李億民

(山東理工大學(xué)理學(xué)院， 山東淄博255049)

指數(shù)分布參數(shù)的E-Bayes方法

李億民

(山東理工大學(xué)理學(xué)院， 山東淄博255049)

摘要：基于指數(shù)分布定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，給出了失效率λ的E-Bayes估計(jì).研究了在超參數(shù)取不同密度函數(shù)時(shí)λ的E-Bayes估計(jì)之間的關(guān)系和收斂速度以及估計(jì)量關(guān)于超參數(shù)的穩(wěn)健性，并通過實(shí)例，給出了不同超參數(shù)下失效率λ和可靠度R(t)的計(jì)算結(jié)果．

關(guān)鍵詞：指數(shù)分布；先驗(yàn)分布；超參數(shù)；失效率；E-Bayes估計(jì)

對(duì)于指數(shù)分布的定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，已經(jīng)有了比較成熟的處理方法[1].對(duì)于定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，在規(guī)定的試驗(yàn)時(shí)間較短時(shí)，特別是對(duì)于高可靠產(chǎn)品，失效個(gè)數(shù)往往比較少，甚至出現(xiàn)無失效的情形[2-6]．為了充分利用產(chǎn)品的失效信息和分布的先驗(yàn)信息，對(duì)指數(shù)分布定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，我們?cè)噲D給出參數(shù)λ和R(t)的E-Bayes(expected Bayesian)估計(jì)[5]．

設(shè)產(chǎn)品壽命T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，即

T～f(t)=λexp{-λt},t>0

(1)

其中λ>0為產(chǎn)品的失效率．

1失效率λ的Bayes估計(jì)和E-Bayes估計(jì)及性質(zhì)

對(duì)參數(shù)λ>0，選擇其先驗(yàn)密度函數(shù)為[5]

π(λ|a)=aexp(-aλ),λ>0

(2)

其中a>0為超參數(shù)．

證明對(duì)指數(shù)分布，在第i組定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)中，其失效數(shù)ζi服從參數(shù)為(ni-ri)τiλ的Poisson分布，于是樣本的似然函數(shù)為

由Bayes定理，得參數(shù)λ的后驗(yàn)密度

由于知道a>0，我們假定它有上界c，即a服從 (0,c)上的分布，為此，假定其密度函數(shù)分布為

(3)

(4)

其中j≥0，當(dāng)j=0時(shí)，即為(0,c)上的均勻分布；兩種密度函數(shù)從圖形上差別較大，式(3)為嚴(yán)格遞減函數(shù)，式(4)為嚴(yán)格遞增函數(shù)．

(ⅱ)對(duì)任意m>0，j>0,有

對(duì)任意0≤j

(5)

為便于應(yīng)用，我們給出k=2,0時(shí)a的3個(gè)先驗(yàn)密度函數(shù)

(6)

(7)

(8)

定理3在定理1的條件下，若a的3個(gè)先驗(yàn)密度函數(shù)為式(6)、式(7)、式(8)，則

(ⅰ)參數(shù)λ的E-Bayes估計(jì)分別為

證明(ⅰ)由定義1知

至于其他兩種情況，可類似證明．

至于(ⅲ)和(ⅳ)的證明，直接利用(ⅰ)的結(jié)果即可．

2 應(yīng)用實(shí)例

某型號(hào)電子產(chǎn)品的定時(shí)截尾試驗(yàn)中，所得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1．已知該產(chǎn)品壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．

表1　電子產(chǎn)品壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)　s

表和的計(jì)算結(jié)果

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(編輯：郝秀清)

收稿日期：2014-09-09

作者簡(jiǎn)介：李億民，男， lym640722@163.com.

文章編號(hào)：1672-6197(2015)02-0040-04

中圖分類號(hào)：O213.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

An E-Bayesian method for parameters of exponential distribution

LI Yi-min

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:Based on the Type-Ⅰcensoring life test under the exponential distribution condition,the E-Bayesian estimation of failure rate λ is presented in this paper. The relationship and convergence rate of the E-Bayes estimation of λ are considered when super parameters select different density functions, and the robustness of estimator related to super parameter is discussed. Some examples have been appliedto calculate failure rate λ and reliability R(t) under different super parameters.

Key words:exponential distribution; prior distribution; super parameter; failure rate; E-Bayesian estimation