差分與極差的分布函數(shù)

文小波

(四川民族學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川康定626001)

摘要：構(gòu)造差分，求出了差分的分布函數(shù)，討論了差分的特殊情況:極差的分布函數(shù)。并結(jié)合均勻分布和指數(shù)分布，給出了均勻分布和指數(shù)分布下，差分與極差的分布函數(shù)。

關(guān)鍵詞：差分；極差；分布函數(shù)；均勻分布；指數(shù)分布

收稿日期:2014-11-20

基金項(xiàng)目:四川民族學(xué)院科研項(xiàng)目(XYZB14004)

作者簡(jiǎn)介:文小波(1986-),男,四川綿陽(yáng)人,助教,碩士,主要從事Bayes統(tǒng)計(jì)方面研究。

中圖分類號(hào)：O212.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1差分的概念

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，樣本來(lái)自于總體，樣本中含有總體的信息，但所含信息比較分散，為了較好的利用樣本中所含的總體信息，需要利用樣本構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，次序統(tǒng)計(jì)量是一類利用比較廣泛的統(tǒng)計(jì)量。本文以次序統(tǒng)計(jì)量為基礎(chǔ)，構(gòu)造差分與極差，推導(dǎo)出了差分與極差的分布函數(shù)，并給出了均勻分布和指數(shù)分布的差分與極差的分布函數(shù)。

稱Z(i)=x(i)-x(i-1)為樣本的第i個(gè)差分，其中i=1,2,…n.特殊的，稱R(n)=x(n)-x(1)，為樣本極差。

2差分的分布函數(shù)

對(duì)于一般情況，設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為f(x)。

定理1Z(i)的分布函數(shù)為：

證明：

次序統(tǒng)計(jì)量(x(i),x(j))，(i

[F(x(j))-F(x(i))]j-i-1·[1-F(x(j))]n-j·f(x(i))·f(x(j))

其中x(i)≤x(j)[1]

則次序統(tǒng)計(jì)量(x(i-1),x(i))的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：

[F(x(i))-F(x(i-1))]i-(i-1)-1·[1-F(x(i))]n-i·f(x(i))·f(x(i-1))

整理有

[1-F(x(i))]n-i·f(x(i))·f(x(i-1))

其中 x(i-1) ≤x(i)

做變換

于是Z(i)與x(i-1)的聯(lián)合密度函數(shù)為：

由此可以算得Z(i)的邊際密度為：

則Z(i)的分布函數(shù)為：

3極差的分布函數(shù)

定理2R(n)的分布函數(shù)為：

證明：沿用上文所述符號(hào)，則x(1)與x(n)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為

做變換，令

則其逆變換為：

其雅可比行列式|J|=1，于是R(n)與x(1)的聯(lián)合密度函數(shù)為：

圖2中,D0～SD15是數(shù)據(jù)地址復(fù)用總線,當(dāng)CMD為高電平訪問數(shù)據(jù)端口,為低電平訪問地址端口。DM9000通過(guò)EEDCS引腳決定數(shù)據(jù)位寬,拉高時(shí)為8位,拉低時(shí)為16位,本文選用16位數(shù)據(jù)總線模式。DM9000直接接入RJ45網(wǎng)絡(luò)接口會(huì)受到靜電串?dāng)_,直流干擾等影響網(wǎng)絡(luò)通信質(zhì)量。故在DM9000控制器與RJ45中間加入HR601680網(wǎng)絡(luò)變壓器,達(dá)到增強(qiáng)信號(hào),降低干擾,提高傳輸距離的目的[5]。

fRn,Z (x,Z)=n·(n-1)f(Z)·f(x+z)·[F(x+Z)-F(Z)]n-2,

則R(n)的分布函數(shù)為：

4均勻分布與指數(shù)分布的極差和差分的分布函數(shù)

特別的X～U(0,1),時(shí)

f(x)=1,0

x～exp(x),f(x)=λe-λx,x≥0,F(x)=1-e-λx,x≥0,[2]。

4.1差分的分布函數(shù)

X～U(a,b),

X～U(0,1),

x～exp(x),

令t=λZ，則

4.2指數(shù)分布與均勻分布極差的分布函數(shù)

x～exp(λ),

X～U(a,b), a

故Z的積分范圍為a

對(duì)特殊的均勻分布U(0,1)而言，即a=0,b=1，則

FR(n)(x)=nxn-1·(1-x)。

這正是Be(n-1,2)的分布函數(shù),此時(shí)Rn～Be(n-1,2)

5結(jié)語(yǔ)

構(gòu)造差分與極差，求證了差分與極差的分布函數(shù)，并以指數(shù)分布與均勻分布為例，求解了指數(shù)分布與均勻分布之下，差分與極差的分布函數(shù)，模型可進(jìn)一步推廣到其他分布的情況下。

參考文獻(xiàn):

[1]茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,2011.

[2]繆銓生.概率與統(tǒng)計(jì)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社,2007.

[3]羅李平.關(guān)于極差分布的求法[J].衡陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2000,12(6):29-31.

責(zé)任編輯：程艷艷

Distribution Functions of Difference and Range

WEN Xiaobo

(Department of Mathematics, Sichuan University for Nationalities, Kangding 626001, China)

Abstract：The differential distribution function is obtained by constructing the difference. The differential special case—range distribution function is discussed. Combined with uniform distribution and exponential distribution, the distribution functions of difference and range are given in the condition of uniform distribution and exponential distribution.

Keywords：difference; range; distribution function; uniform distributed; exponential distribution