由平面方向決定的新型行列式

侯汝臣,朱用文,王燕

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東煙臺(tái)264005)

[摘要]設(shè)F是一個(gè)域.任給F中的一對(duì)元素(k1,k2)，給出了(k1,k2)-型行列式的定義.我們指出通常的行列式恰是(1,-1)-型.研究了這些(k1,k2)-行列式的性質(zhì)，指出和通常行列式的相同和不同之處.刻畫(huà)了一些特殊的(r,-r)-型, (r,0)-型和(r,r)-型行列式的性質(zhì).

[關(guān)鍵詞]方陣； 行列式； (k1,k2)-型行列式

[收稿日期]2014-11-20；[修改日期] 2014-12-17

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金(11371307)；煙臺(tái)大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2012C091, 2014C047)

[中圖分類(lèi)號(hào)]O151.22[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

1引言

在線性代數(shù)中，方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式|A|是一個(gè)非常重要的常數(shù).自從萊布尼茨1683年在有記載論文中首次提到行列式到現(xiàn)在，行列式在理論和應(yīng)用上都取得了豐富成果，參考[1],[2],[3]等.豐富和完善行列式理論的一個(gè)重要方向是對(duì)行列式理論進(jìn)行推廣性研究.例如，超多項(xiàng)式理論，擬多項(xiàng)式理論，量子多項(xiàng)式理論等等，參考[4],[5],[6]等.本文定義了一種新型行列式,發(fā)現(xiàn)這種行列式是通常行列式的一種自然且新穎的推廣.對(duì)這種新型行列式的性質(zhì)進(jìn)行了深刻研究，相當(dāng)于對(duì)通常行列式的性質(zhì)從一個(gè)新的角度進(jìn)行了全新理解.這樣，在教學(xué)工作中，我們會(huì)引領(lǐng)學(xué)生以發(fā)散型思維考慮問(wèn)題，加深對(duì)行列式的理解.

若1,2,…,n是n個(gè)緊鄰自然數(shù)，則1,2,…,n按大小關(guān)系有自然的序.設(shè)i1,i2,…,in是1,2,…,n的 一個(gè)排列，則可以定義i1,i2,…,in的逆序數(shù)τ(i1,i2,…,in).

設(shè)F是一個(gè)域，A=(aij)n×n是定義在F上的一個(gè)方陣,A所對(duì)應(yīng)的行列式定義為

注意到n階行列式是n!項(xiàng)的和, 每一項(xiàng)與1,2,…,n的一個(gè)排列對(duì)應(yīng)，確切的說(shuō)，同時(shí)與排列和排列的逆序數(shù)對(duì)應(yīng).受這種觀察的啟發(fā)，作為通常行列式概念的推廣，在本文中給出(k1,k2)-型行列式的定義，其中k1,k2∈F.用P(n)表示1,2,…,n的所有排列組成的集合.

定義1.1設(shè)k1,k2∈F, 在P(n)上定義一個(gè)映射φ(k1,k2)如下：設(shè)σ∈P(n),定義

定義1.2設(shè)A=(aij)n×n是域F上的一個(gè)方陣,k1,k2∈F,定義

其中σ=i1i2…in.

稱(chēng)|A|(k1,k2) 為A所對(duì)應(yīng)的(k1,k2)-型行列式.也用det(k1,k2) (A)表示A所對(duì)應(yīng)的(k1,k2)-型行列式.注意到det(1,-1)(A)恰好是|A|.所以以上定義的(k1,k2)-型行列式確實(shí)是通常行列式的一種推廣.根據(jù)定義注意到det(0,0)(A)=0.本文將刻畫(huà)一般(k1,k2)-型行列式和通過(guò)賦予k1,k2具體的值得到的一些特殊(k1,k2)-型行列式的性質(zhì).如果沒(méi)有特別指出，規(guī)定所有的矩陣都定義在數(shù)域F上.

2(k1,k2)-型行列式的性質(zhì)

設(shè)π∈P(n), 規(guī)定π所代表的1,2,…,n的排列為π(1)π(2)…π(n).首先注意到, 給定 A=(aij)n×n,k1,k2∈F,有

定理2.1如果A是一個(gè)n階方陣,k1,k2∈F,并且k1≠0, 那么

相似的, 如果k2≠0,那么

證如果k1≠0, 那么

k2≠0情況相似可證. 定理證畢.

如果k1∶k2=k3∶k4，由定理2.1，作為從所有n階方陣構(gòu)成的集合到數(shù)域F的算子,會(huì)有det(k1,k2) 和det(k3,k4) 成固定的比例，所以稱(chēng)(k1,k2)-型行列式為由平面方向決定的行列式.

命題2.2如果A是一個(gè)n階方陣,k1,k2,k3,k4∈F那么

det(k1+k2,k3+k4) (A)=det(k1,k3) (A)+det(k2,k4) (A).

證因?yàn)?/p>

=det(k1,k3) (A)+det(k2,k4) (A),

所以命題得證.

定理2.3如果A是一個(gè)n階方陣,AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣,k1,k2∈F,那么

det(k1,k2) (A)=det(k1,k2) (AT).

證如果能證明det(k1,k2) (AT)中的任意加法項(xiàng)存在于det(k1,k2) (A)中, 那么因?yàn)?AT)T=A ，所以det(k1,k2) (A)中的任意加法項(xiàng)也位于det(k1,k2) (AT) 中,因此det(k1,k2) (A)和det(k1,k2) (AT)有相同的加法項(xiàng)，這樣就證明了結(jié)論. 根據(jù)(k1,k2)-型行列式的定義，這是容易證明的.例如, 假設(shè)τ(π)是偶數(shù),k1a′1π(1)a′2π(2)…a′nπ(n)是det(k1,k2) (AT)中的一個(gè)加法項(xiàng),在P(n)中存在σ使得

容易證明τ(σ)也是偶數(shù), 因此det(k1,k2) (A)中有這個(gè)加法項(xiàng).證畢.

根據(jù)定理2.3知道和方陣A的行相關(guān)的det(k1,k2) (A)的性質(zhì)也對(duì)A的列成立.所以為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們只闡述和A的行相關(guān)的det(k1,k2) (A)的性質(zhì)，而對(duì)于A的列，det(k1,k2) (A)有完全相同的性質(zhì).

和行列式相似，關(guān)心在給A一個(gè)行變換的情況下，(k1,k2)-型行列式det(k1,k2) (A)的改變.下面的一系列有趣結(jié)論對(duì)此進(jìn)行了刻畫(huà).

定理2.4如果P是一個(gè)n階行交換基本矩陣, 即P由單位矩陣交換兩行得到，A是一個(gè)n階方陣,k1,k2∈F, 那么det(k1,k2) (PA)=det(k2,k1) (A).

證設(shè) 1≤u

det(k1,k2) (B)

其中對(duì)π進(jìn)行一次對(duì)換可得σ.證畢.

和行列式的行交換性質(zhì)進(jìn)行比較, 定理 2.4揭示了更多信息, 更接近本質(zhì).

推論2.5如果方陣A有兩行相等,k1,k2∈F那么

det(k1,k2) (A)=det(k2,k1) (A) .

證因?yàn)锳有相同的兩行，交換這兩行我們還會(huì)得到A. 根據(jù)定理2.4易證.

設(shè)A是一個(gè)有兩行相等的方陣, 根據(jù)推論2.5

|A|=det(1,-1)(A)=det(-1,1)(A)，

而根據(jù)定理2.1有

det(-1,1)(A)=-det(1,-1)(A)=-|A|，

所以推出|A|=0.這恰好是眾所周知的結(jié)論.

det(k1,k2) (A)=det(k1,k2) (B)+det(k1,k2) (C),

det(k1,k2) (A)

=det(k1,k2) (B)+det(k1,k2) (C).

命題2.7如果A是一個(gè)n階方陣， 把A的某行乘以常數(shù)r得到方陣B,k1,k2∈F, 那么

det(k1,k2) (B)=rdet(k1,k2) (A).

證設(shè)矩陣A=(aij)n×n的u行乘以常數(shù)r，其它行保持不變，得到矩陣B=(bij)n×n.則對(duì)于i≠u(mài)， 有bij=aij,而buj=rauj. 因此

det(k1,k2) (B)

=rdet(k1,k2) (A).

用定義易證下面結(jié)論.

命題2.8設(shè)A=(aij)n×n是一個(gè)n階上三角方陣,則對(duì)k1,k2∈F，有

det(k1,k2) (A)=k1a11a22…ann.

對(duì)下三角方陣有相同結(jié)論.

3一些特殊的(k1,k2)-型行列式

設(shè)k1,k2∈F,根據(jù)命題2.2有

det(k1,k2) (A)=det(k1,-k1+k2+k1) (A)=det(k1,-k1) (A)+det(0,k1+k2) (A)，

因此要計(jì)算det(k1,k2) (A)只需計(jì)算det(k1,-k1) (A)和det(0,k1+k2) (A).所以研究 (r,-r)-型和(0,r)-型行列式很有價(jià)值，r∈F.首先，考察(r,-r)-型行列式.

（5）實(shí)驗(yàn)課教學(xué)組織。每個(gè)實(shí)驗(yàn)包含預(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)操作、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及處理、實(shí)驗(yàn)報(bào)告4個(gè)環(huán)節(jié)。其中，實(shí)驗(yàn)前預(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)，有些實(shí)驗(yàn)可以采用PBL、TBL等教學(xué)模式讓學(xué)生完成一定的綜合性實(shí)驗(yàn)任務(wù)；實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，根據(jù)實(shí)驗(yàn)方案的操作步驟，要求學(xué)生認(rèn)真進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，記錄實(shí)驗(yàn)過(guò)程和現(xiàn)象；實(shí)驗(yàn)結(jié)束后根據(jù)要求寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)報(bào)告，有利于學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的加深理解。同時(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)肅、認(rèn)真、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、整潔的良好實(shí)驗(yàn)習(xí)慣。

命題3.1設(shè)A,B是n階方陣,a,b∈F,則

det(ab,-ab)(AB)=det(a,-a)(A)det(b,-b)(B).

證根據(jù)定理2.1有

det(ab,-ab)(AB)=abdet(1,-1)(AB),

det(a,-a)(A)=adet(1,-1)(A) ,det(b,-b)(B)=bdet(1,-1)(B),

又因?yàn)?/p>

det(1,-1)(AB)=det(1,-1)(A)det(1,-1)(B),

這樣就證明了結(jié)論.

推論3.2設(shè)A,B是n階方陣,r∈F, 則

rdet(r,-r)(AB)=det(r,-r)(A)det(r,-r)(B) .

證因?yàn)閞det(r,-r)(AB)=det(r2,-r2) (AB)，所以根據(jù)命題3.1得證.

命題3.3設(shè)A是n階方陣,r∈F,r≠0, 則A可逆當(dāng)且僅當(dāng)det(r,-r)(A)≠0.

證因?yàn)?/p>

det(r,-r)(A)=rdet(1,-1)(A)，r≠0,

所以det(r,-r)(A)≠0當(dāng)且僅當(dāng) det(1,-1)(A)≠0, 而 det(1,-1)(A)≠0當(dāng)且僅當(dāng)A可逆.

推論3.4設(shè)A是一個(gè)n階可逆方陣,r∈F，r≠0，則

證首先注意到, 根據(jù) (k1,k2)-型行列式的定義det(r,-r)(In)=r. 然后根據(jù)推論3.2

rdet(r,-r)(AA-1)=det(r,-r)(A)det(r,-r)(A-1)，

即

rdet(r,-r)(In)=r2=det(r,-r)(A)det(r,-r)(A-1)，

根據(jù)命題3.3有 det(r,-r)(A)≠0, 所以

命題3.5設(shè)A是一個(gè)n方陣, A做一次換行或者換列得矩陣B,r∈F, 那么

det(r,-r)(B)=-det(r,-r)(A).

證根據(jù)定理2.4有det(r,-r)(B)=det(-r,r)(A)，又根據(jù)定理2.1,有

det(-r,r)(A)=-det(r,-r)(A)，

所以命題得證.

推論3.6如果n階方陣A的兩行相等,r∈F, 那么 det(r,-r)(A)=0.

證這是命題3.5的直接推論.

命題3.7設(shè)A是一個(gè)n階方陣，i≠j，r∈F，把A的第j行的若干倍加到它的第i行，其它行保持不變得到矩陣B,那么

det(r,-r)(B)=det(r,-r)(A).

證根據(jù)命題 2.6 知存在方陣C使得

det(r,-r)(B)=det(r,-r)(A)+det(r,-r)(C)，

其中C的i,j兩行相等, 又根據(jù)推論3.6,有det(r,-r)(C)=0. 這就證明了命題.

其次, 考察(r,0)-型行列式.

命題3.8設(shè)A 是一個(gè)n階對(duì)角方陣, B是一個(gè)n階方陣,r∈F, 則

rdet(r,0)(AB)=det(r,0)(A)det(r,0)(B).

證設(shè)A是依次以a1,a2,…,an作為對(duì)角元素的n階對(duì)角方陣， B=(bij)n×n， 那么

=det(r,0)(A)det(r,0)(B).

最后,考察(r,r)-型行列式. 根據(jù)定理 2.4， 容易證明

命題3.9設(shè)A是一個(gè)n階方陣,A經(jīng)過(guò)一系列的換行或換列得到方陣B,r∈F,那么

det(r,r)(A)=det(r,r)(B).

4(k1,k2)-型行列式的一點(diǎn)應(yīng)用

平面上一點(diǎn)(1,-1)決定的(1,-1)-型行列式恰好就是行列式.行列式在線性代數(shù)，微分幾何等領(lǐng)域有廣泛且深刻的應(yīng)用.如果k≠0,如文章第三部分所示，平面上點(diǎn)(k,-k)所對(duì)應(yīng)的(k,-k)-型行列式和行列式有著幾乎完全相同的性質(zhì)，所以(k,-k)-型行列式在線性代數(shù)，微分幾何等領(lǐng)域也會(huì)有相似的應(yīng)用.

det(k1,k2) (A)=k1a11a22+k2a12a21.

容易看出det(k1,k2) (A)的絕對(duì)值代表一個(gè)以向量(k1a11,a21)T和(-k2a12,a22)T作為兩條邊的平行四邊形的面積.

a11a12×a21a22=(a11×10+a12)×(a21×10+a22)

=(a11+a21)×100+(a11×a22+a12×a21)×10+a12×a22.

此處交叉項(xiàng)10的系數(shù)恰好是det(1,1)(A).

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New Type Determinants Determined by Directions in a Plane

HOURu-chen,ZHUYong-wen,WANGYan

(School of Mathematics and Information Science, Yantai University，Yantai Shandong 264005, China)

Abstract:Let F be a field, k1,k2∈F. We give a definition of (k1,k2)-determinants, and point out that normal determinants are of (1,-1)-type. We study properties of (k1,k2)-determinants, compare (k1,k2)-determinants with normal determinants, find out differences and similarities between them. We also describe properties of special (k1,k2)-determinants such as (r,-r)-tpye, (r,0)-type, and (r,r)-type.

Key words: square matrix; determinant; (k1,k2)-determinant