☉廣東省廣州市景中實驗中學 吳穎接

☉廣東省廣州市第七十八中學 梁 倩

另類“數(shù)形結(jié)合”幫助學生理解幾何證明*
——由平行四邊形判定教學引發(fā)的一點思考

☉廣東省廣州市景中實驗中學 吳穎接

☉廣東省廣州市第七十八中學 梁 倩

恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中量的關系與空間形式的科學.”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.其實按筆者的理解，初中的幾何證明就是一個數(shù)形結(jié)合的好例子.它讓學生用文字與符號，對圖形進行分析與解釋.讓學生在思考圖形的來龍與去脈的過程中，逐步學會邏輯思考，慢慢學會理性思維.但也因此讓許多學生感到十分頭痛，易產(chǎn)生畏難情緒.

一、原由

在2014年初二下學期的數(shù)學教學中，筆者所任教的初二（1）班的學生學習水平較低.當教到“平行四邊形”時，按傳統(tǒng)要求，如果證明時要用到初學的定理，必需要寫理由.這種做法的原因是：為了加強學生對初學定理的記憶與理解.但幾何課上，筆者察覺學生不是心不在焉，就是無精打采，更甚的有一兩個在打瞌睡.到了測驗時，他們的水平自然是不過關的.這讓筆者相當苦惱.筆者試想原因何在？經(jīng)觀察，他們的原因可能有以下幾個：（1）不理解；（2）有點理解，但由于定理過多，容易產(chǎn)生混淆；（3）證明的過程太長，再加上要寫明理由（注1），嫌煩瑣，不想寫，久而久之，生疏不會寫.面對這一難題，筆者反復思量，結(jié)果從全等三角形的幾個判定的表述中，得到啟發(fā).

全等三角形的幾個判定，其表現(xiàn)形式極為簡潔，它甚至將判定簡化成為字母.如：SSS、SAS、ASA、AAS.這幾個定理的簡寫，給全等三角形的教與學帶來很大的幫助.讓初學幾何的學生，在閱讀時更容易得到清晰的形象，而在書寫證明表達時，則可以更簡便清楚地寫出證明的過程.而有些老師甚至會形象地教學生，尖尖的A就是角，而S就是邊，以此幫助學生記憶.

二、轉(zhuǎn)化

因為全等三角形的判定具有簡潔性、形象性，使絕大部分學生對全等三角形的判定的基礎運用是比較容易理解與記憶的.所以筆者認為，四邊形邊的判定應該也可以進行類似的簡化.利用平行四邊形的表達符號“?”，筆者把平行四邊形的五個判定方法分別進行了以下的簡化：

（1）如圖1，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（同向箭頭的兩直線表示為平行關系）

（2）如圖2，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（同向加標注的兩直線表示為相等關系）

（3）如圖3，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

（4）如圖4，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

（5）如圖5，兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

相類似地，特殊平行四邊形的判定也可以類似地進行簡化.

如矩形的判定：

（1）?+對角線相等——對角線相等的平行四邊形是矩形.

（2）?+90°——有一個90度角的平行四邊形是矩形.

（3）3個90°——有三個90度角的四邊形是矩形.

菱形的判定：

（1）?+鄰邊相等——一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

（2）?+對角線垂直——對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

（3）4邊等——四條邊都相等的四邊形是菱形.

這種用簡圖代替定理的表述文字的做法，筆者給了它一個名稱：“以圖代理”.

如此，學生在書寫相關證明的理由時，可以用這些簡圖代替相應的文字理由.小小的簡圖，把長長的文字簡略掉了.筆者的學生都感覺很開心，對于平行四邊形的很多題目，他們就不再覺得很難了，特別是在初學這些幾何定理時，這種做法，對記憶定理和區(qū)分這些定理有相當大的幫助.（當然，初學時，還是要求學生看簡圖，背定理，以鞏固和加深理解）

三、應用與反思

不僅學生使用這些圖形方便，而且在后面解題時，筆者發(fā)現(xiàn)這些簡圖還有更重要的作用.讓我們看一看以下運用簡圖的證明過程.

圖6

例1已知：如圖6，AD平分∠BAC，E、F分別為AB、AC上的點且DE∥AC，DF∥AB.求證：四邊形AEDF為菱形.

證明：因為DE∥AC，DF∥AB，

又因為AD平分∠BAC，

所以∠EAD＝∠FAD.

因為DE∥AC，

所以∠FAD＝∠EDA，

所以∠EDA＝∠EAD，

所以四邊形AEDF是菱形.（?+鄰邊相等）

通過上面的例題可以看出，上題中的“以圖代理”的做法，既簡化了書寫，又形象地用圖像代替定理的文字表達，幫助了學生理解記憶定理.而實際上這種做法，是將原圖中無關的線段省去，并將重要的線段與角抽取出來進行分析，它就完成了一次較完整圖形的抽象過程.這使學生明白幾何的證明，就是將原圖進行分拆，然后抽取出關鍵的基本圖形出來后再重組，并用之對原圖進行解釋的過程.

另外，根據(jù)皮亞杰的兒童認知心理學的理論，兒童認知新事物的能力分為四個階段，而初中學生的認知水平應屬于第三階段末、或第四階段（注2）.而新皮亞杰學說則認為，個體是有差異的.在同一年齡段，有些人的認知還在第三階段，有些人卻已在第四階段了.而且常識告訴我們，在同一班中，學生的認知能力總會有人更強，而有些人則更弱一些.能力較強的學生，能開始脫離具體事物，具有較好的抽象能力，這部分學生的數(shù)學能力較強，并不用老師太費心.但相當多的學生的認知能力尚處于認知能力第三階段末，他們處于具體事物運算階段，太抽象的東西對他們來講，是很困難的（注3）.所以如果能以“圖”代“理”進行教學，這些簡圖可以幫助他們對幾何圖形進行抽象的思考.使他們明白復雜的圖形是由幾個簡單的“基礎”圖形組成，只要在原圖中把這些基礎圖形找出來，證明的思路就可以相應建立.所以筆者覺得，這種以“圖”代“理”的做法，對這一階段思維能力較弱的學生來理解和鞏固幾何知識有重大的幫助.

四、效果與拓展

在平行四邊形判定的教學中，應用這種以“圖”代“理”的方法，筆者所任教初二（1）班的幾何成績有了相當大的提高，在學期的期末考試中，初二（1）班比另一老師教的初二（3）班多了近5分，其中（1）班為81.8，（3）班為77.3.（注4）

在期末考之后，筆者思考到，以“圖”代“理”，數(shù)形結(jié)合的這種方法，不但可以在“平行四邊形的判定”中應用，而且在其他的幾何內(nèi)容也可以用到.如初一的“平行線的判定”，到初三“圓”的學習，都可以用到.如平行線與圓的一些重要定理，可嘗試作如下表示.

（1）如圖7，內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

（2）如圖8，同位角相等，兩直線平行.

（3）如圖9，同旁內(nèi)角相等，兩直線平行.

（4）如圖10，垂徑定理.

（5）如圖11，圓周角等于同弧所對的圓心角的一半.

（6）如圖12，同弧所對的圓周角相等.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

這些簡圖，在學生初學這些定理時，可以幫助他們更方便地書寫證明過程，同時也能更好地記憶定理，更直觀地讓學生明白，證明幾何題實質(zhì)上是一個分解圖形.讓他們明白，學幾何并不是死背定理.證明應該是一個將復雜的圖形拆分為幾個基本的圖形后，并對之進行解釋的過程.這對他們明白幾何是怎樣建構(gòu)公理體系的過程，這對學生的邏輯分析能力，都有著很大的幫助.

注1：在中考，幾何證明的理由是不用書寫的.但在初學一個幾何定理時，按傳統(tǒng)要求，在初學應用時，要以文字的形式書寫幾何定理.但學生往往嫌煩瑣，不愿寫，但矛盾的是，如果不要求學生書寫幾何理由，學生對定理忘記得很快，遺忘率非常高.

注2：皮亞杰將兒童思維的發(fā)展劃分為四個大的年齡階段.這四個階段分別是：

（1）感知運動階段（從出生到兩歲左右）.這一階段是思維的萌芽期，是以后發(fā)展的基礎.皮亞杰認為這一階段的心理發(fā)展決定著未來心理演進的整個過程.

（2）前運算階段（兩歲左右到六七歲）.這一階段又稱前邏輯階段，這時兒童開始以符號作為中介來描述外部世界，表現(xiàn)在兒童的延緩模仿、想象或游戲之中.

（3）具體運算階段（六七歲到十一二歲）.在這個階段，兒童已有了一般的邏輯結(jié)構(gòu).

（4）形式運算階段（十一二歲到十四五歲）.此時兒童的智慧發(fā)展趨于成熟，思維能力已超出事物的具體內(nèi)容或感知的事物，思維具有更大靈活性.

注3：根據(jù)廣州中考數(shù)學的相關數(shù)據(jù)，滿分為150分的考試中，每年10萬考生，有近1萬的考生數(shù)學成績在30分以下.

注4：在初二上學期末，（1）班與（3）班的數(shù)學成績基本相同，相差不到1分.

1.【瑞士】皮亞杰，著.心理發(fā)生和科學史［M］.姜志輝，譯.上海：華東師范大學出版社，2005.

2.【瑞士】皮亞杰，著.發(fā)生認識論原理［M］.北京：商務印書館，1981.

3.【瑞士】皮亞杰，著.可能性與必然性［M］.熊哲宏，譯．上海：華東師范大學出版社，2005.H

*本文系廣州市教育科學“十二五”規(guī)劃（第二批）課題《初中數(shù)學有意義學習的課堂教學實踐研究》（課題編號12B063）的研究成果之一.