尚德生, 周運(yùn)明， 周愛(ài)華

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東淄博255049)

一類(lèi)三次系統(tǒng)的大同宿分支

尚德生, 周運(yùn)明， 周愛(ài)華

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東淄博255049)

摘要：利用多參數(shù)攝動(dòng)理論和微分方程定性理論，通過(guò)對(duì)一類(lèi)三次系統(tǒng)擾動(dòng)形成的大同宿軌研究，得到該系統(tǒng)至少有5個(gè)極限環(huán)，并給出極限環(huán)的分布為3+(1,1)分布.

關(guān)鍵詞：攝動(dòng)； 分支； 三次系統(tǒng)； 極限環(huán)； 大同宿軌

1引言與主要結(jié)論

文獻(xiàn)[1]研究了下面的 Liénard系統(tǒng)

(1)

證明了對(duì)ε的解析函數(shù)a1,a2,a3，且|ε|充分小時(shí)系統(tǒng)至多存在三個(gè)極限環(huán)。文獻(xiàn)[2]又研究了系統(tǒng)

(2)

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可以有四個(gè)極限環(huán)。文獻(xiàn)[3]又進(jìn)一步討論下面的三次系統(tǒng)

(3)

其中f2(x,y)=a1+a2x+a3x2+a4y2.單純地通過(guò)對(duì)同宿軌和雙同宿軌的擾動(dòng)進(jìn)行研究得到系統(tǒng)(3)可以有五個(gè)極限環(huán)，其分布為 1+(2, 2)的結(jié)構(gòu).

首先利用對(duì)雙同宿軌擾動(dòng)得到一個(gè)大的同宿軌，然后再研究大同宿軌的穩(wěn)定性，并利用改變大同宿軌的穩(wěn)定性的方法進(jìn)行研究，得到系統(tǒng)(3)仍然可以有5個(gè)極限環(huán)，但是得到一種新的分布3+(1,1)(即在三個(gè)大極限環(huán)里面包含兩個(gè)分離的小極限環(huán))，這種分布是文獻(xiàn)[3]中沒(méi)有的. 以定理形式給出.

定理 1 系統(tǒng) (3)至少可以有5個(gè)極限環(huán)，其分布是 3+(1，1).

注：利用擾動(dòng)大同宿軌研究極限環(huán)的方法已經(jīng)在文獻(xiàn)[4]中運(yùn)用，在這里利用這一方法來(lái)討論另外一個(gè)不同的多項(xiàng)式系統(tǒng).

2擾動(dòng)大同宿軌及引理

由于未擾動(dòng)系統(tǒng)是Hamilton的，其Hamilton函數(shù)為

而H(x,y)=0對(duì)應(yīng)未擾動(dòng)系統(tǒng)的雙同宿軌，記為

x1≤x≤0,或0≤x≤x2,其中

其中

Mi(a)=-∮Li(a1+a2x+a3x2+a4y2)ydx=

2[Ai1a1+Ai2a2+Ai3a3+Ai4a4],i=1,2

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的計(jì)算得

顯然，有下述引理成立

引理 1如果b>0，則存在函數(shù)

(5)

附近有一個(gè)大同宿軌Γ*存在的充分必要條件是

a2=K2(ε,a1,a3,a4),即d1+d2=0

且d1≠0.對(duì)于d1>0及d1<0的情況分別見(jiàn)圖1(a)、(b).

圖1　當(dāng)d1+d2=0而d1=0時(shí)形成的大同宿軌

由于系統(tǒng)(3)在原點(diǎn)擾動(dòng)下的散度為

div(3)|Oε(0,0)=-εa1+O(ε2),

可得下面的引理成立

引理 2存在函數(shù)

K1(ε,a3,a4)=O(ε)

(6)

使得div(3)|Oε(0,0)≥0(<0)當(dāng)且僅當(dāng)

a1≤(>)K1(ε,a3,a4).

引理 3 (Ⅰ)如果ai=Ki,i=1,2成立，則當(dāng)t→±∞時(shí)，積分

δ=-∮L1+L2(a1+a2x+a3x2+3a4y2)dt+O(ε).

(Ⅱ)當(dāng)δ>0(<0)時(shí)，大同宿軌Γ*是不穩(wěn)定(穩(wěn)定)的.

證明 (Ⅰ) (Ⅱ)的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[5-6]. 對(duì)于(Ⅲ)的證明，結(jié)合文獻(xiàn)[2-3]中的計(jì)算，得到

從而在 ai=Ki,i=1,2的條件下有

δ=δ10(b)+δ20(b)=

a3f1(b)+a4f2(b)+O(ε),

其中

a4≥(<)K4(ε,a3)

(7)

這可以通過(guò)化簡(jiǎn)并利用Mathematica7.0得到結(jié)論(注意：當(dāng) b>0時(shí)，有f2(b)>0).

根據(jù)文獻(xiàn)[6-7]的方法和公式計(jì)算在條件 ai=Ki,i=1,2,4下系統(tǒng)關(guān)于大同宿軌Γ*的一階鞍點(diǎn)量. 為了便于理解，重述主要結(jié)果如下：

對(duì)于形如

的系統(tǒng)，在原點(diǎn)處的一階鞍點(diǎn)量 R11有下面的計(jì)算公式

[fxy(fyy-fxx)+gxy(gyy-gxx)-

fxxgxx+fyygyy]/λ}

這里各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是計(jì)算其在原點(diǎn)處的值(詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7]).

根據(jù)該公式易求得系統(tǒng)對(duì)應(yīng)大同宿軌Γ*處的一階鞍點(diǎn)量為

R11=(3a4-ba2-a3)ε.

引理 4在條件ai=Ki,i=1,2,4下，當(dāng)a3ε>0時(shí)，大同宿軌Γ*處的一階鞍點(diǎn)量

R11=-4Ma3ε+O(ε2)<0，

且

s1=529659+379053b2+111510b4+

18060b6+1400b8,

s2=395118+1125819b2+768744b4+

244440b6+40320b8+2800b10,

s3=59049+41553b2+1662606b4+

1524744b6+544320b8+89040b10+5600b12,

17199b2+7980b4+980b6)θ+140b3(9+2b2)θ2

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可以得到下面的結(jié)果

引理 5 如果大同宿軌Γ*為順時(shí)針定向的，且一階鞍點(diǎn)量R11>0(<0)，則大同宿軌Γ*為外不穩(wěn)定 (穩(wěn)定)的.

3焦點(diǎn)的穩(wěn)定性

下面討論在條件(5)-(7)下，焦點(diǎn)Piε(xi0+O(ε),O(ε)),i=1,2的穩(wěn)定性問(wèn)題，其中

這樣對(duì)于奇點(diǎn)Piε,i=1,2處，可以先不考慮前面的-a3ε，利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica7.0分別畫(huà)出其在b>0部分的圖像，如圖2所示.

圖2　擾動(dòng)后焦點(diǎn)Piε的圖像(其中-εa3<0固定)

且可得圖像的兩個(gè)零點(diǎn)b1≈0.379626，b2≈5.03778. 這樣根據(jù)圖像和-a3ε的符號(hào)可得到表1.

表1　系統(tǒng)(3)在兩焦點(diǎn)Piε,i=1,2處對(duì)于

根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]得到引理6:

引理6當(dāng)div(Piε)<0(相應(yīng)地>0)時(shí)，焦點(diǎn)div(Piε)是穩(wěn)定(相應(yīng)地不穩(wěn)定的).

4系統(tǒng)的環(huán)性分析及定理證明

下面在ε>0充分小且a3>0固定的條件下完成定理1的證明和系統(tǒng)分析.

對(duì)于d1+d2=0，且d1>0的情形，根據(jù)上述表1及引理6，得到對(duì)于b∈(0,b1)的情形，焦點(diǎn)P1ε是不穩(wěn)定的，而P2ε是穩(wěn)定的. 這樣根據(jù)圖1(b)的大同宿軌內(nèi)剩余的兩條穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形走向，可知在大同宿環(huán)內(nèi)各有一個(gè)小的極限環(huán)出現(xiàn)，它們分別圍繞P1ε和P2ε；對(duì)于b∈(b1,b2)，由于焦點(diǎn)Piε,i=1,2都是穩(wěn)定的，故而在大同宿軌內(nèi)僅有一個(gè)小的不穩(wěn)定極限環(huán)出現(xiàn)，它圍繞P2ε；而對(duì)于b∈(b2,+∞)，情形與 b∈(0,b1)時(shí)完全相同，在大同宿軌內(nèi)也各有一個(gè)小環(huán)分別圍繞P1ε和 P2ε.

由于R11<0，根據(jù)引理5得到大同宿軌是穩(wěn)定的，這樣對(duì)于固定的a3>0，如果|a4-K4| ?a3，且a4>K4，則有δ>0，根據(jù)引理4知道大同宿軌這時(shí)改變穩(wěn)定性，即由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定，可以根據(jù)環(huán)域定理得到在大同宿軌外有一個(gè)穩(wěn)定的大極限環(huán)Γ1,s出現(xiàn)；然后對(duì)固定的a3,a4，讓|a1-K1|?|a4-K4|?a3，且a1>K1，這時(shí)大同宿軌再次改變穩(wěn)定性，即由不穩(wěn)定變成穩(wěn)定，又可以在大同宿軌外，在Γ1,s內(nèi)出現(xiàn)一個(gè)不穩(wěn)定的大極限環(huán)Γ2,u；最后，對(duì)于固定的a1,a3,a4，如果|a2-K2|?|a1-K1|?|a4-K4|?a3，且a2>K2，則大同宿軌破裂，同時(shí)原大同宿軌的不穩(wěn)定流形在穩(wěn)定流形的外面，從而又有一個(gè)穩(wěn)定的大極限環(huán) Γ3,s出現(xiàn)在Γ2,u內(nèi)部. 這樣系統(tǒng)(3)在這種情況下會(huì)出現(xiàn)3個(gè)大極限環(huán)套著左右各一個(gè)小極限環(huán)的現(xiàn)象，記為3+(1,1)(如圖3所示).

圖3　五個(gè)極限環(huán)的3+(1,1)分布

其它情形可以類(lèi)似討論，而出現(xiàn)極限環(huán)的個(gè)數(shù)及分布分別如下：

當(dāng)d1>0時(shí),若b∈(b1,b2),則為3+(0,1)分布；若b∈(b2,+∞),則為3+(1,1)分布.當(dāng)d1<0時(shí)，若b∈(0,b1),則為3+(0，0)分布;若b∈(b1,b2),則為3+(1,0)分布；若b∈(b2,+∞),則為3+(0,0)分布.

這樣，通過(guò)先設(shè)定參數(shù)使得未擾動(dòng)系統(tǒng)原先的兩個(gè)同宿軌同時(shí)破裂并產(chǎn)生一個(gè)大同宿軌，然后來(lái)研究大同宿軌的穩(wěn)定性，并通過(guò)適當(dāng)擾動(dòng)來(lái)改變大同宿軌的穩(wěn)定性，在最后改變參數(shù)值讓大同宿軌按照預(yù)定的要求破裂的方法，得到系統(tǒng)(3)可以出現(xiàn)5個(gè)極限環(huán)，其分布為3+(1,1)，定理1得證.

注：在該類(lèi)擾動(dòng)下系統(tǒng)解的有界性判斷比較困難，所以不能判斷在Γ1,s的外圍是否還有大極限環(huán)存在，所以根據(jù)我們的方法得到系統(tǒng)(3)可以存在 3+(1,1)分布的至少5個(gè)極限環(huán)的結(jié)論.

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(編輯：劉寶江)

收稿日期：2014-09-09

作者簡(jiǎn)介：尚德生，男，sdsshang@163.com

文章編號(hào)：1672-6197(2015)02-0027-05

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

The large Homoclinic loop bifurcation of a kind of cubic system

SHANG De-sheng, ZHOU Yun-ming， ZHOU Ai-hua

(School of Science, Shandong University of Technology， Zibo 255049, China)

Abstract:In this paper, the bifurcations of a large homoclinic loop, which obtained by perturbing a kind of cubic system, are considered. Through applying the bifurcation theory of planar dynamical systems, we obtain that the given system can have at least five limit cycles, and the distributions of the limit cycles are 3+(1, 1).

Key words:perturbation; bifurcation; cubic system; limit cycle; large Homoclinic loop