☉江蘇省南京市第29中學致遠校區(qū) 朱玉祥

從階段序進的角度談階段考試命題
——以某地七年級上學期統(tǒng)考統(tǒng)測試卷中的部分命題為例

☉江蘇省南京市第29中學致遠校區(qū) 朱玉祥

“階段序進”是從波利亞的名著《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》中看到的．波利亞提出學習三原則（也是教學三原則），其中第三個原則就是“階段序進”．筆者理解的“階段序進”就是學習的階段性和循序性．階段性說的是一個階段有一個階段的學習內容；循序性說的是學習要循序漸進，后一階段可以關聯(lián)前一階段的學習內容，但前一階段的學習內容不能使用后一階段的內容．從“階段序進”原則看階段考試命題，同樣應該注意階段性和循序性．比如七年級上學期的代數(shù)式大小的比較，就不能上升到七年級下學期的一元一次不等式的高度；七年級上學期學習了一元一次方程，就不能認為把方程中的“等號”換成“不等號”就可以出現(xiàn)在命題中；七年級上學期對無理數(shù)的考核，就不能按八年級算術平方根和勾股定理后的要求來對待．命題也要講“階段序進”原則，要做到在什么山唱什么歌，有什么水劃什么船．尤其是階段考試命題，命題者的命題思路一定要有“階段”約束，做到不越級，不超前，使所命制的試題與教材吻合，與學生的數(shù)學學習同步．

但筆者發(fā)現(xiàn)，一些地區(qū)的階段統(tǒng)考統(tǒng)測中，某些試題的命制有違背“階段序進”原則的現(xiàn)象，缺少“階段”約束，使得有些試題與“階段”要求不合，給教考帶來不少困惑．下面擬舉幾例，來闡明筆者的觀點，并給出改進建議．若所述不妥，歡迎指正．

一、代數(shù)式大小比較不妨給出依據(jù)

例1（2014～2015學年某地七年級上學期期中統(tǒng)考試卷第20題）如圖1，甲、乙兩張紙片分別是半徑為r的圓挖去一個長方形．

圖1

（1）求甲、乙兩張紙片的面積；

（2）甲、乙兩張紙片的面積哪一個較大？為什么？

標準答案：（1）甲紙片面積：πr2-2mn；乙紙片面積：πr2-1.5mn.

（2）乙紙片的面積大．因為乙紙片的面積-甲紙片的面積＝（πr2-1.5mn）-（πr2-2mn）=0.5mn，且m＞0，n＞0，所以0.5mn＞0，所以乙紙片的面積大于甲紙片的面積．

試題考點分析：例1考核的是七年級上冊（本文所指的數(shù)學教材都是蘇科版義務教育新教材）第3章代數(shù)式的內容．題目給出的圓的半徑、長方形的長和寬，都用字母表示，計算陰影部分面積，也需要用字母表示．因此，例1的考點有三個：①對用字母表示數(shù)的理解；②能用代數(shù)式表示問題中的數(shù)量關系；③會比較兩個代數(shù)式的大?。?/p>

關于代數(shù)式，《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《標準》（2011年版））的要求是：①借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式，進一步理解用字母表示數(shù)的意義（包括能解釋簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義）；②能分析具體問題中的簡單數(shù)量關系，會用代數(shù)式表示；③會求代數(shù)式的值．

對照《標準》（2011年版）的三條要求，例1前兩個考點與之吻合，一是用字母表示半徑和長方形的長與寬，讓學生從中體會到字母表示數(shù)的實際意義；二是通過計算陰影部分面積，考核學生是否會用代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量關系．

但例1的第三個考點，要求學生判斷“甲、乙兩張紙片的面積哪一個較大”，并且還要學生對自己的判斷給出“為什么”的說明，就有點偏離《標準》（2011年版）的要求了．

判斷“甲、乙兩張紙片的面積哪一個較大”，標準答案給出的是“求差法”．“求差法”比較代數(shù)式大小的依據(jù)是不等式的兩條性質．一是由不等式性質一得到“若ab＞0，則a＞b”；二是由不等式性質二得到“若a＞0，b＞0，則ab＞0”．全區(qū)集中批改試卷時規(guī)定：如果學生在解題中沒有強調“m＞0，n＞0”或沒有指出“0.5mn＞0”，就判錯．這個規(guī)定顯然強化了不等式的兩條性質在解題中的作用．可是，不等式的性質要到七年級下冊課本中才出現(xiàn)，所以，命題人如此命題，是一種典型的“超前”行為，欠妥．

命題改進建議：既然不等式的兩條性質不在七年級上學期的期中考試范圍內，命題中又想利用這兩條性質來比較代數(shù)式的大小，那就得在題目中提供這兩條性質．因此，對例1第（2）問可作如下改進：

（2）我們知道，比較兩個數(shù)a和b的大小可以用求差法，即看a-b的結果：若a-b＞0，那么a＞b；若a-b＝0，那么a＝b；若a-b＜0，那么a＜b．請你比較（1）中求得的甲、乙兩張紙片的面積哪一個較大？

二、從相等的角度設計不等問題

例2（2014～2015學年某地七年級上學期期中統(tǒng)考試卷第24題）如圖2是一個數(shù)值轉換機，輸入數(shù)值后按三個方框中的程序運算，若第一次運算結果大于2，可以輸出結果，則稱該數(shù)只要“算一遍”；若第一次運算無法輸出結果，且第二次運算結果大于2，可以輸出結果，則稱該數(shù)需要“算兩遍”，依次類推．

（1）當輸入數(shù)為2時，輸出的結果為_________；

（2）當輸入數(shù)為-1時，求輸出的結果；

圖2

（3）當輸入數(shù)為x時，該數(shù)需要“算兩遍”，直接寫出x的取值范圍．

標準答案：（1）4.

（2）第一次：-1＋4-（-3）-5＝1，1＜2；第二次：1＋4-（-3）-5＝3，3＞2．所以輸出結果是3.

（3）-2＜x≤0．

試題考點分析：例2考核的是七年級上冊第2章有理數(shù)和第3章代數(shù)式的內容．該題把有理數(shù)計算和列代數(shù)式放在“程序框圖”的情境中，增加了題目的趣味性，同時也滲透了“程序框圖與算法”編寫的規(guī)范．“程序框圖”在教材的第2章和第3章都有出現(xiàn)，應該為學生所熟悉．值得一提的是，例2在有理數(shù)計算的基礎上，通過“是”“否”語句加進了不等關系的判斷．題目還給出了“算一遍”和“算兩遍”的概念，隱含考查學生數(shù)學閱讀理解的功能．命題有新意．整個題目考點有四個：①有理數(shù)計算；②有理數(shù)大小判斷；③用代數(shù)式表示運算程序；④一元一次不等式組的應用．

前三個考點都符合《標準》（2011年版）的要求．

現(xiàn)在來看第（3）問的解答：第一遍，得代數(shù)式x+4-（-3）-5，化簡得x+2，由題意得x+2≤2，解得x≤0；第二遍：把x+2再輸入，得代數(shù)式（x+2）+4-（-3）-5，化簡得x+ 4，根據(jù)題意得x+4＞2，解得x＞-2，由x≤0和x＞-2，得-2＜x≤0，所以x的取值范圍是-2＜x≤0．

顯然，解答過程已用到了解一元一次不等式組．而一元一次不等式（組）是七年級下冊課本中的內容，所以，讓它在七年級上學期期中考試試題的解答中出現(xiàn)，應屬不當．盡管試題為了避免遭到質疑，隱去了解題過程，讓學生直接給出答案，但用一元一次不等式組解決問題的實質仍在．

正是把利用七年級下學期的一元一次不等式組解決問題的意圖過早地滲入到七年級上學期階段考試的命題之中，給學生帶來解題的困難是明顯的．從試卷批改中看到，學生解答第（3）問的困難有兩個：一是不明白“取值范圍”的意義，不會用“連不等式”的形式來表示所得結果，比如有的學生寫成x＞-2＜0；二是不會用一元一次不等式組來解．有一部分學生用特殊值的方法嘗試，結果就把“取值范圍”寫成-1或0．出現(xiàn)此類問題，筆者認為，這應該是該題命制的失誤．

命題改進建議：七年級上學期期中考試范圍包含七年級上冊教材第4章一元一次方程的解法，那么，例2第（3）問可以從方程解決問題的角度做些改進．改進如下：

（3）①若輸入數(shù)x，輸出結果等于2，求x的值；②若輸入數(shù)x，把所得結果作為一個新數(shù)再輸入一次，結果仍等于2，求出此時x的值；③參考①和②所求得的數(shù)據(jù)，解決如下問題：當輸入數(shù)x時，該數(shù)需要“算兩遍”，直接寫出x的取值范圍．

三、無理數(shù)的考核要遵從教材意圖

例3（2013～2014學年某地七年級上學期期中統(tǒng)考試卷第23題）“數(shù)軸”這節(jié)課的學習應該留給我們很多回憶，現(xiàn)在回顧其中的一些片段：

（1）無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示嗎？答案是肯定的．請你解決以下問題：面積為8的正方形的邊長a是無理數(shù)，如何在數(shù)軸上畫出表示a的點A？請在圖3的數(shù)軸上畫出點A（不寫畫法，保留畫圖痕跡）.

（2）我們知道：面積為2的正方形的邊長b也是無理數(shù)，教材中用了計算的方法估算出1.4＜b＜1.5．請你用類似的方法推出（1）中a的范圍（保留一位小數(shù)）.

試題考點分析：例3考核的內容是七年級上冊第2章中的無理數(shù)．考點有四個：①能畫出面積為8的正方形；②理解面積為8的正方形的邊長a是無理數(shù)；③會在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點；④能用有理數(shù)按規(guī)定要求估計無理數(shù)的范圍．

無理數(shù)本屬實數(shù)內容．在蘇科版實驗版本教材中，無理數(shù)是安排在八年級上冊第2章實數(shù)一節(jié)．那個時候，學生已經(jīng)學過了勾股定理、平方根、立方根，再學習無理數(shù)，理解的困難就少了許多．比如，要學生說出面積為8的正方形的邊長a是什么數(shù)，學生會先求出，通過的直觀感受，學生就能指出a是無理數(shù)；再比如，要學生在數(shù)軸上畫出表示的點A，學生會根據(jù)勾股定理，很容易畫出以2為直角邊的等腰直角三角形，然后再利用其斜邊長就可以解決問題．

但蘇科版的教材修訂后，無理數(shù)被安排在七年級上冊第2章有理數(shù)中．修訂的意圖是讓有關數(shù)的知識比較完整地呈現(xiàn)，為后續(xù)教學提供方便（如“不等式”一章中，用數(shù)軸表示不等式的解集時就更合理），僅此而已．然而此時，學生沒有學過勾股定理，也沒有學過平方根，學生對無理數(shù)的理解就難以透徹．首先，面積為8的正方形的邊長具體是個什么數(shù)，學生求不出來，感受不到；其次，畫出面積為8的正方形，學生有困難．因為以學生現(xiàn)有的知識水平和活動經(jīng)驗，畫正方形是從邊長開始畫的，而面積為8的正方形的邊長是多少？學生不知道．正是這個原因，七年級上冊的教材對無理數(shù)的要求就低了很多．（1）只要求學生了解無理數(shù)的概念，不要求學生理解；（2）只要求學生通過拼圖拼出邊長為無理數(shù)的正方形的活動感受無理數(shù)的客觀存在，不要求學生能畫出邊長是無理數(shù)的正方形；（3）只要求學生會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，不要求學生會用數(shù)軸上的點表示無理數(shù)；（4）只要求學生通過“逼近法”體會“無限不循環(huán)小數(shù)”的探索過程和逼近思想，不要求學生能用“逼近法”判斷一個數(shù)是不是無理數(shù)．［1］

在《標準》（2011年版）中對無理數(shù)的要求有兩點，一是了解無理數(shù)的概念，知道數(shù)軸上的點可以表示無理數(shù)；二是能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍，［2］這兩點要求是基于學生學過了勾股定理和平方根后的要求．而蘇科版義務教育教科書數(shù)學七年級上冊教師教學用書第8頁“課標要求”一欄，關于無理數(shù)的要求只有一條：了解無理數(shù)概念．［1］

顯然，例3的命題遠遠超出了課本要求，也超出了《標準》（2011年版）的要求．

命題改進建議：本著“階段序進”的原則，從教材的編寫意圖和要求考慮，例3這樣的命題完全可以從七年級上學期期中階段考試中剔除．當然，如果以能力立意，該題也可以以閱讀理解或問題探究的形式給出，但難度要降低．下面是筆者對例3的一個改進嘗試．

“數(shù)軸”這節(jié)課的學習應該留給我們很多回憶，現(xiàn)在回顧其中的一些片段：

（1）無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示嗎？_________（填“可以”或“不可以”）

（2）圖4是兩個邊長都為2的正方形．將這兩個正方形剪拼成如圖5的大正方形，則大正方形的面積是8．若設大正方形的邊長為a，則a是_________（填“有理數(shù)”或“無理數(shù)”）.

圖4

圖5

圖6

（3）將大正方形按圖6的方式放在一數(shù)軸上．①請你說出點A表示的數(shù)是幾？②在數(shù)軸上畫出表示a的點B（不寫畫法，保留畫圖痕跡）；③請說出點B表示的數(shù)a在哪兩個整數(shù)之間．

章建躍博士有篇文章談的是“理解數(shù)學、理解學生、理解教學”．文章里有這樣一句話：“認真仔細地分析教材的編寫意圖，也是理解內容的一個方面．”筆者覺得命題者給階段考試命題，要本著“階段序進”的原則，不僅要熟悉數(shù)學課程標準，熟悉教材內容，更要在命題之前“認真地分析教材的編寫意圖”和階段性要求．命題要做到不超前、不拔高、不脫離學生實際．

考試的主要目的是全面了解學生數(shù)學學習的過程和結果，但也要有激勵學生學習和改進教師教學的功能．尤其是階段性考試，需要給學生一點“鼓勵”．對階段性考試試題的命制，要做到課本主要學什么，就讓學生考什么，以基礎性為主．其實，讓學生在階段性考試中考得好一點絕不會是數(shù)學的恥辱，更不會是命題人的恥辱．階段性考試的命題需要關注學生對數(shù)學學習的興趣和熱情，不需要充斥“選拔性”考試的“硝煙戰(zhàn)火”．數(shù)學教育是大眾化的教育，具有普及性，目的是培養(yǎng)公民的基本數(shù)學素養(yǎng)．因此，階段性考試命題更應當關注學生數(shù)學學習的可持續(xù)性發(fā)展．

1．楊裕前，董林偉．義務教育教科書數(shù)學七年級上冊教師教學用書［M］．南京：江蘇科學技術出版社，2012．

2．中華人民共和國教育部制定．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

3．仲進東．例談客觀題型中“把關題”的呈現(xiàn)方式——從一份七年級考卷的兩道試題說起［J］．中學數(shù)學（下），2015（3）．H