均值不等式在高中物理解題中的應(yīng)用*

楊紹林

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院云南 昆明650500；

昆明一中度假區(qū)分校金岸中學(xué)云南 昆明650031)

彭朝陽

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院云南 昆明650500)

中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究教學(xué)案例建設(shè)，編號(hào)：YJG2014-A05

摘 要：運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題，是高考考查學(xué)生能力的方式之一，而高中物理問題中常出現(xiàn)求極值問題，如：最長(zhǎng)、最大、最短、至少、最多等．這些問題滲透在物理中的運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)、電磁學(xué)和電學(xué)等問題中．均值不等式是求解極值問題有效的方法，分為定和求積與定積求和兩種形式．在物理解題中有許多極值題可以構(gòu)造出定和或定積的形式，進(jìn)而求出最大值或最小值．

關(guān)鍵詞：極值問題均值不等式定和求積定積求和

作者簡(jiǎn)介：楊紹林(1985-)，男，在讀碩士研究生.

通訊作者：彭朝陽(1971-)，男，教授，主要從事物理教育教學(xué)研究.

收稿日期：(2015-05-26)

每年各種各樣的高考模擬題、高考仿真卷、高考試題中，出現(xiàn)用均值不等式解題的極值問題較多，所以教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該多滲透用均值不等式來求解，不僅省時(shí)省力，學(xué)生用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力也會(huì)得到提高．

但現(xiàn)在教師們多數(shù)停留在普通的數(shù)學(xué)求解和單純的解題，沒有把物理思想和解題規(guī)律進(jìn)行融合和歸納總結(jié)，使得學(xué)生不得解極值問題的精髓．就這些問題，下面例舉一些均值不等式的應(yīng)用，以期加深對(duì)此類問題的理解．

1均值不等式在高考模擬題中的應(yīng)用

【例1】如圖1半徑為R的半圓形光滑凹槽固定，質(zhì)量為m的小球Q，從最高點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至B的過程中，在什么位置重力做功的功率最大？最大值是多少？

圖1

解析：設(shè)小球Q運(yùn)動(dòng)到A與B間某位置P時(shí)，半徑OP與水平方向成θ角，此時(shí)瞬時(shí)速度為v，則此時(shí)重力的瞬時(shí)功率為

P=mgvcosθ

(1)

由機(jī)械能守恒定律的

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為求極值

y=sinθcos2θ

(4)

將式(4)做數(shù)學(xué)變形如下

(5)

由均值不等式得

(6)

(7)

將式(7)代入式(3)得

(8)

【例2】如圖2所示，R1=2 Ω，R2=3 Ω，滑動(dòng)變阻器的最大阻值R3=5 Ω，則在滑片從a端滑到b端的過程中，電流示數(shù)的最小值為多少？

圖2

解析：設(shè)滑片上部分電阻為Rx，則下部分電阻為(5-Rx) .

電路的總電阻為

利用均值不等式

(2+Rx)(8-Rx)≤

當(dāng)(2+Rx)=(8-Rx)時(shí)，即Rx=3 Ω時(shí)，R最大，電流表的示數(shù)最?。藭r(shí)

電流表示數(shù)

本題的極值問題也是屬于均值不等式的“定和求積問題”，即(2+Rx)和(8-Rx)的和是定值，那么(2+Rx)(8-Rx)必有最大值[1]．

【例3】如圖3所示，已知電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，開關(guān)S閉合后，求R為多大時(shí)，電源輸出功率有最大值 ?

圖3

解析：由題意可知，電源的輸出功率最大值為

由均值不等式可知

2均值不等式在高考仿真卷中的應(yīng)用

【例4】如圖4所示，AOC是光滑的直角金屬導(dǎo)軌，AO沿豎直方向，OC沿水平方向，ab是一根金屬直棒，如圖立在導(dǎo)軌上，b端比a端更靠近O點(diǎn)．它從靜止開始在重力作用下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中b端始終在OC上，a端始終在AO上，直到ab完全落在OC上．整個(gè)裝置放在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，則ab棒在運(yùn)動(dòng)過程中

A．感應(yīng)電流方向始終是b→a

B．感應(yīng)電流方向先是b→a，后變?yōu)閍→b

C．棒受磁場(chǎng)力方向與ab垂直，如圖中箭頭所示方向

D．棒受磁場(chǎng)力方向與ab垂直，開始如圖中箭頭所示方向，后來變?yōu)榕c箭頭所示方向相反

圖4

本題屬于均值不等式的“定和求積問題”，但根據(jù)均值不等式原理可知，這題兩個(gè)變量相等時(shí)，它們的乘積有最大值[2]．

【例5】水平傳送帶以2 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，傳送帶的兩端距離為2 m，將一物體輕輕放在傳送帶的一段，物體由一端運(yùn)動(dòng)到另一端經(jīng)歷的時(shí)間為11 s，則物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)是多少？(g=10 m/s)要求物體從傳送帶一端A運(yùn)動(dòng)到另一端B用時(shí)最短？

t1+t2=11

v=μgt1

聯(lián)立以上各式得

μ=0.1

由于物體先勻加速再勻速運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間

由均值不等式可知

3均值不等式在高考真題中的應(yīng)用

【例6】(2010年高考江蘇卷第14題)在游樂節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，小明和小陽觀看后對(duì)此進(jìn)行了討論如圖5所示，他們將選手簡(jiǎn)化為質(zhì)量m=60 kg的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩由靜止開始擺動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向夾角α=53°，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3 m，不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深，取重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6．若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，小明認(rèn)為繩越長(zhǎng)，在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽卻認(rèn)為繩越短．落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)請(qǐng)通過推算說明你的觀點(diǎn)．

圖5

分析：由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知最低點(diǎn)松手時(shí)的速度，再由平拋運(yùn)動(dòng)可知水平位移的表達(dá)式，進(jìn)而找到繩長(zhǎng)與落點(diǎn)的關(guān)系．

解析：設(shè)選手從最低點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)速度為v，設(shè)浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊水平距離為x，平拋時(shí)間為t，則

x=vt

由以上各式解得

利用均值不等式

本題中的極值問題是屬于均值不等式中的“定和求積問題”，即l和H-l的和是定值，那么l(H-l)必有最大值．

(1)求繩斷時(shí)球的速度大小v1，和球落地時(shí)的速度大小v2；

(2)問繩能承受的最大拉力多大；

(3)改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)．若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

圖6

解析：根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)能定律可知，第(1)、(2)問中的解為

(3)設(shè)繩長(zhǎng)為l,繩斷時(shí)球的速度大小為v3,繩承受的最大拉力不變，有

得

繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d-l,水平位移為x，時(shí)間為t1.有

x=v3t1

由上式得

又由均值不等式得

本題中的極值問題是屬于均值不等式中的“定和求積問題”，即l和d-l的和是定值，那么l(d-l)必有最大值[4]．

綜上所述，均值不等式是處理物理問題的重要工具，在平時(shí)的物理教學(xué)過程中，教師不僅應(yīng)善于利用均值不等式來分析和處理物理問題，還要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)使用它的方法和技巧，豐富高中學(xué)生的知識(shí)逐步培養(yǎng)學(xué)生利用均值不等式來處理物理問題的習(xí)慣和能力．

參 考 文 獻(xiàn)

1李海平、張瀚澤．高考模擬試題匯編.拉薩：西藏人民出版社，2013.10～17

2謝兆剛．全國(guó)各省市高考試題匯編．合肥：安徽教育出版社，2014.40～47

3魏萬青．金版教程.蘭州：甘肅教育出版社，2016.59

4曲一線．5年高考真題詳解．北京：首都師范大學(xué)出版社，2010.6～10