鄭小帆, 顏閩秀

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

在混沌同步控制中，控制器參數(shù)的給定主要依靠設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)或者是對(duì)系統(tǒng)的充分認(rèn)識(shí).近年來(lái)，線性矩陣不等式(LMI)方法[11]，由于其具有高效的求解算法和能獲得全局最優(yōu)解的特點(diǎn)，引起了控制界的關(guān)注，成為魯棒控制分析與設(shè)計(jì)的重要方法.但該方法求取的結(jié)果相對(duì)保守，且可解性較低.因此，本文針對(duì)超混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題設(shè)計(jì)了主動(dòng)靜態(tài)輸出狀態(tài)反饋控制器.反饋的增益矩陣采用一種相對(duì)于LMI方法具有較好可解性的迭代線性矩陣不等式(ILMI)算法來(lái)獲取.最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證了該控制器的有效性.

1 同步誤差系統(tǒng)的描述

將非線性超混沌系統(tǒng)作為主動(dòng)系統(tǒng)：

y(t)=Cx(t)

(1)

將另一個(gè)超混沌系統(tǒng)表示為被動(dòng)系統(tǒng)：

(2)

將系統(tǒng)(1)和(2)的同步誤差表示為：

(3)

當(dāng)β=[-1,-1,…,-1,-1]T時(shí)，表示兩個(gè)系統(tǒng)完全同步，當(dāng)β=[1,1,…,1,1]T時(shí)，表示兩個(gè)系統(tǒng)是反同步.

同步和反同步誤差的微分方程可以描述為：

(4)

通過(guò)設(shè)計(jì)加在響應(yīng)系統(tǒng)上的控制器，使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步，即要滿(mǎn)足

2 控制器的設(shè)計(jì)和分析

(1)S<0.

推論1對(duì)于給定的X>0,如果存在正定的對(duì)稱(chēng)矩陣PT=P和相應(yīng)的K滿(mǎn)足下列的線性矩陣不等式：

(5)

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(4)是穩(wěn)定的，控制器形式為

(6)

(A+BKC)e(t)

(7)

選取正定的李雅普諾夫函數(shù)為V=eT(t)Pe(t)>0,其中PT=P>0.

把該函數(shù)對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)得

eT(t)[(A+BKC)TP+P(A+BKC)]e(t)≤

eT(t)[(A+BKC)TP+P(A+BKC)+

CTKTKC]e(t)=eT(t)[ATP+PA-PBBTP+

(BTP+KC)T(BTP+KC)]e(t)

(8)

顯然-PBBTP≤0，即-PBBTP是非正定的.該不等式不能簡(jiǎn)化成線性矩陣不等式的形式.因此，引入了一個(gè)附加的正定的對(duì)稱(chēng)矩陣變量X.顯然(X-P)TBBT(X-P)≥0,其中X和P具有相同的維數(shù).那么可有

-XBBTP-PBBTX+XBBTX≥-PBBTP

(9)

公式(8)可以化簡(jiǎn)為：

PBBTX+XiBBTX+

(BTP+KC)T(BTP+KC)]e(t)

(10)

如果下列的矩陣不等式成立

ATP+PA-XBBTP-PBBTX+XBBTX+

(BTP+KC)T(BTP+KC)≤0

(11)

可得

(12)

基于李雅普諾夫理論，如果存在一個(gè)正定的對(duì)稱(chēng)矩陣PT=P和相應(yīng)的矩陣K滿(mǎn)足矩陣不等式(11)成立，則系統(tǒng)(4)是穩(wěn)定的，即兩個(gè)超混沌系統(tǒng)能夠穩(wěn)定同步.

應(yīng)用定理1，選取S22=-I，矩陣不等式(11)可以等價(jià)為

(13)

如果給定一個(gè)正定的對(duì)稱(chēng)矩陣X，公式(13)就可以簡(jiǎn)化為求解未知P和K的LMI問(wèn)題.

證明完畢.

定理2當(dāng)且僅當(dāng)存在P和K滿(mǎn)足下列矩陣不等式(14)時(shí)，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(4)是α穩(wěn)定的.

ATP+PA-XBBTP-PBBTX+XBBTX+

(BTP+KC)T(BTP+KC)-αP≤0

(14)

此時(shí)，在整個(gè)復(fù)頻域中，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值都在R(s)=α的左邊平面.隨著α的減小，閉環(huán)系統(tǒng)的特征值也在R(s)=α的左半平面內(nèi)平移.當(dāng)α<0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值都在負(fù)半平面，系統(tǒng)就達(dá)到穩(wěn)定了.為了增加LMI有解的可能性，引入了迭代線性矩陣不等式(ILMI)算法對(duì)不等式(13)進(jìn)行求解.設(shè)系統(tǒng)由(A,B,C)表示，迭代線性矩陣不等式算法的步驟如下：

步驟1： 選取Q>0，根據(jù)黎卡提方程ATP+PA-PBBTP+Q=0,P=PT>0求解得到P.設(shè)j=1，X1=P.

步驟2： 求解下列關(guān)于Pj、K和αj的最優(yōu)化問(wèn)題.

OP1.求解以下約束條件下αj的最小值.

(15)

步驟7： 如果ILMI算法不能得到合適的增益矩陣，應(yīng)重新選定矩陣Q，再次進(jìn)行ILMI算法.

3 仿真分析與討論

為了便于數(shù)值仿真,假設(shè)式(4)中的參數(shù)：

(16)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的修正投影同步控制器的有效性，以超混沌Lorenz 系統(tǒng)和Chen 系統(tǒng)為例進(jìn)行研究.超混沌Chen系統(tǒng)可以用下面的方程表示：

(17)

其中a=35,b=7,c=12,d=3,r=0.5.

超混沌Lorenz系統(tǒng)可以用下面的方程表示：

(18)

其中a=10,b=28,c=8/3,d=1.3.

3.1 超混沌Chen系統(tǒng)的同步

選取X=I，使用Matlab中的LMI工具箱直接求解推論1中的線性矩陣不等式，然而卻得不到一個(gè)可行的結(jié)果.選取Q=I，利用迭代LMI算法來(lái)求解相應(yīng)的LMI問(wèn)題，得到了一系列可行的結(jié)果.推論1的仿真結(jié)果和應(yīng)用迭代LMI算法的結(jié)果的可行性見(jiàn)表1.由迭代LMI算法計(jì)算得到的P如下所示：

(19)

表1 LMI和ILMI算法的求解結(jié)果

Table 1 Solve results of LMI and ILMI algorithm

通過(guò)數(shù)值仿真結(jié)果可以看出：兩個(gè)系統(tǒng)的同步誤差在10 s前沒(méi)加入控制時(shí)不為0，在第10 s加入控制器后很快達(dá)到穩(wěn)定并且誤差是趨于零的.即加入設(shè)計(jì)的輸出狀態(tài)反饋控制器后，兩個(gè)超混沌系統(tǒng)能達(dá)到很好的同步效果.系統(tǒng)的同步誤差如圖1所示.

圖1 Chen系統(tǒng)的同步誤差

3.2 超混沌Lorenz系統(tǒng)的反同步

選取X=I,推論1的直接仿真結(jié)果和應(yīng)用迭代LMI算法結(jié)果的可行性見(jiàn)表2.選取Q=I，由迭代LMI算法計(jì)算得到的P如下：

(20)

表2 LMI和ILMI算法的求解結(jié)果

Table 2 Solve results of LMI and ILMI algorithm

系統(tǒng)的同步誤差如圖2所示.由圖2可以看出：兩個(gè)系統(tǒng)的同步誤差在10 s前沒(méi)加入控制時(shí)不為0，在第10 s加入控制器后很快達(dá)到穩(wěn)定并且誤差趨于0,即加入設(shè)計(jì)的輸出狀態(tài)反饋控制器后，兩個(gè)超混沌系統(tǒng)能達(dá)到很好的反同步效果.

圖2 Lorenz系統(tǒng)的反同步誤差

4 結(jié) 論

研究了超混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題.利用Lyapunov穩(wěn)定理論，給出了主動(dòng)靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方法及求解反饋增益矩陣的線性矩陣不等式，并將這種混沌系統(tǒng)同步方法應(yīng)用于超混沌Chen系統(tǒng)的同步和Lorenz系統(tǒng)的反同步中.實(shí)驗(yàn)表明：迭代線性矩陣不等式(ILMI)算法比LMI方法更容易得到可行解.數(shù)值仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

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