矩陣Hadamard積和Fan積特征值的新界

李艷艷,蔣建新

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南文山663000)

摘要：給出了非負(fù)矩陣的k次Hadamard冪和M矩陣的r次Fan冪的定義，并對關(guān)系式應(yīng)用Cauchy-schwitz不等式(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)得到了非負(fù)矩陣A，B的Hadamard積的譜半徑ρ(A°B)和M矩陣A,B的Fan積最小特征值τ(A*B)的一些新界，這些結(jié)果包含了方茂中對于該類問題給出的相應(yīng)結(jié)論。

關(guān)鍵詞：非負(fù)矩陣；M矩陣；Hadamard積；Fan積；特征值

收稿日期:2014-11-13

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)

作者簡介:李艷艷(1982-)，女，甘肅慶陽人，講師，碩士，主要從事矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用方面研究。

中圖分類號：O151.21文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

令N={1,2,…,n}；Rm×n(Cm×n)為m×n階實(shí)(復(fù))矩陣集；σ(A)為矩陣A的譜，ρ(A)為n階方陣A的譜半徑；τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)}為A的模最小特征值[1]。

設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n，1)若A的所有元素非負(fù)即aij≥0，i,j∈N, 則稱A為非負(fù)矩陣，記A≥0; 2) 若A的非主對角元素非正即aij≤0，i≠j，i,j∈N，且A-1≥0, 則稱A為非奇異M矩陣，記Mn為n階非奇異M矩陣全體所成之集合[1]。

r×r子矩陣，A22是(n-r)×(n-r)子矩陣，1≤r

對于不可約非負(fù)矩陣一定有正向量u使Au=ρ(A)u；對于不可約非奇異M矩陣，一定有正向量v使Av=τ(A)v， u，v統(tǒng)稱為這兩類矩陣的右perron特征向量[1]。

1相關(guān)引理

這部分給出文章要用到的一些引理

引理1[1](Cauchy-schwitz不等式)

設(shè)a=(a1,a2,…,an)T≥0, b=(b1,b2,…,bn)T≥0,k=1,2. 則有

(1)

引理2[2]設(shè)n階矩陣P≥0且不可約，若存在不為零的非負(fù)向量z使得Pz≤kz，則ρ(P)≤k。

引理3[2]設(shè)Q∈Mn且為不可約，若存在不為零的非負(fù)向量z使得Qz≥kz，則τ(Q)≥k。

2主要結(jié)果

這部分給出ρ(A°B)和τ(A*B)新的上界

定理1：設(shè)A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，k=1,2；則

(2)

證明：令C=A°B，下面分兩種情況證明。

(3)

令z=uv(向量乘積)，則對于任意i∈N

再由引理2知

注1當(dāng)定理1中的k=1時(shí)該結(jié)論就是文獻(xiàn)[3]中的估計(jì)式

aiibii+(ρ(A)-aii)(ρ(B)-bii)=2aiibii+ρ(A)ρ(B)-aiiρ(B)-biiρ(A)。

推論1設(shè)A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，則

≤{2aiibii+ρ(A)ρ(B)-aiiρ(B)-biiρ(A)}n。

定理2設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Mn，k=1,2；則

(4)

分別為A,B，A[k],A[k]的右perron特征向量，且

A[k]u[k]=τ(A[k[[k],B[k]v[k]=τ(B[k[[k]。

于是

(5)

若D可約，設(shè)T=(tij)，t12=t23=…=tn-1,n=tn1=1，除此之外所有的tij=0，因?yàn)锳,B∈Mn，則對任意給定的正數(shù)ε，當(dāng)ε充分小時(shí)構(gòu)造的新矩陣A+εT,B+εT∈Mn，進(jìn)一步用A+εT，B+εT替換A,B同時(shí)讓ε趨近于0，由上面證明的A*B不可約的結(jié)果及連續(xù)性得此時(shí)結(jié)論仍然成立。

注2當(dāng)定理2中的k=1時(shí)，就是文獻(xiàn)[3]中的結(jié)論

推論2設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Mn，則

總結(jié)：注1和注2說明了本文定理1，定理2給出的結(jié)果從理論上改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]中的估計(jì)式。

下面用數(shù)值算例說明當(dāng)定理1，定理2中的k=2時(shí)，所得的結(jié)果優(yōu)于方茂中在文獻(xiàn)[3]中給出的相應(yīng)結(jié)果

3數(shù)值算例

應(yīng)用文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果得ρ(A°B)≥54.4156，應(yīng)用本文定理1得ρ(A°B)≥22.3739，事實(shí)上ρ(A°B)=15.7878。

應(yīng)用文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果得τ(A*B)≥1.5730，應(yīng)用本文定理2得τ(A*B)≥2.8720，事實(shí)上τ(A*B)=3.2296。

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責(zé)任編輯：程艷艷

New Bounds of Eigenvalues of Hadamard Product and Fan Product of Matrices

LI Yanyan， JIANG Jianxin

(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Abstract：The paper gives the definitions of k Hadamard power for nonnegative matrix and r Fan power for M matrix., it uses Cauchy-schwitz inequality (ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)to obtain the spectral radius ρ(A°B)of Hadamard product for nonnegative matrices A and B, as well as some new bounds of minimum eigenvalue τ(A*B)of Fan product for M matrices A and B. These results contain the corresponding conclusions that Fang Mao-zhong gives for this kind of problems.

Keywords：nonnegative matrix; M matrix; Hadamard product; Fan product; eigenvalue