☉江蘇省無錫市雪浪中學(xué) 戴倍琪

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 龐彥福

·江蘇省無錫市龐彥福名師工作室·

眾里尋他千百度定位不準(zhǔn)難覓處
——“物體位置的確定”教學(xué)實(shí)錄及其思考

☉江蘇省無錫市雪浪中學(xué) 戴倍琪

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 龐彥福

一、對(duì)教材理解及教學(xué)觀點(diǎn)

若給你一張無錫大劇院的入場(chǎng)券，根據(jù)入場(chǎng)券的排號(hào)和座號(hào)，你能夠確定應(yīng)該入場(chǎng)的位置嗎？

人們?cè)谏?、生產(chǎn)實(shí)踐中常常需要確定物體的位置，如影劇院里的座位，棋盤上棋子的位置，城市地圖上車站、學(xué)校、醫(yī)院、風(fēng)景區(qū)的位置，在海洋中確定船只或艦艇的位置，以及戰(zhàn)爭(zhēng)中要打擊的目標(biāo)的位置……

在生活中，確定物體的位置有哪些方法呢？怎樣描述你在教室里的座位呢？需要幾個(gè)數(shù)據(jù)呢？

大千世界的各種變化可以用數(shù)量來描述，物體的位置往往可以由數(shù)據(jù)來刻畫，數(shù)量的變化與位置的變化有著密切的聯(lián)系．在現(xiàn)實(shí)生活中往往需要確定物體的位置，因此研究物體位置的確定就成了學(xué)科及領(lǐng)域需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．

從《課標(biāo)》來看，關(guān)于“物體位置的確定”在小學(xué)階段已經(jīng)有所了解，第一學(xué)段（1～3年級(jí)）的要求是“會(huì)用上、下、左、右、前、后描述物體的相對(duì)位置；給定東、南、西、北四個(gè)方向中的一個(gè)方向，能辨認(rèn)其余三個(gè)方向，知道東北、西北、東南、西南四個(gè)方向，會(huì)用這些詞語描繪物體所在的方向”．第二學(xué)段（4～6年級(jí)）的要求是“能根據(jù)物體相對(duì)于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置；會(huì)描述簡(jiǎn)單的路線圖；在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對(duì)（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)”．進(jìn)入初中之后，要求能“結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步體會(huì)用有序數(shù)對(duì)可以表示物體的位置”．對(duì)這一內(nèi)容的了解和研究是為順理成章地引入“平面直角坐標(biāo)系”做鋪墊，并且為進(jìn)一步研究函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容奠定基礎(chǔ)．本節(jié)課的教學(xué)通過實(shí)踐、觀察、記錄、描圖等活動(dòng)，感受現(xiàn)實(shí)世界中事物之間的聯(lián)系．在確定物體位置的過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念．

通過圖形位置變化過程中相關(guān)數(shù)量的變化的討論，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程．俗話說，良好的開始是成功的一半，初中階段學(xué)習(xí)研究一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)等，離不開平面直角坐標(biāo)系，而“物體位置的確定”的學(xué)習(xí)則為“平面直角坐標(biāo)系”的“登場(chǎng)”搭建了支架和平臺(tái)．

本節(jié)課在已有知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，理解確定位置的重要性和必要性，能夠了解、掌握確定位置的方法，這是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)．

用方向角確定物體的位置時(shí)容易忽略掉“距離”這一要素，這應(yīng)是教學(xué)的難點(diǎn)，同時(shí)確定物體的位置的方法是多種多樣的，因此要靈活運(yùn)用不同的方法確定物體的位置，在經(jīng)歷問題分析和解決的過程中，體悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)．

二、課堂教學(xué)實(shí)錄與說明

1.創(chuàng)設(shè)情境，感知確定位置的必要性

師：班主任老師利用星期天要去位于郊區(qū)的小明家（小明家住的是獨(dú)門獨(dú)戶的房子，如圖1）進(jìn)行家訪，你能給老師指路嗎？

圖1

圖2

生1：沿馬路走，在馬路左側(cè)，第三排第三戶便是．

師：如圖2，住在幸福家園的小強(qiáng)家（城鎮(zhèn)的商品房）老師也要去，你能給指路嗎？該怎么找到呢？

生2：2單元四樓的一戶．

生3：是2單元404室．

師：謝謝同學(xué)們熱心而清晰的指路．老師一定能找到這兩個(gè)同學(xué)家的位置．今天我們就來探究“物體位置的確定”．

說明：初中階段認(rèn)識(shí)、研究“定位”比小學(xué)里認(rèn)識(shí)“定位”上了一個(gè)較大的臺(tái)階，小學(xué)階段的第一學(xué)段主要是定性描述物體的位置，第二學(xué)段則過渡到用有序自然數(shù)對(duì)定量刻畫物體的位置，現(xiàn)階段是用有序?qū)崝?shù)對(duì)定量刻畫點(diǎn)的位置及“定位”的方法和蘊(yùn)含的坐標(biāo)思想．生活中處處存在著數(shù)學(xué)，以實(shí)際問題作為引例，比較貼近學(xué)生的生活實(shí)際和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，顯得自然，體現(xiàn)了生活中確定位置的重要性和必要性，本節(jié)課是研究物體（點(diǎn)）位置的確定，引入做到了開門見山，提出問題，為課堂探究做好了鋪墊．教學(xué)是用教材教而不是教教材，創(chuàng)設(shè)情境、引入新課，選取素材可以是教科書中的，也可以根據(jù)學(xué)生情況、根據(jù)本地生活實(shí)際和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)合理選用非教材中的適宜素材來引入新課．接近學(xué)生生活的情境能夠使他們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)際意義和實(shí)用性．備課要做到理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué)，并依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)實(shí)施教學(xué)．教學(xué)設(shè)計(jì)需要進(jìn)一步優(yōu)化和提煉，切實(shí)做到所選擇的引入情境或素材要緊密聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際及認(rèn)知基礎(chǔ)，能夠揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)．

2.探究體驗(yàn)，尋找確定位置的方法

師：如果將班級(jí)學(xué)生的座位約定從前往后為第一排、第二排、……依此類推，從進(jìn)門往里為第一列、第二列、……依此類推，并且排在前、列在后，用（排數(shù)，列數(shù)）表示一個(gè)同學(xué)的座位位置，譬如小桐的座位可表示為（2，4）．請(qǐng)同學(xué)們報(bào)出自己當(dāng)前的位置．

……

師：剛才是用有序數(shù)對(duì)來確定物體或點(diǎn)的位置．結(jié)合圖3，你能向別人介紹或描述自己學(xué)校所在的位置嗎？

生4：在人民醫(yī)院的東側(cè)．

圖3

生5：別人要是不知道人民醫(yī)院的位置呢？應(yīng)該說成是在長(zhǎng)安路與解放路交叉口的東側(cè)解放路路南．

師：這樣指就很清楚了，即使對(duì)這里的地形不熟悉，只要找到路標(biāo)就能找到我們學(xué)校了．這種確定位置的方法是……？

生6：和地理課上利用經(jīng)線緯線是同樣的道理．

生7：這種方法也可以看作是找兩線的交點(diǎn)．

師：很好的想法，善于知識(shí)的遷移與類比，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法．

師：請(qǐng)同學(xué)們看圖4，表示的是某次海戰(zhàn)中敵我雙方艦艇對(duì)峙示意圖．對(duì)我方潛艇來說，北偏東40°的方向上有哪些目標(biāo)？

圖4

生8：有敵方戰(zhàn)艦B和小島．

師：距我方潛艇圖上的距離1.5cm處的敵艦有哪幾艘？

眾生：用刻度尺測(cè)量，紛紛舉手……

師：根據(jù)現(xiàn)有條件，你能確定每艘敵艦的位置嗎？

生9：只能確定它們的方向，不能確定每艘敵艦的具體位置．

生10：要確定每艘敵艦的位置，還需要一個(gè)數(shù)據(jù)，就是距離．

師：方向角加上距離，你能說的更明白嗎些？比如小島距離我方艦艇90km，怎樣描述小島的位置？

生10：小島在我方艦艇北偏東40°的90km處．

師：的確，利用方向角加上距離也能確定出物體或點(diǎn)的位置．

說明：隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加與深入，定位（確定位置）的方式方法豐富多樣了，通過師生對(duì)話，交流討論，進(jìn)一步感受確定物體位置的幾種常用方法，體會(huì)確定物體或點(diǎn)的位置方法的比較與合理選擇．發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．

3.拓展延伸，由確定物體位置到確定點(diǎn)的位置

師：如圖5，點(diǎn)A在沿直線l自上而下運(yùn)動(dòng)的過程中，∠BAC的大小是如何變化的？

生11：先由小變大，再由大變?。?/p>

師：∠BAC變化的過程中，有最大值嗎？

生12：∠BAC的最大值是180°，即點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到線段BC上時(shí).

圖5

師：∠BAC由小或變大的過程中，有最小值嗎？生11：是接近0°，即無窮小的意思．

師：點(diǎn)A在什么位置時(shí)，△ABC是等邊三角形？

師：你是怎么得出這個(gè)結(jié)果的？

生14：當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，可以根據(jù)勾股定理求得．

師：點(diǎn)A在什么位置時(shí)，△ABC是直角三角形呢？

圖6

師：如圖6，當(dāng)點(diǎn)O沿直線l從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，△On+1PQ的周長(zhǎng)是如何變化的呢？

生16：先變小再變大．

生17：點(diǎn)O從O1運(yùn)動(dòng)到O2的過程中，相應(yīng)三角形的周長(zhǎng)不斷變小，點(diǎn)O從On運(yùn)動(dòng)到On+1的過程中，相應(yīng)三角形的周長(zhǎng)不斷變大．

生18：△On+1PQ的周長(zhǎng)先從無窮大逐漸變小，然后又逐漸變大．

師：在點(diǎn)O變化的過程中，形成的三角形的周長(zhǎng)有沒有最大值呢？

生18：沒有．

師：有沒有最小值呢？

生19：有．根據(jù)對(duì)稱，作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′Q，P′Q與直線l的交點(diǎn)處即是周長(zhǎng)最小的三角形頂點(diǎn)O的位置．

說明：學(xué)生隨著年齡的增長(zhǎng)，認(rèn)知水平在提高，認(rèn)識(shí)“定位”問題自然就上了臺(tái)階，從確定物體的位置過渡到確定點(diǎn)的位置，這是研究對(duì)象的數(shù)學(xué)化程度提高的象征．確定物體位置的方法是學(xué)習(xí)“圖形與坐標(biāo)”、“函數(shù)與圖像”、“曲線與方程”的理論基礎(chǔ)．隨著學(xué)習(xí)的深入，用代數(shù)方法研究幾何問題的步驟是：確定坐標(biāo)原點(diǎn)→選擇坐標(biāo)系→用坐標(biāo)（或方程）表示點(diǎn)（或曲線）→通過坐標(biāo)（或方程）獲得圖形（或曲線）的幾何信息，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想就是笛卡爾的坐標(biāo)思想．研究思路是根據(jù)已有定位經(jīng)驗(yàn)，概括定位方法，進(jìn)而解決定位問題．體現(xiàn)了“具體→抽象→具體”的思維方法．通過教學(xué)能使學(xué)生明確用有序數(shù)組表示點(diǎn)的意義，理解掌握確定物體（點(diǎn)）位置的方法能夠滿足數(shù)學(xué)地解決生活中的定位問題的需要，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的育人意義及價(jià)值．其蘊(yùn)含的形象思維及抽象思想、數(shù)形結(jié)合思想、對(duì)應(yīng)思想等對(duì)發(fā)展學(xué)生智力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著積極的影響．教學(xué)中，探索的思路讓學(xué)生尋找，解決問題的方法讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)．引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考的過程，是為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題”的能力．

4.總結(jié)回顧，反思提升

師：本節(jié)課我們研究的對(duì)象是什么？

生20：是物體或點(diǎn)．

師：研究的內(nèi)容是什么？我們是怎樣研究的？

生21：是確定這些物體或點(diǎn)的方法．……

師：常用確定物體位置的方法有哪些？如何簡(jiǎn)捷地表示物體的位置？

……

師：確定位置的過程中蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想？

……

師：用有序數(shù)組表示點(diǎn)有何意義？

……

5.布置作業(yè)，鞏固提高

必做與選做（略）.

三、教學(xué)思考與感悟

教師是課堂活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、引領(lǐng)者、參與者與合作者．教師的作用是喚醒學(xué)生求知、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)．有效的課堂活動(dòng)需要老師給學(xué)生搭建平臺(tái)，有了平臺(tái)學(xué)生才便于表演；實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)有效性需要老師給學(xué)生尋找支點(diǎn)，有了合適的支點(diǎn)學(xué)生才會(huì)跳得更高．教師教學(xué)要根據(jù)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及生活經(jīng)驗(yàn)，找準(zhǔn)教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，優(yōu)化設(shè)計(jì)過程，合理實(shí)施課堂教學(xué)．教學(xué)中，注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，提高學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的思維．探究性教學(xué)要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，通過合理的、適宜的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀、猜測(cè)、推理、發(fā)散、歸納、類比、概括、優(yōu)化、反思等活動(dòng)過程，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程及應(yīng)用，加深理解數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，使學(xué)生的思維品質(zhì)得到進(jìn)一步提高．知識(shí)是能力的基礎(chǔ)，能力是知識(shí)的升華，思想方法是其靈魂，解決問題是知識(shí)的運(yùn)用，是獲得能力的途徑．在教學(xué)過程中要注重思想方法的滲透與提煉，只有這樣，才能挖掘?qū)W生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，才能發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不能只讓學(xué)生記住枯燥的結(jié)論，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了知識(shí)本身外，還要關(guān)注獲得知識(shí)的過程，以及呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)載體的豐富內(nèi)涵，防止讓學(xué)生“只見樹木不見森林”的現(xiàn)象．建造高樓必須打好基礎(chǔ)，夯實(shí)樓基，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同樣要找準(zhǔn)認(rèn)知的起點(diǎn)，使知識(shí)在構(gòu)建過程中形成體系，使學(xué)生在認(rèn)知過程中理解數(shù)學(xué)．通過確定物體的位置到探究確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而為學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系深入研究函數(shù)埋下伏筆，使研究?jī)?nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)．

1．中華人民共和國(guó)教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

2．余文森，劉冬巖.有效教學(xué)的基本策略［M］.福州：福建教育出版社，2013．

3．楊裕前，董林偉．義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級(jí)下冊(cè)）［M］.南京：江蘇科技出版社，2013．

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5．龐彥福，肖健，黃海濤.建立模型找關(guān)系抽絲剝繭現(xiàn)本質(zhì)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（10）．

6．龐彥福，詹慧，翁壽峰．?dāng)?shù)學(xué)教師的“六研究”［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）．H