利用橫波討論產(chǎn)生半波損失的條件*①

周 越

(北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院北京100083)

張國(guó)鋒

(北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院北京100191)

*中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助，項(xiàng)目編號(hào)：TD2014-04；北京航空航天大學(xué)校級(jí)重點(diǎn)教改項(xiàng)目資助，項(xiàng)目編號(hào)：4325011

摘 要：基于弦線上傳播的機(jī)械橫波定量討論了產(chǎn)生半波損失的條件.

關(guān)鍵詞：機(jī)械波半波損失反射

作者簡(jiǎn)介：周越(1982- )，男，講師，主要從事普通物理和電子學(xué)教學(xué)與研究工作.

通訊作者：張國(guó)鋒(1978-)，男，副教授，主要從事量子光學(xué)、量子信息學(xué)的研究工作.

收稿日期：(2014-11-17)

1引言

機(jī)械波傳播到介質(zhì)分界面時(shí)一般會(huì)發(fā)生反射和透射現(xiàn)象. 根據(jù)反射面的性質(zhì)不同，反射波相對(duì)于入射波的相位可能發(fā)生π的躍變，稱為半波損失. 對(duì)于產(chǎn)生半波損失的條件，限于課時(shí)和篇幅，很多教材只是直接給出結(jié)論，即當(dāng)機(jī)械波從密度ρ和波速u乘積較小的介質(zhì)入射到ρu較大的介質(zhì)的分界面時(shí)，反射波存在半波損失；反之則不存在半波損失[1]. 部分教材以弦線上傳播的簡(jiǎn)諧波為例，直觀地展示波為何在固定端的反射存在半波損失，而在自由端的反射不存在半波損失[2]. 但是，實(shí)際的介質(zhì)分界面并非是完全固定或絕對(duì)自由的，用上述實(shí)例來說明問題，學(xué)生仍普遍感到人為性較強(qiáng). 如果能用一個(gè)比較簡(jiǎn)單的模型定量說明產(chǎn)生半波損失的條件，有利于學(xué)生加深對(duì)這個(gè)問題的理解. 在弦線上傳播的簡(jiǎn)諧橫波圖像直觀，且不涉及材料力學(xué)的背景知識(shí)，是較理想的物理系統(tǒng). 本文在文獻(xiàn)[2]中模型的基礎(chǔ)上略加改變，給出一種簡(jiǎn)明的定量分析方法，便于學(xué)生理解和接受.

2物理模型

考慮如圖1所示的系統(tǒng)，兩根不同材質(zhì)的弦線通過一個(gè)輕環(huán)相連，輕環(huán)套在一個(gè)豎直的桿上，并可以沿豎桿無摩擦地滑動(dòng)；兩根弦線分別用T1和T2的力拉緊. 取輕環(huán)的平衡位置為原點(diǎn)，以弦線的方向?yàn)閤軸，豎桿的方向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系.

圖1　介質(zhì)分界面示意圖

假定有一列向x軸正方向傳播的簡(jiǎn)諧橫波，在輕環(huán)處發(fā)生反射和透射,則在輕環(huán)的左側(cè)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)為入射波和反射波的疊加，可以一般地表示為

(1)

其中右邊第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為入射波和反射波. 在x軸正半軸只有沿原方向傳播的透射波，其波動(dòng)方程為

(2)

在以上兩式中u1和u2分別是兩種材質(zhì)弦線中的波速.

3相位和振幅的關(guān)系

在介質(zhì)分界面處，入射波、反射波和透射波的相位關(guān)系取決于φ1，φ2和φ3的值，下面分析三者的關(guān)系. 根據(jù)弦線在x=0處的連續(xù)性可得y1(0,t)=y2(0,t)，因此有

A1cos(ωt+φ1)+A2cos(ωt+φ2)=

A3cos(ωt+φ3)

(3)

A1sinφ1+A2sinφ2=A3sinφ3

(4)

A1cosφ1+A2cosφ2=A3cosφ3

(5)

由于輕環(huán)的質(zhì)量可忽略，要使輕環(huán)的加速度為有限值，輕環(huán)在y軸方向所受的合力必須趨于零. 由圖2可知，輕環(huán)兩側(cè)的弦線在水平方向上的張力和弦線斜率的乘積相等.

圖2　輕環(huán)的受力分析

這樣得到第二個(gè)邊界條件

(6)

將式(1)、(2)代入可得

(7)

ρ1u1A1sinφ1-ρ1u1A2sinφ2=ρ2u2A3sinφ3

(8)

ρ1u1A1cosφ1-ρ1u1A2cosφ2=ρ2u2A3cosφ3

(9)

由式(4)、(8)可得

(10)

(11)

由式(5)、(9)可得

(12)

(13)

利用以上4個(gè)關(guān)系可以得到

tanφ1=tanφ2=tanφ3

即入射波、反射波和透射波在分界面處的相位或者相同，或者相差π. 由式(11)可知，當(dāng)ρ1u1>ρ2u2時(shí)，sinφ1和sinφ2同號(hào)，故入射波與反射波同相；當(dāng)ρ1u1<ρ2u2時(shí)，sinφ1和sinφ2異號(hào)，因此φ2=φ1+π，反射波相對(duì)于入射波的相位發(fā)生了π的躍變，即所謂半波損失. 而無論兩種介質(zhì)的ρu是何種關(guān)系，sinφ3和sinφ1均同號(hào)，因此在任何情況下透射波都不存在半波損失.

式(10)和式(11)同時(shí)還給出了反射波和透射波的幅度關(guān)系. 一般而言，弦線上既存在反射波又存在透射波. 當(dāng)ρ1u1=ρ2u2時(shí)，A2=0，介質(zhì)分界面處無反射；當(dāng)ρ2趨于零或者右側(cè)弦線不存在時(shí)，輕環(huán)對(duì)左側(cè)弦線的作用力無y軸方向的分量，對(duì)應(yīng)于自由端反射的情況，這時(shí)A2=A1，A3=0，發(fā)生全反射且反射面為駐波的波腹；當(dāng)ρ2趨于∞時(shí)，右側(cè)弦線的位移趨于零，相當(dāng)于輕環(huán)被固定在平衡位置上，對(duì)應(yīng)于固定端反射的情況，這時(shí)A2=-A1，A3=0，發(fā)生全反射且反射面為駐波的波節(jié).

參 考 文 獻(xiàn)

1張文杰,曹陽. 大學(xué)物理教程.北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社,2009. 65

2哈里德，瑞斯尼克，沃克．物理學(xué)基礎(chǔ)．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2015.416

Discussion on the Condition of Half-wave

Loss Using Transverse Wave

Abstract:The condition of half-wave loss is discussed based on the transverse mechanical wave on a string.

Key words: mechanical wave; half-wave loss; reflection