兩小球質(zhì)量均為 2 kg，自振圓頻率為10.25 rad/s，左側(cè)小球從初始位置向右側(cè)自由運(yùn)動(dòng)與右側(cè)小球發(fā)生彈性碰撞，初始時(shí)刻位U1(0)=0.1 m,U2(0)=0。假定碰撞過程中無能量損失。

滿足動(dòng)量守恒的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)理論解見圖2(a)；采用Newmark-β法和Willson-θ法傳統(tǒng)時(shí)程分析方法，以及所提出的精細(xì)積分法求解的位移響應(yīng)見圖2(b)圖2(d)，求解積分時(shí)間步長取0.000 1 s和0.000 2 s。由圖2可知，Newmark-β法和Willson-θ法采用0.000 1 s積分步長的計(jì)算結(jié)果與理論解有較大誤差，只有取更小的積分步長才可使其精度增加；且傳統(tǒng)時(shí)程積分方法受時(shí)間步長影響較大，隨著時(shí)間的推移，誤差在積分步長采用0.000 2 s時(shí)較0.000 1 s明顯增加，此時(shí)計(jì)算穩(wěn)定性較差。而精細(xì)積分法采用0.000 1 s積分步長的計(jì)算結(jié)果與理論解非常接近，表明與傳統(tǒng)積分法采用相同積分步長時(shí)，其計(jì)算精度較高；積分步長取0.000 2 s的計(jì)算結(jié)果仍然與理論解吻合，說明該方法在碰撞問題計(jì)算中也很穩(wěn)定，且總體計(jì)算誤差較其它兩種方法小很多，這也意味著選擇相對(duì)較大的積分步長不但保證精度和穩(wěn)定性，還可以使計(jì)算效率提高。

采用精細(xì)積分法計(jì)算的碰撞力時(shí)程見圖3，可以看出，基于精細(xì)積分法求解的結(jié)構(gòu)位移時(shí)程與理論位移時(shí)程的峰值和相位一致，精細(xì)積分法求解的碰撞次數(shù)為6次，總體與理論相符，但碰撞位置有細(xì)微變化，并且隨著時(shí)間推移差異有些許的增加趨勢(shì)，這是因?yàn)槔碚摻鉂M足動(dòng)量守恒定律，碰撞是在瞬間完成的，而采用接觸模型的碰撞力總是有作用過程，這一過程隨著接觸碰撞剛度的增大而減小，其位移解也更接近理論解。

圖2　質(zhì)點(diǎn)位移響應(yīng) Fig.2 Displacement response of two masses

綜上，精細(xì)積分法求解碰撞問題是有效的、實(shí)用的，由式(20)和式(21)知，精細(xì)積分法理論上可以實(shí)現(xiàn)任何精度。但由于碰撞過程短暫，采用精細(xì)積分法理論上宜選擇較短的積分步長，這是由碰撞接觸問題的特點(diǎn)和機(jī)理決定，而非精細(xì)積分法本身算法機(jī)理決定，根據(jù)本算例驗(yàn)證，在碰撞問題研究中選擇積分步長0.000 2 s較為合適的，尤其利用精細(xì)積分法的穩(wěn)定性特點(diǎn)，對(duì)于非撞擊時(shí)刻可選擇更大的積分步長，即變步長算法，可使計(jì)算效率大為提高。

圖3　基于精細(xì)積分法的碰撞力時(shí)程 Fig.3 Pounding force time history used precise integration method

3結(jié)構(gòu)碰撞反應(yīng)譜

(k=1,2)

(23)

基于精細(xì)積分法進(jìn)行結(jié)構(gòu)碰撞加速度反應(yīng)譜曲線研究，圖1中左側(cè)為1#結(jié)構(gòu)，右側(cè)為2#結(jié)構(gòu)，碰撞參數(shù)選取如下：

結(jié)構(gòu)質(zhì)量m1=m2=106kg，結(jié)構(gòu)阻尼比ξ1=ξ2=0.05，初始間隙d=0.05 m，相鄰結(jié)構(gòu)的自振周期T1和T2為0.05～3 s，對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)剛度k1和k2為4.39×106～1.58×1010N/m，周期間隔為 0.05 s。輸入地震動(dòng)采El-centro波(1940年，NS)，加速度峰值PGA=3.069 4 m/s2。

因碰撞結(jié)構(gòu)是相鄰兩個(gè)單自由度體系，需要采用三維圖形表示，為了更直觀的觀察對(duì)比，將結(jié)構(gòu)無碰撞反應(yīng)譜也表示為三維形式。

3.1阻尼比影響

圖4給出相鄰結(jié)構(gòu)阻尼比相等且一致變化的碰撞加速度反應(yīng)譜和無碰撞時(shí)的加速度反應(yīng)譜；圖5給出左側(cè)結(jié)構(gòu)阻尼比不變、 右側(cè)結(jié)構(gòu)阻尼比改變的碰撞加

圖4　x結(jié)構(gòu)阻尼比ξ 1=ξ 2時(shí)的加速度反應(yīng)譜 Fig.4 Acceleration spectra for different values of identical damping ratios, ξ 1= ξ 2, of both structures

速度反應(yīng)譜和無碰撞時(shí)的加速度反應(yīng)譜；以下左側(cè)圖為1#結(jié)構(gòu)加速度反應(yīng)譜，右側(cè)圖為2#結(jié)構(gòu)加速度反應(yīng)譜。表1給出不同阻尼比情況下的碰撞加速度譜峰值，可以看出，無碰撞情況下，加速度反應(yīng)譜響應(yīng)隨著周期的增加而減小，碰撞發(fā)生時(shí)，這一現(xiàn)象不在存在；碰撞加大了結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，在結(jié)構(gòu)阻尼比都為0.02時(shí),2#結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)增加幅值為120%；最大加速度響應(yīng)對(duì)應(yīng)的周期點(diǎn)也發(fā)生改變。隨著阻尼比的增大，結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)增加幅度降低。

圖5　1 #結(jié)構(gòu)阻尼比ξ 1=0.05，2 #結(jié)構(gòu)阻尼比ξ 2變化的加速度反應(yīng)譜 Fig.5 Acceleration spectra for different values of damping ratio of 2 # structure ξ 2and constant value of damping ratio of 1 # structure ξ 1=0.05

由圖4及表1，阻尼比在0～0.02范圍時(shí)，2#結(jié)構(gòu)因碰撞引起的加速度響應(yīng)強(qiáng)于1#結(jié)構(gòu)，阻尼比在0.02～0.2范圍，2#結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)則減弱，低于1#結(jié)構(gòu)響應(yīng)，總體差別在3%～26%。表明對(duì)于動(dòng)力特性相同的兩相鄰結(jié)構(gòu)，碰撞影響下產(chǎn)生的加速度響應(yīng)有差異。由圖5及表1，阻尼比差別越大，碰撞引起的加速度響應(yīng)隨之減小。

由圖4～圖5，對(duì)于碰撞結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)阻尼比的增大，使加速度響應(yīng)為零的區(qū)域增加，此區(qū)域相鄰結(jié)構(gòu)的自振周期相當(dāng)；增大阻尼比，結(jié)構(gòu)不發(fā)生碰撞的區(qū)域增加，此區(qū)域結(jié)構(gòu)碰撞反應(yīng)譜與無碰撞反應(yīng)譜形狀一致。阻尼比在0～0.05范圍時(shí)，碰撞加速度反應(yīng)譜曲線多棱角和毛刺，在阻尼比為0.05～0.2范圍，譜曲線逐漸轉(zhuǎn)為圓滑，表明小阻尼結(jié)構(gòu)受碰撞影響產(chǎn)生的響應(yīng)較大阻尼結(jié)構(gòu)強(qiáng)烈，因阻尼增加使結(jié)構(gòu)的振動(dòng)衰減加快，從而降低加速度響應(yīng)，使譜曲線較為緩和。

圖6　不同間隙的碰撞加速度反應(yīng)譜 Fig.6 Acceleration spectra for different values of gap size between structures

表1　碰撞加速度反應(yīng)譜峰值(m/s 2)

3.2間隙影響

圖6給出初始間隙不同的相鄰結(jié)構(gòu)加速度反應(yīng)譜和無碰撞的加速度反應(yīng)譜，表2給出碰撞加速度反應(yīng)譜峰值。可以看出，碰撞加大了結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，在間隙為0.25 m時(shí)，碰撞使2#結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)增加47%。

隨著間隙的逐漸增加，結(jié)構(gòu)的加速度反應(yīng)譜峰值有增有減，在間隙分別為0和0.25 m時(shí)，1#和2#結(jié)構(gòu)碰撞加速度響應(yīng)總體降低幅度都為31%，表明設(shè)置足夠大的初始間隙可以減小結(jié)構(gòu)的碰撞響應(yīng)。間隙在00.15 m范圍時(shí)，2#結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)強(qiáng)于1#結(jié)構(gòu)，間隙在0.20.25 m范圍時(shí)，2#結(jié)構(gòu)響應(yīng)則弱于1#結(jié)構(gòu)，總體1#和2#結(jié)構(gòu)因碰撞引起的響應(yīng)差別在07%，表明碰撞引起相鄰結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)有差異，間隙改變對(duì)這種差異的影響并不顯著。

表2　碰撞加速度反應(yīng)譜峰值(m/s 2)

由圖6，間隙的增加，使結(jié)構(gòu)碰撞反應(yīng)譜曲線形狀與無碰撞時(shí)完全一致的區(qū)域逐漸增加，在間隙增大時(shí)，這一現(xiàn)象尤其明顯。在間隙在00.05m范圍，阻尼比相等，相鄰結(jié)構(gòu)周期較小時(shí)時(shí)碰撞響應(yīng)也相對(duì)較劇烈；間隙在0.10.2m范圍，轉(zhuǎn)為長周期時(shí)發(fā)生相對(duì)較大的加速度響應(yīng)。

4結(jié)論

基于精細(xì)積分法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了碰撞加速度反應(yīng)譜分析，精細(xì)積分法具有無條件穩(wěn)定與高精度解的特點(diǎn)，應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的碰撞響應(yīng)分析中，提高計(jì)算效率和計(jì)算精度。主要結(jié)論如下：

(1) 精細(xì)積分方法理論上可實(shí)現(xiàn)任意精度，基于精細(xì)積分法推導(dǎo)的碰撞理論公式適宜于結(jié)構(gòu)碰撞研究與應(yīng)用。由于碰撞發(fā)生時(shí)間很短，精細(xì)積分法宜采用變步長以更快速的求解結(jié)構(gòu)碰撞問題。但由積分步長選擇產(chǎn)生的精度誤差并非精細(xì)積分法本身造成的，而是由碰撞發(fā)生時(shí)間和機(jī)理決定。

(2) 碰撞會(huì)加大結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，響應(yīng)大小與地震作用和結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性有關(guān)；碰撞對(duì)動(dòng)力特性相同的兩相鄰結(jié)構(gòu)造成的響應(yīng)有差異。阻尼比差別引起的相鄰結(jié)構(gòu)的加速度差異較為顯著，間隙引起的響應(yīng)差異則相對(duì)小一些。

(3) 相鄰結(jié)構(gòu)的阻尼比增大和阻尼比差別增加，在地震作用下因碰撞產(chǎn)生的加速度響應(yīng)會(huì)降低。

(4) 若相鄰結(jié)構(gòu)設(shè)置足夠的初始間隙，可減小結(jié)構(gòu)碰撞的可能性和加速度響應(yīng)。

參 考 文 獻(xiàn)

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