石　翔， 杜欽君， 馬　浩， 徐　帥， 張志見

(1. 山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 山東 淄博255049;

2. 國網(wǎng)山東煙臺市牟平區(qū)供電公司， 山東 煙臺264100)

基于非線性規(guī)劃的磁飽和電抗器優(yōu)化設(shè)計

石翔1， 杜欽君1， 馬浩1， 徐帥1， 張志見2

(1. 山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 山東 淄博255049;

2. 國網(wǎng)山東煙臺市牟平區(qū)供電公司， 山東 煙臺264100)

摘要：磁飽和電抗器的設(shè)計主要依靠經(jīng)驗公式和經(jīng)驗參數(shù)，試制出樣機后，根據(jù)設(shè)計指標(biāo)與樣機指標(biāo)的偏差修改設(shè)計方案，該方法存在設(shè)計精度較低、成本較高的缺點.在磁飽和電抗器設(shè)計中，根據(jù)約束條件，借助計算機尋優(yōu)對目標(biāo)函數(shù)求極值，可計算出最適合的設(shè)計參數(shù)，從而縮短了設(shè)計周期，明顯降低了設(shè)計及制造成本.

關(guān)鍵詞：磁飽和電抗器； 非線性規(guī)劃； 優(yōu)化設(shè)計

磁飽和電抗器具有穩(wěn)定、可靠、穩(wěn)定運行時間較長等優(yōu)點，大功率磁飽和電抗器可應(yīng)用于低壓及高壓交流電動機限流軟起動和動態(tài)無功補償[1-6].磁飽和電抗器的設(shè)計主要依靠經(jīng)驗公式和經(jīng)驗參數(shù)，參數(shù)選擇隨意性大，備選方案多.試制出樣機后，根據(jù)偏差做調(diào)整，設(shè)計精度較低，成本較高.將優(yōu)化原則引入磁飽和電抗器設(shè)計中，借助計算機尋優(yōu)，可縮短設(shè)計周期，降低成本.

文獻[7]提出了基于量子粒子群算法的電力變壓器優(yōu)化設(shè)計方法，文中提及該方法可適用于其他電氣設(shè)備優(yōu)化設(shè)計的求解過程，提高求解過程的收斂速度.文獻[8-9]給出了基于不同算法的空心電抗器的優(yōu)化設(shè)計方法，證明了在空心電抗器設(shè)計中應(yīng)用優(yōu)化設(shè)計方法，可縮短設(shè)計周期.但上述文獻都沒有給出與磁飽和電抗器有關(guān)的設(shè)計方法.文獻[10]提出了一種磁飽和電抗器的簡易設(shè)計方法，可運用公式解析法求得電抗器尺寸，但文中提及應(yīng)用這種設(shè)計方法，存在硅鋼片數(shù)量和控制繞組銅線的用量較大的問題.文獻[11]論證了在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中可使用線性加權(quán)法求得數(shù)值解.本文針對現(xiàn)存的磁飽和電抗器優(yōu)化設(shè)計方面的不足，提出基于非線性規(guī)劃的磁飽和電抗器設(shè)計方法，以硅鋼片、繞組銅線和運行費用作為多目標(biāo)函數(shù)，選擇設(shè)計變量作為約束條件，應(yīng)用線性加權(quán)法對優(yōu)化設(shè)計進行求解，以80kVA磁飽和電抗器為例，驗證優(yōu)化設(shè)計的可行性.

1磁飽和電抗器多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

1.1 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用優(yōu)化算法，計算出一組設(shè)計參數(shù)，以較高的性價比實現(xiàn)設(shè)計指標(biāo).

在設(shè)計過程中，習(xí)慣將設(shè)計參數(shù)稱為設(shè)計變量，為求得優(yōu)化設(shè)計的數(shù)值解，將設(shè)計目標(biāo)表示成設(shè)計變量x1,x2,…,xn的非線性函數(shù)，即f(x1,x2,…,xn)，簡寫為f(x)，f(x)即為目標(biāo)函數(shù).

在優(yōu)化設(shè)計中必須滿足的設(shè)計指標(biāo)稱為約束.為求得滿足約束條件的數(shù)值解，常表示為等式或不等式的形式，如：

(1)

故優(yōu)化設(shè)計可轉(zhuǎn)換為存在約束的求解目標(biāo)函數(shù)極小值.數(shù)學(xué)上稱之為非線性規(guī)劃，其一般形式為

(2)

式中：Rn為n維歐氏空間.

1.2多目標(biāo)優(yōu)化問題

實際優(yōu)化問題中，往往要考慮多個設(shè)計指標(biāo)的優(yōu)化.磁飽和電抗器的優(yōu)化設(shè)計一般需求解相互制約的多個設(shè)計指標(biāo).如以設(shè)計輸出功率為約束，求解功耗最低且質(zhì)量最小的目標(biāo)函數(shù).由設(shè)計經(jīng)驗知，電抗器質(zhì)量M和功耗P是相互制約的，兩者的曲線關(guān)系如圖1所示.這時就要折衷處理，選取最佳點.

圖1　磁飽和電抗器質(zhì)量與功耗關(guān)系曲線

但多目標(biāo)函數(shù)的求解時間較長，因此，對于多目標(biāo)優(yōu)化的工程設(shè)計問題，一般轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)，完成極小值計算.常用轉(zhuǎn)換方法如下：

(1)最小線性加權(quán)和.采用將多個目標(biāo)函數(shù)fi(x)(i=1,2,…,m)加權(quán)求和的方法將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

(3)

式中，wi為對fi(x)的加權(quán)因子.

(2)平方加權(quán)和的開方最小.應(yīng)用此方法，可將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

(4)

(3)極小極大法(Minimax Optimization).對多個目標(biāo)函數(shù)求取極大者后，再求取該極大函數(shù)的極小值，可將多目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)換為

(5)

2設(shè)計指標(biāo)及約束條件

2.1磁飽和電抗器的設(shè)計指標(biāo)

已知三相磁飽和電抗器由三個單相磁飽和電抗器組成.鐵心為矩形，單相鐵心結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2　可變電抗器等效電路圖

本設(shè)計給定的設(shè)計指標(biāo)如下：

(1)三相電源線電壓為380V，頻率為50Hz.

(2)磁飽和電抗器三相額定輸出功率為80kVA，負載為純電阻.

(3)工作繞組額定電流為141A.

(4)控制繞組功率為750W，最大控制繞組電流為11A.

(5)繞組溫升不大于80°C.

2.2磁飽和電抗器的基本約束條件

三相磁飽和電抗器的基本約束條件為：

(1)容量約束. 為保證輸出功率大于負載功率，磁飽和電抗器設(shè)計容量應(yīng)大于80kVA.

設(shè)電壓、電流波形為正弦，則

(6)

式中：U為電源相電壓有效值；Ug及Ig分別為工作繞組上的壓降和電流，R為負載等效電阻.

當(dāng)鐵心完全飽和時，可認為Ug=0，這時流過工作繞組的電流為

Igm=U/R

(7)

傳統(tǒng)的磁飽和電抗器設(shè)計方法是以UIgm作為磁飽和電抗器容量，實際上，磁飽和電抗器任何工作狀態(tài)通過的功率都遠小于UIgm.根據(jù)設(shè)計要求，磁飽和電抗器設(shè)計容量表示為

P(x)=3UIg=3×4.44fBmScj2Sg

(8)

式中：f為電源頻率，取50Hz；Bm為磁飽和電抗器的磁感應(yīng)強度最大值；j2為工作繞組電流密度；Sg為工作繞組的銅線截面積；Sc為鐵心截面積.

(9)

因而，可得到約束不等式為

P(x)-80000≥0

(10)

(2)鐵心最大磁感應(yīng)強度約束. 鐵心磁密上下限約束，令在1.6～1.7T之間取值，則

(11)

(3)控制繞組電源容量約束. 通過最大控制繞組電流時，限制控制繞組電阻，以保證控制繞組功率不超過控制電源所能提供的容量；本設(shè)計的控制繞組熱功率為750W.

(12)

式中：ρR為銅導(dǎo)線電阻率(設(shè)定控制繞組工作溫度100℃，取22.79)；j1為控制繞組電流密度；V1為控制繞組銅線體積.

(4)溫升約束. 大多數(shù)電抗器采用B級絕緣材料，一般要求最高溫升不能超過80℃，因此，設(shè)計磁飽和電抗器繞組溫升必須低于溫升限值.

由溫升計算公式

80-0.34g0.8≥0

(13)

式中：g為繞組表面熱負荷.

g=(PCu/Sh)×100

(14)

(15)

Sh=3×(Sh1+0.26Sh2)

(16)

(17)

Sh2=(h-0.3)(12.5664d+1.69026)

(18)

式中：PCu為繞組溫度為100°C時銅損；V2為工作繞組銅體積；Sh為有效散熱面積；Sh1為控制繞組散熱面積；Sh2為工作繞組散熱面積.

2.3磁飽和電抗器的附加約束條件

附加約束條件是為了使電抗器具有某方面的性能而在設(shè)計時人為設(shè)定的等式約束條件.不同的附加約束條件對應(yīng)著不同的設(shè)計方法.

本文采用鐵心結(jié)構(gòu)作為附加設(shè)計變量.即矩形鐵心窗口高h；窗口寬b；鐵軛寬a；鐵心柱內(nèi)接圓直徑d；控制繞組及工作繞組電流密度j1及j2(A/mm2).

根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗參數(shù)可設(shè)定如下約束：

鐵心幾何尺寸非負約束

(19)

鐵心柱內(nèi)接圓直徑上下限約束

(20)

繞組電流密度下限約束

(21)

3磁飽和電抗器的優(yōu)化模型

目標(biāo)函數(shù).優(yōu)化目標(biāo)是主要材料費及運行損耗費之和為最小.用數(shù)學(xué)形式表示為

minf(x)=C1(x)+C2(x)

(22)

式中：C1(x)為硅鋼片與繞組銅線費用之和；C2(x)為鐵損與銅損有關(guān)的運行費用.C1(x)可表示為

C1(x)=5500MFe+53000MCu

(23)

式中：MFe、MCu分別為三相鐵心質(zhì)量和三相繞組銅線質(zhì)量，本設(shè)計選用寶鋼B50A470，價格為5.5元/kg，銅線采用芯標(biāo)稱直徑為1.06mm的漆包線，價格為53元/kg.

(24)

式中：ρFe為冷軋單取向硅鋼片的密度，取值為7.65×103kg/m3；Kc為疊片系數(shù)，取值為0.95；Vc為一相鐵心體積.

一相鐵心毛體積Vc可表示為

Vc=2Sch+2adb+4ad2

(25)

硅鋼片總重(三相)

MFe=3ρFeKcVc=

21.8025×(1.5931h+2adb+4ad2)

(26)

(27)

式中：ρCu=8.89×103kg/m3；VCu為繞組銅線體積.

單相繞組銅線體積為

VCu=V1+V2

(28)

三相繞組銅線質(zhì)量為

MCu=3ρCuVCu

(29)

計算運行費用時，設(shè)磁飽和電抗器可連續(xù)工作15年，每年運行360d，日工作16h，工業(yè)電費取平均值為0.9元/kWh.

C2(x)=15×360×16×0.9(PCu+PFe)=

77.76(PCu+PFe)

(30)

鐵損為

PFe=PcMFe=3ρFeKcVcpc=

31.613625Vc

(31)

式中：pc為比鐵損，取經(jīng)驗參數(shù)1.45.

將式(15)、式(31)代人式(30)可得C2(x).

最終得約束條件下的目標(biāo)函數(shù)的顯示表達式為

(32)

4磁飽和電抗器優(yōu)化設(shè)計實例

選取三個單相磁飽和電抗器組成的三相磁飽和電抗器為例，設(shè)計額定容量為80kvar、額定電壓為380V.采用本文提出的優(yōu)化模型，借助計算機尋優(yōu)求解，對電抗器進行了優(yōu)化設(shè)計.優(yōu)化設(shè)計結(jié)果與原設(shè)計比較見表1.

表1　優(yōu)化設(shè)計結(jié)果與原設(shè)計數(shù)值比較

由表1可知：通過該方法優(yōu)化可以將鐵心柱內(nèi)接圓直徑d由120mm縮減至110mm，矩形鐵心窗口高h由450mm降低至370mm；鐵軛寬a由100mm縮減至86mm；與原設(shè)計比較，優(yōu)化設(shè)計結(jié)果使電抗器的Bm、j1、j2略有增大，獲得了較好的性能指標(biāo)，同時，減少了鐵心質(zhì)量和銅線質(zhì)量，節(jié)省了材料費用。其中，鐵材料費減少617.3元，銅材料費減小41.2元，運行費用減少403元.單位容量鐵重由4.58kg/kVA下降至3.7kg/kVA，材料利用更合理.

各項費用優(yōu)化以后下降的百分比(以原設(shè)計值為準(zhǔn)進行比較)見表2.

表2　優(yōu)化后費用下降百分比　%

應(yīng)用Ansoft Maxwell有限元分析軟件建立單相電抗器3D模型，設(shè)定電抗器材料屬性為電工硅鋼片，選擇DW315_50作為電抗器鐵心材料，如圖3所示.

圖3　磁飽和電抗器磁通密度圖

由圖3可知，優(yōu)化后的電抗器鐵心磁通密度平均在1.5T，局部最高超過3T，理論上已超過DW315_50硅鋼片推薦磁感應(yīng)強度值(1.8～2T)，早已進入磁飽和狀態(tài)，能夠?qū)崿F(xiàn)調(diào)整電抗值的功能.

5 結(jié)束語

以磁飽和電抗器的材料費用和運行費用最小作為目標(biāo)函數(shù)，將非線性規(guī)劃方法引入到磁飽和電抗器的設(shè)計中，建立了矩形鐵心的磁飽和電抗器優(yōu)化設(shè)計模型。 磁飽和電抗器優(yōu)化模型是非線性規(guī)劃問題，包括七個設(shè)計變量. 選取設(shè)計容量、磁感應(yīng)強度、控制容量、溫升約束作為基本約束條件；選取鐵心幾何尺寸和繞組電流密度作為附加約束條件，綜合分析了四個基本約束條件的影響，給出了非線性規(guī)劃的顯式表達式.設(shè)計結(jié)果表明，在約束條件的限定下，優(yōu)化后電抗器的各項性能指標(biāo)均可滿足設(shè)計要求，實現(xiàn)了材料費用和運行費用的多目標(biāo)優(yōu)化。優(yōu)化設(shè)計結(jié)果中：硅鋼片優(yōu)化后下降幅度為27.5%，效果明顯；由于導(dǎo)線電流密度限制，銅線體積優(yōu)化后下降幅度只有0.6%，而其在目標(biāo)函數(shù)占比過大，總費用下降約5.6%.采用本文構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)，對鐵心質(zhì)量較大的電抗器進行優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果費用降低明顯。

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(編輯：劉寶江)

收稿日期：2014-10-19

作者簡介：石翔, 男, 116629689@qq.com； 通信作者： 杜欽君，男，duqinjun@sdut.edu.cn

文章編號：1672-6197(2015)02-0066-05

中圖分類號：TM476

文獻標(biāo)志碼：A

Optimizationdesignofmagneticallysaturationreactor
basedonnonlinearprogramming

SHIXiang1,DUQin-jun1,MAHao1,XUShuai1,ZHANGZhi-jian2

(1.SchoolofElectricalandElectronicEngineering,ShandongUniversityofTechnology,Zibo255049,China;

2.StateGridShandongYantaiCityMupingDistrictPowerSupplyCorporation,Yantai264100,China)

Abstract:The design of magnetically saturation reactor mainly relies on the experience formula and parameters, while parameters are chosen arbitrarily and randamly. After the prototype trial is developed, according to deviation between the predesigned index and the developed one, design adjustment is made, leading to low precision and high cost. During the magnetically saturation reactor design, the extremum of the objective function is calculated with the constraint condition by computer optimization, and the most suitable design parameters are gained, which shortens design cycle and reduces design cost. By the costs comparison, the manufacturing cost can be significantly reduced and the feasibility of design is improved by nonlinear programming.

Key words:magnetically saturation reactor; nonlinear programming; optimization design