物理問(wèn)題中神奇的臨界條件——共速

韋中燊

(北京市大興第一中學(xué)北京102600)

周 蕊

(首都師范大學(xué)物理系北京100048)

摘 要：臨界問(wèn)題是諸多物理問(wèn)題中很值得重視的一類.解決臨界問(wèn)題的關(guān)鍵是找出臨界條件.仔細(xì)關(guān)注一下諸多的臨界問(wèn)題之后，會(huì)有一個(gè)很有意思的發(fā)現(xiàn)，就是“共速”是許多臨界問(wèn)題中的臨界條件.

關(guān)鍵詞：臨界問(wèn)題臨界條件共速

收稿日期：(2015-04-02)

1追及與相遇問(wèn)題中的共速

追及與相遇類問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，涉及到兩個(gè)研究對(duì)象，物理量之間的關(guān)系相對(duì)較為復(fù)雜.在追及與相遇類問(wèn)題中就有很多的臨界問(wèn)題，其中涉及的臨界條件正是“共速”.這里討論下面兩種情況.

第一種：恰好追上(相撞)或追不上(撞不上)

在諸多追及(相撞)問(wèn)題中，有勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體追及(相撞)勻速直線運(yùn)動(dòng)物體和勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體追及(相撞)勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體這兩種情形.這兩種情形中，前者恰好能夠追上(相撞)后者的臨界條件，正是共速.因?yàn)?，如果?dāng)兩者速度相同的時(shí)候，前者還不能追上(相撞)后者，那么在這個(gè)時(shí)刻之后，前者的速度將會(huì)小于后者的速度，再也不可能追上(相撞)后者.

第二種：兩者之間距離最大或者最小

追及問(wèn)題中，如果是勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體追及勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在兩者速度相同時(shí)，如果前者還沒(méi)有追上后者，就會(huì)出現(xiàn)兩者之間距離最小的情況.因?yàn)樵诖藭r(shí)刻之前，前者的速度比后者大，相同時(shí)間內(nèi)前者的位移比后者大，兩者之間的距離會(huì)隨時(shí)間縮短.在此時(shí)刻之后，前者的速度比后者小，兩者之間的距離又被拉大.

如果是勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體追及勻速直線運(yùn)動(dòng)物體，在速度相等時(shí)刻前者沒(méi)有追上后者，也會(huì)出現(xiàn)兩者距離最小的情形.

如果是一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體去追及一個(gè)勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體，而且后者的初速度比前者的速度大，在兩者速度相等的情況下，就會(huì)出現(xiàn)兩者之間距離最大的情況.因?yàn)?，在此時(shí)刻之前，前者的速度比后者小，相同時(shí)間內(nèi)的位移前者小于后者，兩者之間的距離會(huì)隨著時(shí)間變大，當(dāng)兩者速度相等時(shí)這個(gè)距離達(dá)到最大.

同樣，一個(gè)初速度小的勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體追及一個(gè)初速度大的勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體時(shí)，也會(huì)在兩者速度相同時(shí)出現(xiàn)兩者距離最大的情況.

2“板塊(車塊)”模型中的共速

【例1】如圖1所示，質(zhì)量m1=0.3 kg 的小車靜止在光滑的水平面上，車長(zhǎng)L=1.5 m，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m2=0.2 kg可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊，以水平向右的速度v0從小車左端開(kāi)始滑行.物塊與車平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，取g=10 m/s2，求要使物塊不從小車右端滑出，物塊位于小車左端的速度v0就不能超過(guò)多少？

圖1

分析：物塊在小車上滑行時(shí)，受到水平向左的滑動(dòng)摩擦力，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，小車受到水平向右的滑動(dòng)摩擦力，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，要使物塊恰好不從小車上滑出，需物塊到小車右端時(shí)與小車有共同的速度v.然后，在此基礎(chǔ)上，只要根據(jù)動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系就可以很順利地解決此問(wèn)題了.

3“子彈擊打木塊”模型中的共速

【例2】如圖2所示，質(zhì)量為M的木塊放在光滑水平面上，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈向右以速度v0射入木塊中．設(shè)子彈在木塊中所受阻力不變，且子彈未射穿木塊．試求：子彈、木塊相對(duì)靜止時(shí)的速度v.

圖2

分析：兩個(gè)物體之間處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的特征就是兩者速度相等.對(duì)于子彈擊打木塊模型，只要子彈最終留在了木塊中，擁有共同速度將是必然的結(jié)果.在此基礎(chǔ)上，利用動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系就可以解決相關(guān)問(wèn)題了.

4“彈簧模型”中的共速

“彈簧模型”也可以看成一個(gè)類子彈打擊木塊的模型，不過(guò)在“彈簧模型”中，當(dāng)兩個(gè)物體的速度相同時(shí)，會(huì)出現(xiàn)彈性勢(shì)能最大的情形.對(duì)于彈簧來(lái)說(shuō)，彈性勢(shì)能最大，意味著彈簧的形變量最大，所以又關(guān)聯(lián)著一個(gè)兩物體之間距離最大或者最小的問(wèn)題.

【例3】如圖3所示，光滑水平直軌道上有3個(gè)質(zhì)量均為m的物塊A，B，C. B的左側(cè)固定一輕彈簧(彈簧左側(cè)的擋板質(zhì)量不計(jì)).設(shè)A以速度v0朝B運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧；當(dāng)A和B速度相等時(shí)，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng).假設(shè)B和C碰撞過(guò)程時(shí)間極短.求從A開(kāi)始?jí)嚎s彈簧直至與彈簧分離的過(guò)程中，彈簧被壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能.

圖3

解析：在這個(gè)問(wèn)題中，彈簧壓縮到最短時(shí)的狀態(tài)就是物塊A,B,C三者速度相同的時(shí)候.具體解答過(guò)程如下.

從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度v1時(shí)，對(duì)A,B與彈簧組成的系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得

mv0=2mv1

(1)

此時(shí)B與C發(fā)生完全非彈性碰撞.設(shè)碰撞后的瞬時(shí)速度為v2，損失的機(jī)械能為ΔE.對(duì)B,C組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得

mv1=2mv2

(2)

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)得

(4)

由式(2)可知v2

mv0=3mv3

(5)

(6)

聯(lián)立式(4)～(6)得

(7)

5電磁感應(yīng)中雙桿在軌道上滑動(dòng)類問(wèn)題中的共速

【例4】如圖4所示，寬為l光滑的導(dǎo)電軌道的弧形部分處于磁場(chǎng)外，軌道的水平部分處于垂直軌道平面向上、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)量為2m的金屬桿cd靜止在水平軌道上，另一質(zhì)量為m的金屬桿ab，從弧形軌道上h高處由靜止開(kāi)始下滑.設(shè)ab桿和cd桿始終與軌道垂直，且接觸良好，ab桿與cd桿不會(huì)相碰，ab和cd桿的電阻均為R，軌道電阻不計(jì)，重力加速度為g.求：在ab桿運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中可產(chǎn)生的熱量.

圖4

分析：桿ab從弧形軌道上滑下來(lái)之后，以某一速度進(jìn)入水平軌道的磁場(chǎng)區(qū)域，開(kāi)始切割磁感線，使得回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，同時(shí)使得桿ab和桿cd都受到了安培力，其中桿ab開(kāi)始做減速運(yùn)動(dòng)，桿cd開(kāi)始做加速運(yùn)動(dòng)，桿cd運(yùn)動(dòng)后也會(huì)切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，這個(gè)電動(dòng)勢(shì)會(huì)起到削弱桿ab產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的作用.最終，當(dāng)桿ab和桿cd的速度大小相等時(shí)，回路中感應(yīng)電流消失，兩桿將保持這個(gè)速度開(kāi)始勻速直線運(yùn)動(dòng).

6結(jié)語(yǔ)

共速是指兩個(gè)或多個(gè)物體速度或者速度的大小相等.共速也是上述諸多問(wèn)題中的臨界條件.那么，為什么“共速”會(huì)成為這么多問(wèn)題中的重要特征條件呢？

首先，研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是高中物理問(wèn)題的核心之一.描述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，主要集中在速度、位移、時(shí)間和加速度這4個(gè)基本物理量上.在這4個(gè)物理量中，加速度是由于物體的受力而產(chǎn)生的，它是其他物體與該物體之間相互作用的具體體現(xiàn).至于速度，則是反應(yīng)物體運(yùn)動(dòng)快慢和方向的重要物理量，而它的變化快慢則又與加速度有關(guān).

其次，當(dāng)兩個(gè)物體在一起的時(shí)候，它們之間可能的相互作用(追及類問(wèn)題中的兩個(gè)物體之間并不存在相互作用)只有力的作用，其他的物理特征量是并不相互干擾影響的，包括速度，也就是說(shuō)一個(gè)物體并不會(huì)把自己的速度傳遞給其他的物體.但是，物體之間產(chǎn)生力的相互作用時(shí)，又會(huì)受到相互速度條件的影響，尤其是當(dāng)相互作用產(chǎn)生的力是摩擦力時(shí).兩個(gè)物體速度相同的時(shí)候，兩者處于相對(duì)靜止的狀態(tài)，摩擦力產(chǎn)生的條件不充分.

所以，關(guān)于“共速”，它只是諸多雙體問(wèn)題中的臨界條件，并不是關(guān)聯(lián)條件.